1、最新公考数量关系试题分析技巧与经验汇编数量关系试题包括两部分，一部分是数字推理，另一部分是数学运算。数字推理部分是给出一些数字，其中缺少一项或两项，要求考生研究出数字间的规律，选择一个符合规律的答案。数学运算部分是给出算式，或者是表达数量关系的文字，要求考生利用基本的数学知识计算出结果，这部分试题类似于中学数学课本中的计算题和应用题。一、数字推理备考数字推理的备考，考生要制定出一个时间表。因为数字推理要求考生对数字本身以第 1/114 页及数字间的关系有极强的敏感性，这一敏感性需要长时间的训练来养成，很难在几天之内速成。下面是我为考生总结出的一些学习方法，供大家参考：第一阶段，培养数字敏感性。
2、建议考生不要在复习的一开始就急于大量的做题，最好先通过少量做题来培养数字敏感性。建议考生背诵 30 以内数字的平方数、10 以内数字的立方数、6 以内数字的四次方，4 以内数字建议背到五次方、六次方。熟悉 200 以内质数表。熟记一些经典因数分解，例如：209=19x11，133=7x19。熟记一些数字间的联系，例如：可把 1，4，9 这个数列，看作是1，2，3 的平方，也可看作是 50，41，32，或者是 9=（41）2 等等。这类素材可以在数量关系模块宝典上大量的找到。第二阶段，精做习题。在经过一定练习题的训练之后，考生在这一阶段的复习重点是把每种类型的试题都做几第 2/114 页遍，达到
3、做透、做熟练的程度。第三阶段，归纳方法。在第二阶段做习题的时候，考生可能发现跟着参考书的类型走，拿到题目后知道从什么地方入手，可是一旦试题脱离了归类，考生就会出现不知从何下手的情况，或者错误地尝试太多次之后，才能找到正确的规律。针对这种情况我建议考生把平时自己做过的各种类型试题的特征进行归纳，例如数列在 8 项以上的，通常是多重数列；有“0”出现的，通常不是等比数列；数字靠近幂次数的，可能是幂次修正数列等等。第四阶段，真题演练，总结方法。在这个阶段考生主要是做真题，把之前已经掌握的解题方法和技巧运用到实际，通过大量真题的演练，系统、全面的总结各类试题的方法和技巧，达到熟练的程度。以上四个阶段中
4、，第一、二阶段属于基础普及阶段，第三阶段是决定考生能否快速做题的关键所在，请考生重视第 3/114 页这一阶段的练习，通过第四阶段对真题的演练，考生最好能熟练掌握一套科学的解题方法。二、数学运算备考对于数学运算部分如何备考，我建议考生从考试大纲出发，真正认识到出题者的意图。如果考生在平时做题的过程中发现某一道题解方程就需要花费 10 分钟，那么肯定是在解题方法上出了问题。数学运算的备考需要考生注意的是，一方面要注意提高自己的基本数学运算能力；另一方面也是非常关键的就要找到普遍适用的解题思路和方法。我为考生总结了一些学习方法，供大家参考：第一，跟着参考书把各类型的试题都做一遍。这一过程其实是回顾
5、中学数学基础知识的过程，包括计算问题的简便算法、几何问题中的公理定理等等。这一第 4/114 页阶段起到夯实基础的作用，是必不可少的。第二，寻找便捷方法迅速解题。有的时候一道题虽然可以通过列方程来解答，但是等到理清等量关系再列方程又解方程之后，花费的时间大约是 5 分钟。如果按照这个速度到了考试的时候肯定是不行的。那么如何快速解题就成为考生不能回避的问题，也是考生赢得行测考试的关键。下面我通过列举一道题为例，为考生详细解答这个问题：有一只钟，每小时慢 3 分钟，早晨 4 点 30 分的时候，把钟对准了标准时间，则钟走到当天上午 10 点 50 分的时候，标准时间是（）。（2005 国家）A.1
6、1 点整C.11 点 10 分 D.11 点 15 分 B.11 点 5 分大家通常的解法是，用坏钟走过的时间比上 57 分钟，等于标准钟走过的时间比上 60 分钟，这个列方程、解方程的过程非常复杂，而且是耗时严重。如果考生能通过细读条件“每小时慢 3 分钟”，推出一个更重要的等量关系：每 20分钟慢 1 分钟。这个看似不重要的条件，却可以帮助考生不通过计算而快速找到正确答案。因为慢钟时间差是整分钟（由 10 点 50 分减去 4 点 30 分得到），所以标准时间走过的时间差是整 20 分钟（即 20 分钟的整倍数），选项中数字减去 4 点 30 分是 20分钟倍数的选项只有 C 选项，这样思
