1、第 2 课时 曲线上一点处的切线教学过程一、 问题情境平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,提出问题: 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点 P 附近的曲线的研究) 提出 “放大图形”的朴素方法,如下图:(图 1)二、 数学建构问题 1 观察“ 点 P 附近的曲线”,随着图形放大, 你看到了怎样的现象 ?(图 2)解 曲线在点 P 附近看上去几乎成了一条直线 ;继续放大,曲线在点 P 附近将逼近一条确定的直线 l,这条直线是过点 P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线.问题 2 “几乎成了一条直线”, 这么一条特殊的直线有明确位置吗 ?又为什么说是“ 几乎”? 解 点 P
2、附近可以用这条直线 l 代替曲线,用直线 l 的斜率来刻画曲线经过 P 点时的变化趋势.问题 3 怎样找到经过曲线上一点 P 处最逼近曲线的直线 l 呢?以图 3 为例.解 随着点 Q 沿曲线向点 P 运动, 直线 PQ 在点 P 附近越来越逼近曲线. 2概念生成动画演示,观察点 Q 的运动、直线 PQ 的运动、直线 PQ 斜率的变化 ,生成概念.(图 3) (图 4)Q 为曲线上不同于点 P 的一点, 这时,直线 PQ 称为曲线的割线;当点 Q 无限逼近点 P 时,直线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l,这条直线 l就称为曲线在点 P 处的切线. 3问题 4 对比平均变化率这
3、一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型, 在这里平均变化率表现为什么?我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上 P 点处的变化趋势呢?由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即为切线斜率.当 x 无限趋近于 0 时,无限趋近于点 P(x,f(x)处切线的斜率. 4三、 数学运用【例 1】 用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点 P 处的切线. (见学生用书 P43)(例 1 图(1) (例 1 图(2)(1) 初中平面几何中圆的切线的定义是什么?(2) 图(1)中和图(2)中切线与曲线公共点的个数分别是多少?公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论?你能否用函数曲线的切线举出反例?处
4、理建议 让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想.规范板书 解 (1) 与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线.(2) 图(1)中 1 个 .图( 2)中 2 个.不适用.题后反思 强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的切线只是曲线上一点处切线的特殊情况. 5变式 曲线 y=x3 在点( 1,1)处的切线与曲线有几个交点 ?规范板书 解 2 个.【例 2】 (教材第 71 页例 1)已知 f(x)=x2,求曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线的斜率. (见学生用书 P44)处理建议 为求得在点(2, 4)处的切线斜率,我们从经过点 (2,4)的任意一条直线(割线)入手.
5、规范板书 解 设 P(2,4),Q(2+x,(2+x)2),则割线 PQ 的斜率为 kPQ= =4+x,当x 无限趋近于 0 时,k PQ 无限趋近于常数 4,从而曲线 y=f(x)在点 P(2,4)处的切线斜率为 4.题后反思 本题教学手法可以多样化,比如作出图象加强直观,还可取 x0 进行比较.如有条件,可利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程,使数形结合更加紧密.变式 已知 f(x)=x-1,求曲线 y=f(x)在 x=-1 处的切线斜率.规范板书 解 设 P(-1,-1),Q -1+x, ,则割线 PQ 的斜率为 kPQ= = ,当x 无限趋近于 0 时,k PQ 无限趋近于常数-
6、1, 从而曲线 y=f(x)在点 P(-1,-1)处的切线斜率为- 1.【例 3】 已知曲线 y=在点(1 ,4)处的切线与直线 l 平行, 且与 l 的距离等于 ,求直线 l的方程. (见学生用书 P44)处理建议 应用平行直线的斜率关系和距离公式.规范板书 解 = =- .当 x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于-4 ,所以曲线在点(1,4)处的切线的斜率为-4 ,故切线方程为 y-4=-4(x-1),即 4x+y-8=0.设直线 l 的方程为 4x+y+c=0,由题得 = ,解得 c1=9,c2=-25,所以直线 l 的方程为4x+y+9=0 或 4x+y-25=0.题后反思 进一步让学
7、生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线 y=f(x)上一点 P(x0,y0)处的切线的步骤:( 1) 求差商 ;(2) 当 x(x 可正,也可负)无限趋近于0 时, 趋近于某个常数 k;(3) 曲线 y=f(x)上一点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=k(x-x0). 变式 若直线 y=3x+1 是曲线 y=ax2 的切线,求 a 的值.处理建议 本题需注意切点既满足曲线方程,又满足切线方程.规范板书 解 设切点为(x,ax 2), = =2ax+ax.当 x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 2ax,所以曲线在切点处的切线的斜率为 2ax.由 可求得 a=-.*【例 4】 试
8、求过点 P(3,5)且与曲线 y=x2 相切的直线方程.处理建议 本题应设出切点(x 0, ),求出相应的切线方程,再根据此方程过点 P(3,5),利用待定系数法求出 x0.规范板书 解 设所求切线的切点坐标为(x 0, ), = =2x0+x,当 x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 2x0,所以曲线在切点处的切线的斜率为 2x0,则所求切线方程可表示为y- =2x0(x-x0),因为切线过点 P(3,5),所以 5- =2x0(3-x0),解得 x0=1 或 5,即所求的切线有两条,方程分别是 y=2x-1 和 y=10x-25.题后反思 学生解答本题时会误以为点 P(3,5)是切点,导致
9、过点 P(3,5)处的切线斜率为 6.变式 求曲线 y=x3 的过点( -1,-1)的切线方程.规范板书 解 设所求切线的切点坐标为(x 0, ), = =3 +3x0x+x2,当 x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 3 ,所以曲线在切点处的切线的斜率为 3 ,则所求切线方程可表示为 y- =3 (x-x0),因为切线过点(-1,-1 ),所以- 1- =3 (-1-x0),解得 x0=-1 或, 即所求的切线有两条,方程分别是 y=3x+2 和 y=x-.题后反思 学生解答本题时会误以为点(-1,-1)一定是切点,没有讨论点(-1,-1 )是切点和不是切点两种情况.四、 课堂练习1. 在下
10、列曲线中,可以用割线逼近切线的方法作出点 P 处的切线的有 .(填序号) (第 1 题)2. 求曲线 y= 在点( 1, )处的切线的斜率.解 设 P(1, ),Q(1+x, ),则割线 PQ 的斜率为 kPQ= = .当 x 无限趋近于0 时,k PQ 无限趋近于常数 ,从而曲线 y=f(x)在点( 1, )处的切线斜率为 .3. 已知抛物线 y=ax2+bx-7 过点 (1,1),且过点(1, 1)的抛物线的切线方程为 y=4x-3,求 a,b 的值.解 利用求切线斜率的方法可求出在(1, 1)处的切线斜率为 2a+b,所以 可得 a=-4,b=12.五、 课堂小结1. 知识层面:主要学习了曲线上一点处的切线.2. 思想方法层面:利用“局部以直代曲”和“无限逼近”的思想割线逼近切线 .3. 总结我们经历过的“以直代曲”、 “无限逼近” 的生活实例和数学实例. 6