7、考问题考生可以在短时间内快速找出正确的选项。第三，归纳快速解题方法，把握可运用的时机。总的指导思想是“代入思想、整除思想、数形结合思想”，这些思想考生可通过做题细心体会，总结出某一类试题的普遍性解法，到了考试的时候考生可直接使用以节约时间。第四，真题演练。在这个阶段考生可把之前总结出来的方法运用到真题的练习中，通过大量真题的训练考生可进一步巩固学会的方法和公式，以达到熟练的第 6/114 页程度。行测中的数量关系试题令众多考生头疼，这主要是由于部分试题难度比较大，如果进行解答耗时又太多，这种情况往往影响考生的答题心态和考试进度。所以我建议考生在备考阶段打实基础，扫除基础知识的盲点，在此基础之上
8、用巧力去解答，用平时总结的方法和公式去解答，从而避免在考场上出现不顾时间和效率而盲目去算题的情况。二攻克数量关系八大要点所有参考公务员考试的考生在备考之前必须深刻明白这样一个道理：在行政职业能力测验考试中的“数量关系”的复习，既不能只依靠盲目的题海战术，也第 7/114 页不能仅凭借自己十几年来自认深厚的数学功底，更不能把希望完全寄托在三、五天的培训课堂上。考生要想最大程度的挖掘自己的做题潜能，把握正确的方向、运用科学的方法、进行有效的练习才是克题制胜的关键。为此，华图公务员考试研究中心李委明老师就考生务必掌握以下八大要点进行了解读。公务员录用考试行政职业能力测验考试“数量关系”备考务必把握的
9、八大要点：题型首先，考生必须熟练的把握所考题型的“完全”分类、了解题型之间的逻辑关系并且判别不同题型的基本特征。譬如提到经典的数字推理题，考生必须明白其五大题型是如何进行分类的，各自有什么形式特征，题型之间又是如何综合联系的。其二，无论你参加哪种形式的行政职业能力测验，你所考的试题当中几乎第 8/114 页所有题目都能在往年国家、地方考试试卷中找到类似甚至完全相同的题型，因此，大题量、大范围的真题复习显得尤为重要。第三，最近两年各地新出现的试题形式，往往会成为当下考试的新趋势，值得大家特别关注。数学基础知识数学基础知识自然是解题必不可少的关键，考生必须掌握所有基础的数字知识和数学公式。如果不熟
10、练常用幂次数，将不会有基本的数字敏感;如果不了解整数的整除特性，应对数字关系将寸步难行;如果没有基础的数学公式储备，很多运算题你将无从下手。数学解题思想构造法、极端法、枚举法、归纳法、逆向法、图示法、设“1”法等等，都是数学题当中常见的典型解题思想，每一种方法都是一把破解难题、节省时间的金第 9/114 页钥匙，需要各位考生在实战中细细领悟。方程列方程和解方程是大家从小就开始训练的基本能力，而能用方程解题是区分数学运算题与小学奥数题的两大基本特征之一，因此，很多题目将因方程的运用而变得简单。譬如鼎鼎大名的“牛吃草问题”，在方程组的帮助下就变得异常普通。考生一定要了解哪些题型常用方程求解、掌握如
11、何合理设定未知数列方程以及如何快速有效求解方程的方法。此外，由一般方程或方程组引申出来的不定方程和不等式，同样是现今行政职业能力测验考试数量关系考察的重要方向。模板所谓“模板”，是指专为公务员考试“数学运算”量身定造(包括之前业已存在但被重新提炼的情形)的、注重最终结果而省略中间思维过程的解题方法。譬如用平均分段法解决典型年龄问题，用相应“口诀”解答星期日期问题、乘方尾数问题、同余问题、典型统筹问题，用特殊公式解裂项相加问题、两集合容斥原理问题、时钟追及问题等等。(华图名家讲义数量关系模块宝典中一百多个解题模板(其中三十多个为独家首创)可以有效减少思维过程、缩短解题时间，由此引申出来的很多解题
12、思路和思想可以帮助大家解决更多的运算题型。)技巧如果会用“十字交叉法”，你可以跳过方程直接口算出答案;如果会用“代入排除法”，你可以回避很多复杂计算和公式，过程的简单将让你意想不到;如果会用“数字特性法”，利用肉眼直接区分选项的尾数、大小、奇偶、因子、倍数、余数等特征，你将发现解题变得如此轻松。总之，“数学运算”特有的“客观单选”性让技巧的发挥有了充分的空间和余地。第 11/114 页训练所有的学习过程都是让自己“已知”的过程，而在此基础上的大量有效的训练就是让自己“会用”的过程。训练要掌握节奏：一开始多尝试一题多解(寻找最优方法)和一解多题(掌握方法的适用范围)，细细品味题型的识别和方法的选
13、用;然后再通过同类练习巩固自己对各种方法的熟练掌握;最后进行定时定量模拟训练，检验自己的学习，寻找真实考场的感觉。心态心态的好坏决定了考场上战术与战略的成败。从整体来说，一定要学会“先易后难”的做题顺序，将最珍贵的分分秒秒投入到自己最有把握的题型上来。而针对具体题型，一定要遵从“机械程序化”的解题思维，考场时间特别有限，并不是大家发挥创造性思维的场所，宁愿遵从统一的思维方式，也不要为了“具体第 12/114 页问题具体分析”而浪费更多思考的时间。以上八点，便是攻克行政职业能力测验考试“数量关系”的不二法门，愿广大考生从中获取正确的备考方向，让勤奋与拼搏的汗水挥撒在正确的道路之上。数字推理第 1
14、3/114 页第 14/114 页数学运算第 15/114 页第 16/114 页第 17/114 页第 18/114 页(必考)数量关系中六大基础数列及备考要点数量关系中六大基础数列及备考要点(必考)在公务员录用考试行政职业能力测验考试中数量关系部分的六大基础数列：常数数列、等差数列、等比数列、质数型数列、周期数列、简单递推数列，在下文中华图公务员考试研究中心李委明老师竟通过实例来说明这些基础数列及备考要点。在公务员录用考试行政职业能力测验考试中数量关系部分的六大基础数列：一、常数数列由一个固定的常数构成的数列叫做常数数列。第 19/114 页【例 1】3，3，3，3，3，3，3，3，3，二
15、、等差数列相邻两项之差(后项减去前项)等于定值的数列叫做等差数列。【例 2】3，5，7，9，11，13，15，17，三、等比数列相邻两项之比(后项除以前项)等于定值的数列叫做等比数列。【例 3】3，6，12，24，48，96，192，备考要点“等差数列”与“等比数列”的基本概念在考试当中基本没有意义，对于考生来说，重要的是以下两点：(1)快速地判断出某个中间数列是等差数列还是等比数列，抑或两者皆不是;(2)迅速将数列对应规律的下一项计算出来。四、质数型数列质数数列：由质数构成的数列叫做质数数列。【例 4】2，3，5，7，11，13，17，19，合数数列：由合数构成的数列叫做合数数列。【例 5】
16、4，6，8，9，10，12，14，15，质数基本概念只有 1 和它本身两个约数的自然数叫做质数;除了 1 和它本身之外还有其他约数的自然数叫做合数。注意：1 既不是质数，也不是合数。五、周期数列第 21/114 页自某一项开始重复出现前面相同(相似)项的数列叫做周期数列。【例 6】1，3，7，1，3，7，【例 7】1，7，1，7，1，7，【例 8】1，3，7，-1，-3，-7，周期数列基本原则一般来说，数字推理当中的周期数列(包括未知项)至少应出现两个“3-循环节”，或者三个“2-循环节”，此时其周期规律才比较明显。故在一般情况下，要判断一个数列有无周期规律，加上未知项，至少要有六项。项数过少
17、的数列称其为“周期数列”过于牵强，此时这种数列如果还有其他规律存在，则优先考虑其他规律。六、简单递推数列第 22/114 页数列当中每一项等于其前两项的和、差、积或者商。【例 9】1，1，2，3，5，8，13，(简单递推和数列)【例 10】37，23，14，9，5，4，1，(简单递推差数列)【例 11】2，3，6，18，108，1944，(简单递推积数列)【例 12】256，32，8，4，2，2，1，2，(简单递推商数列)在公务员考试中，以上基础数列都相对比较简单，直接考查以上各种基础数列的题目也并不是很多，但各位考生一定要注意以下两点：1.在规律不变的前提下，可能只是由于数字稍加变化，规律就
18、可能变得模糊;2.作为复杂数列的中间数列，大家对基础数列一定要“烂第 23/114 页熟”。行测等差数列题型特点及例题精讲（必考）等差数列是指相邻两项之差（后项减去前项）等于定值（常数列），它作为数字推理题中一类最基础、最基本的数列，考察的题型有基本型，二级等差数列及其变式和三级等差数列三种。随着公务员考试的发展，题目难度有逐年上升的趋势，即使是对最基本数列的考察，也向隐蔽化方向发展，因此二级等差数列的变式及三级等差数列已成为等差数列考察的重点，这就需要考生掌握等差数列变式及三级等差数列的特点和出题规律，不管出题者怎么迷惑，还是能够迅速的判断出等差数列，进而快速的解答这类题目。一、等差数列题型
19、及特点第 24/114 页（一）等差数列的题型 1、一级等差数列【例题分析】【河北 2005真题】0，6，12，18，（）A.22B.24C.32D.28【答案】B2、二级等差数列及其变式二级等差数列是指相邻的两项做差，得到一个等差数列，则称其为二级等差数列。等差数列的变式是指，一个数列相邻的项两两做差，得到一个数列，这个可以为质数型数列、周期型数列、幂次数列、和递推数列。这里的幂次数列和递推数列仅局限在其基本型。【例题分析】【例 1】【国 2001-41】12，13，15，18，22，（）A.25B.27C.30D.34【例 2】【国 2002A-2】20，22，25，30，37，（）A.3
20、9B.45C.48D.51【答案】C第 26/114 页【解析】逐差后得到一个质数数列。【例 3】【浙江 20045】6，12，19，27，33，（），8A.39B.40C.41D.42【答案】B【解析】逐差后构成一个周期数列。【例 4】【国 2003B4】1，2，6，15，31，（）A.53B.56C.62D.87【答案】B第 27/114 页【解析】逐差后得到一个平方数列。【例 5】【浙江 2003-5】3，4，（），39，103A.7B.9C.11D.12【答案】D【解析】逐差后得到一个立方数列。【例 6】【国 2005 二类30】1，2，2，3，4，6，（）A.7B.8C.9D.10【
21、答案】C第 28/114 页【解析】逐差后得到一个递推和数列。3、三级等差数列一个数列相邻的项两两做差，得到新数列，相邻的项再两两做差，然后得到一个等差数列，则其位三级等差数列。【例题分析】【例】【国 2005 一类-33】1，10，31，70，133，（）A.136B.186C.226D.256【答案】C第 29/114 页【解析】后项减去前一项依次构成等差数列，图示法如下：（二）题型特点重点考察等差数列的变式及三级等差数列，这列题型的特点是：1、数列一般呈现单项递增或单项递减的规律。2、数列一般给出五项或五项以上。3、数列一般变化幅度不大。4、逐差法在解答这类问题时尤其重要。二、命题规律及
22、趋势传统的题型特点是数列逐次递增或递减，变化幅度较小，较容易判断，但是随着公务员考试难度的加深，目前这类题目呈现新特点，数列的变化幅度逐渐变大，而且极其不像等差数列，数列呈现一高一低现象，模糊性变强。同时，三级等差数列层次复杂，也成为考察的重点。【例题分析】【点评】这个数列变化幅度较大，不容易想到是考察等差数列。【点评】这个数列不符合传统意义的等差数列的规律依次递增或递减。数字推理三步法，轻松备考拿高分数字推理作为考生普遍难以拿分的考察部分，往往会被考生轻易的放弃掉，在国考如此激烈的竞争环境下，一分往往就能改变考生的命运，今天我们就告诉第 31/114 页大家一个很好的复习方法，让您轻松拿分。
23、在日常的复习备考中，考生的主要任务不是看自己做了多少道题，而是熟悉各种题型，明晰解题思路，总结解题技巧，提高解题速度，提升应试能力。在此过程中，形成适合自己的便捷有效的解题技巧应该是重中之重。”法(一)“三步走三步走”总的来说，数字推理题的解题思路可以归纳为常用、好记、易学而又有效的“三步走”：第一步，在数列本身找规律通过分析数列中所给数字的多少，根据数字大小变化的趋势，分析数列是不是常用的数列，如加法数列、减法数列、乘法数列、除法数列、分数数列、小数数列、等差数列、等比数列、平方数列、立方数列、开方数第 32/114 页列、偶数数列、奇数数列、质数数列、合数数列、排序数列、摆动数列，或者是复
24、合数列、混合数列、隔项数列、分组数列等稍微复杂的数列形式。为了解题方便，可以借助于题后答案所提供的信息，或是数列本身的变化趋势，初步确定是哪一种数列，然后调整思路进行解题。具体方法如下：(1)先考察前面相邻的两三个数字之间的关系，在大脑中假设出一种符合这个数字关系的规律，如将相邻的两个数相加或相减，相乘或相除之后，并迅速将这种假设应用到下一个数字与前一个数字之间的关系上，如果得到验证，就说明假设的规律是正确的，由此可以直接推出答案；如果假设被否定，就马上改变思路，提出另一种数量规律的假设。另外，有时从后往前推，或者“中间开花”向两边推也是较为有效的。(2)观察数列特点，如果数列所给数字比较多，
25、数列比较长，超过5 个或 6 个，就要考虑本数列是不是隔项数列、分第 33/114 页组数列、多层级数列或常规数列的变式。如果奇数项和偶数项有规律地交替排列，则该数列是隔项数列；如果不具备这个规律，就可以在分析数列本身特点的基础上，三个数或四个数一组地分开，就能发现该数列是不是分组数列了。如果是，那么按照隔项数列或分组数列的各自规律来解答。(3)如果不是隔项数列或分组数列，那么从数字的相邻关系入手，看数列中相邻数字在加减乘除后符合上述的哪种规律，然后寻求答案。根据这种思路，一般的数字推理题都能够得到解答。如果有的试题用尽上述办法都没有找到解题的思路，而数列本身似乎杂乱无章，无规律可循，那么，就
26、可以换用“第二步”。第二步，求数列中相邻各数之间的差值求数列中相邻各数之间的差值，采用层层剥茧的办法，第 34/114 页逐级往下推，在逐级下推的差值中，一般情况下，经过几个层次的推导，都会找到数列内含的规律的，然后经过逐层回归，就可以很快求出空格所要的数字，使数列保持完整。根据笔者多年教学以及在各种培训班上授课的经验，一般的数字推理题，在第一步解决不了的话，在第二步运用层级推导的办法(实为多层级数列，属于复合数列中的一种)都可以解题。但是也有个别比较“刁钻”的试题，运用上述两种办法都解决不了的，就得用第三步了。第三步，回到数列本身根据推算找规律这次回到数列本身推导时，不能用惯常的思维和普通的
27、数列知识了，而要换一种思路看数列的后面项是不是它相邻的前几项的和(或差)，或是前几项的和(或差)加上(减去)一个常数或一个简单的数列构成的。这样的数列常见于加减复合数列、加减乘除复合(摆动)数列，难度比较大，考生在复习备考时多做几道题、多总结，熟悉了其组合方式或内在的规律，此类数字推理题就不难解决。需要说明的是：近年来数字推理题的变化趋势是越来越难，需综合利用两个或者两个以上的规律才能得到答案。因此，当遇到难题时，可以先跳过去做其他较容易的题目，等有时间时再返回来解答这些难题。这不但节省了时间，保证了简单题目的得分率，而且解简单试题时的某些思路、技巧、方法会对难题的解答有所帮助。有时一道题之所
28、以解不出来，是因为我们的思路走进了“死胡同”，无法变换角度进行思考。此时，与其“卡”死在这里，不如抛开这道题先做别的题。做这些难题时，可以利用“试错法”。很多数字推理题不太可能一眼就看出规律、找到答案，而是要经过两三次的尝试，逐步排除错误的假设，最后找到正确的规律。第 36/114 页”法(二)“凑数字、找规律凑数字、找规律”一般而言，再难得数列运用上述方法都可以推导出结果的。但是近几年，不管是中央国家公务员的考试，还是地方性公务员的考试体(尤其是各省级的试题)，出现了一些所谓的偏题、怪题，运用上述方法还不容易直接解题，甚至出现没法下手解题的情况，有的考生就采取了“放弃”，实不足取。这里再介绍
29、一种非常有用的解题方法，可以说对所有的难题、偏题、怪题都有用，那就是“凑数字，找规律”。这里凑的数字的来源一是数列本身，即数列中的原数字(即通过数列中相邻的数字的计算，查找数列中各数之间隐含的计算法则，而这个计(运)算法则就是所要找的规律)，二是数列中每一项的序数，即每一项在数列中的第 1、2、3、4、5项的项数(这是第一步走不通时，就想到将数列的每一项所在的顺序数与数列中的苏子对应起来进行计算，往往可以很顺当地找到规律的)。第 37/114 页1.利用数列中的原数“凑数字，找规律”为了让考生掌握“凑数字、找规律”的这一方法，这里以 2008 年中央国家机关公务员录用考试行政职业能力测试中的
30、5 道数字推理题为例，作一讲解、演示：例 1157，65，27，11，5，()2008 年国考第 41 题A.4B.3C.2D.1【解析】分析本题所给数列发现，这是一组呈现逐步递减趋势，而且递减的趋势越来越和缓的数列；更为要命的是这一组数字没有任何明显的规律，根本不是常规的平方、立方、减法等数列及其变式，一下子找不到思路，对此类试题，就可以考虑采用“凑数字，找规律”的思路求解。根据上面总的提示及思路，要“凑”的数字首先在数列第 38/114 页本身去找，要“找”的规律就是数字之间运算的法则。而要运算则最少必须有三个数字，那么可以尝试着对相邻的三个数字运用“凑”的方法进行计算。那就是说前三个数字
31、 157、65、27 之间有什么样的关系呢？或者说 65 和 27 经过什么样的计算能得到 157 呢？(当然思考 157 和 65 之间经过什么样的运算能得到 27、或 157 和 27 之间经过什么样的运算能得到 65 也可行，但是那样的话肯定要经过减法等运算，一是增加了解题的难度，二是容易出错，一般人运用加法、乘法计算时要比运用减法、除法快捷得多，而且不容易出错，那么在这里再给考生一句话，那就是在解数字推理，乃至于数学运算和资料分析题时必须把握一个原则：“能加就不减，能乘就不除”，即能用加法计算的尽量用加法计算，而不要用减法去运算；能用乘法的就尽量用乘法，而不用除法运算)如果能想到这一点
32、的话，问题就变得简单多了，因为稍稍推算就可以发现它们之间有这样的运算 652+27=157。那么再往后推一下，第 39/114 页看第 2、3、4 个数字之间是不是也有这样的规律，演算一下发现第二组数字 65、27 和 11 之间也有同样的规律，即 272+11=65。那么再用第三组数字验证一下是不是该数列都有这样的规律，如果第三组也有的话，那么这个运算法则就是本数列的规律了。经过推算发现第三组数字 27、11 和 5 也有同样的运算法则，即 112+5=27，那么本数列的规律是：第一个数等于相邻的后一个数的 2倍再加上第三个数。那么所求的未知数为 11-52=1，选 D。(这里以 2008
33、年国考的第 41 提为例向考生详细介绍了“凑数字、找规律”的基本思路和解题方法，讲述得比较详细甚至繁琐，下面各题主要是对这一方法的强化，就简化介绍思路了。)例 22008 年国考第 42 题A.12B.14C.16D.20【解析】尽管本题给的是三角形负载的四个数，小数字在周边，大数字在中间，也没有明显的规律，同样可以用“凑数字，找规律”的思路和方法求解。同上题，凑的数字同样首先在数列本身去找，要找的规律就是数字之间运算的法则。经过演算可以发现 26=(2+8-2)2，第二个三角形中也有同样的规律 10=(3+6-4)2，即本题数列的规律是：三角形内中间数字等于三角形底角两个数字之和减去顶角数字
34、的差的 2 倍。按照相应的数字的位置和法则进行计算，可知所求未知数为(9+2-3)2=16，选 C。第 41/114 页例 367，54，46，35，29，()2008 年国考第 44 题A.13B.15C.18D.20【解析】本题的思路同上，运用“凑数字，找规律”的方法可以发现本题的规律是相邻数的和是一个以 11 为首数的递减的连续自然数列的平方，则未知数为72-29=20，选 D。当然有的考生利用球相邻数之间的差值的方法去求解，求得相邻数之间的差值分别为 13、8、11、6，就认为本数列的差值是一个隔项数列，即 13、11 是一列，8、6 是一列，认为这是一个以 2 为公差的等差数列，那么
35、下一个数就是 9，还原上去可求得未知数为 29-9=20，答案同样为 D。在这里只能说明这是“歪打正着”属于碰巧。因为根据一般的思路，我们的猜想、推算是不是就是规律，一般来说必须经过三步：第一步猜想，第二步看下一个数列里面是不是也有同样的运第 42/114 页算，第三步是验证，即看第三组数列中是不是也有同样的计算，有的话才能确认猜想的计算事故，说明要是只凭第一步和第二步就急急忙忙推算未知数，那是有特别大的危险性，出错率相当高，而且那往往是出题人设置的陷阱，对此考生一定要小心，且不可想当然解题。例 514，20，54，76，()2008 年国考第 45 题、A.104B.116C.126D.14
36、4【解析】本题比较难，规律更是不明显，但是结合答案所个数字分析数列可以发现本题数列递增比较快，但又不是特别快，就可以猜想其中隐含着平方或乘法的运算法则。由于乘法的运算不是很明显，也没有什么规律可寻，就先尝试平方的运算。突破口是 20 和 54，因为要形成平方，这两个数一个少一个 5，即 52-5；另一个则多了个 5，为 72+5 再往前往后延伸，发现前面是第 43/114 页32+5 的形式，后面是 92-5，那么所求的数位 112+5=126，选 C。2.利用数列中每一项所在的序数“凑数字，找规律”有的数列看起来比较简单，实际上解起来很难，往往有无从下手之感，那么对企业可以用“从数字，找规律
37、”的思路和方法去求解。对要“凑”的数字从数列本身找不到，或者利用原数列中的数字没法运算找不到规律时，就可以想到利用数列的每一项所在序数进行推导计算。对这类试题，如果把数列的每一项所在的序属与数列中的数字对应起来的话，本试题就变得相当简单。例 10，6，24，60，()A.108B.120C.125D.136【解析】本数列看似简单，而且从数列中比较特殊的几个书，尤其是 6、24、60 可揣测知本数列中的四个数似乎与第 44/114 页6 或 4 有倍数关系，但是首项数为 0，这种思路走不通(其实这是误导，或者说是出题人设置的陷进)，说明此数列也不可能是等比数列。在没有直接的、有效的解题思路的前提
38、下，就可考虑将数列中的各个数与其所对应的序列号 1、2、3、4联系起来尝试着推导，看能否找到某种规律或得到某些启示。把数列中的数与其对应的序列数 1、2、3、4 加起来(最好不要减，因为 0-1=-1 为负数，一般不好推导)，得到 1、8、27、64，其规律一下子就明朗了，即题干各数为自然数列 1、2、3、4 的立方依次减 1、2、3、4 所得，故最后一项为 5 的立方减 5 得 120，答案为 B。例 2-2，-8，0，64，()A.-64B.128C.156D.250【解析】本数列看似简单，但是解起来相当困难，似乎没法下手。因为从每一个数字前面的符号来看，是-、-、0、+，而不是-、+、-
39、、+、或+、-、+、-、的形式，说明数列前面的符号不是(-1)n 或(-1)n+1 的形式；说明数列也不是立方数列(-2)3=-8的形式，因为下一步就没法往下推算了。可见这些思路都走不通。在实在找不到思路的情况下就应该想到换用“凑数字，找规律”的思路进行求解。通过上面的推算可知期望通过数列本身的数字凑出规律来是行不通的，那只好借助于数列的每一项所在的序数推导了。将数列每一项的序数 1、2、3、4 与数列中的数字联系起来，结合上面的判断可知，数字前面的负号和正号相连出现，并且以第 3 项的0 为拐点由负号转为正号，说明正负号是数字前面的系数运算(相减)的结果，而且有一个数即减数保持不变，而被减数
40、是逐步递增的，到第 3 项为 0，说明被减数和减数正好相等，其结果就为 0，这里已经有一个虚数 3 了，那么第3 项的系数就第 46/114 页是 3-3=0 了，0 乘以任何数的结果都为 0，与数列中的数正好对应上。第 3 项之前的各数为负，第 3 项为 0，第 4 项为正数，说明减数 3 是一个常量，而被减数是由小到大递增的，而第 1、2 项的叙述正好为 1、2，那么可以推知每一项的系数分别为 1-3=-2，2-3=-1，3-3=0，4-3=1，即本数列的系数是(n-3)的形式(其中 n 为自然数)，那么要求的第五项的序数则为 5-3=2。另外，根据数列中的数字 2、8、64 说明本数列是
41、一个次方数列，而系数已经推知了，那么该次方数列的原数就可以用数列中的数除以系数计算得知了，那么第 1 项为(-2)（-2)=1，第 2 项为(-8)（-1)=8，第 4 项为 641=64，根据第 1、2、4 项分别为 1、8、64 可知这是一个以 1 为首位的连续自然数的 3 次方的数列，即n 的三次方的形式，那么第 3 项就是 3 的三次方=27，第 5第 47/114 页项则为 5 的三次方=125，乘以系数 2 即为 250，选 D。第 48/114 页第 49/114 页第 51/114 页第 52/114 页第 53/114 页第 54/114 页第 56/114 页第 57/11
42、4 页第 58/114 页第 59/114 页第 61/114 页第 62/114 页第 63/114 页第 64/114 页第 66/114 页递推和数列分析及 2011 题型预测递推和数列基本型是指数列的前两项的和等于第三项的一类数列。作为基本型的递推和数列在考试中并不常见，而是被一些类似基本型的题目逐渐替代，我们称它为递推和数列的变式，它们都是在递推和数列基本型的基础上逐年演变成纷繁复杂的题目。这些变式逐渐成为考生的难点和障碍，为了让考生更加熟悉和加深这类题型，本文以典型例题的形式对递推和数列的基本型和变式进行分类总结，并对 2011 年国考数字推理递推和数列部分的变化趋势进行预测，希望
43、考生在平时训练中也进行类似的总结，以便考试时能迅速辨认这类第 67/114 页题型快速答题。一、递推和数列的题型(一)递推和数列的基本型1、递推两项和数列递推两项和数列是指从数列的第三项开始，每一项都等于它的前两项之和。【例 1】【国 2002A04】1，3，4，7，11，()A.14B.16C.18D.20【答案】C【解析】1+3=4，3+4=7，4+7=11，7+11=(8)【例 2】【江苏 2005 真题】1，2，3，5，()，13A.9B.11C.8D.7第 68/114 页【答案】C【解析】1+2=3，2+3=5，猜测：3+5=(8)，检验：5+(8)=13，猜测合理。2、递推三项和
44、数列递推三项和数列是指从数列的第四项开始，每一项都等于它前面三项的和。【例】【国 2005 一类30】0，1，1，2，4，7，13，()A.22B.23C.24D.25【答案】C【解析】0+1+1=2，1+1+2=4，1+2+4=7，2+4+7=13，4+7+13=(24)3、递推全项和数列第 69/114 页递推全项和数列是指数列中的每一项都等于它前面几项的和。【例】1，1，2，4，8，16，()【答案】32【解析】1+1=2，1+1+2=4，1+1+2+4=8，1+1+2+4+8=16，1+1+2+4+8+16=(32)(二)递推和数列的变式1、递推两项和数列的变式【例 1】【国 2002
45、B4】25，15，10，5，5，()A.10B.5C.0D.-5【答案】C【解析】25-15=10，15-10=5，10-5=5，5-5=(0)【点评】此数列为逆向递推和数列。【例 2】【2005 国二 30】1，2，2，3，4，6，()A.7B.8C.9D.10【答案】C【解析】1+2-1=2，2+2-1=3，2+3-1=4，3+4-1=6，4+6-1=(9)【点评】前两项和减去常数 1 等于第三项。【例 3】1，2，4，5，10，14，()【答案】25【解析】1+1+1=4，2+4-1=5，4+5+1=10，5+10-1=14，10+14+1=(25)第 71/114 页【点评】前两项的和
46、加一周期数列等于第三项。【例 4】1，2，6，16，44，()【答案】60【解析】(1+2)*2=6，(2+6)*2=16，(6+16)*2=22，(16+44)*2=60【点评】前两项和的 2 倍等于第三项。2、三项和数列的变式【例 1】1，1，2，4，8，16，()【答案】31【解析】1+1+2+0=4，1+2+4+1=8，2+4+8+2=16，4+8+16+3=(31)【点评】前三项的和加上一变化的数等于第四项。第 72/114 页2011 年国考预测二、二、2011 以上是递推和数列的基本型和变式，这类数列的整体单调性并不明显，但是往往具有局部单调性，数字变化幅度成台阶式跨越，即某几项与后几项之间的整体变化幅度较大，且数列的项数较多，可以采用局部分析法。递推和数列的变式是 2011 年国考的考察重点，递推和数列主要有以下变化趋势：1、逆向递推和数列即数列前两项的差等于第三项;2、前两项的和减去或加上一个常数列或一基本数列(等差数列、等比数列、周期数列、幂次数列、质数列、合数列，这几类数列均指其基本型)等于第三项;3、前两项和或差的的倍数(常数列或者基本数列)等于第三项;4、前一项的倍数加一常数列(或基本数列)等于第二项，第 73/114 页
