1、高等代数评分标准 A（第 1 页） （共 6 页） 高等代数评分标准 A 试题（第 2 页） （共 6 页）系别_ _专业_班级_姓名_学号_是否重修(是、否)题 号 一 二 三 四 五 总分得 分一、填空题（每空 2 分，共 10 分）1.设 若 除以 后余式等于432()2,()31fxxabgx()fx()g，则 （ ） ， （ ）5a562.当 分别为何值时，排列 为偶排列（ , ）,ik1749ik8i3k3. 设 为 矩阵，则当 m（ ）n 时，齐次线性方程组 必有非零解。An 0AX4.矩阵 不是可逆矩阵，则 的值等于（ ）1023aa12二、单项选择题（每小题 3 分，共 15
2、 分）1.下列命题正确的是（ ）BA. 如果 是 的 重根，那么 是 的 重根 ()fxm()fx1mB. 如果 是 的 重根，那么 是 的 重根1C. 如果 是 的 重根，那么 是 的 重根 f fD. 如果 是 次多项式，那么 有 重根(), ()2.按字典排法多元多项式的首项是( ）6323103421234241424(, 57fxxxxxCA. B. C. D. 6324x321x3412x1037x3. 级行列式 的值为（ ）n00100 CA. B. C. D. 2(1)n(1)2n1()2n(1)n4.设 是 维向量组，下列命题正确的是（ ）2,m BA. 如果 不能由 线性表
3、示，则 线性无关121,m 12,mB. 如果 线性相关， 不能由 线性表出，则 线12, 121,m性相关 C. 如果 中，任意 个向量都线性无关，则 线性无关12,m 112,mD. 零向量不能由 线性表示12,5.一个 阶方阵的行列式为零，经过若干次初等变换后，该行列式的值（ ）n CA. 保持不变 B.保持不为零 C. 可以为任何值 D. 保持相同的符号三、判断题（每小题 2 分，共 10 分）1. 在实数域上是否可约 （ 是 ）41x2. 当矩阵 可逆时， 的伴随矩阵 也可逆 （ 是 ）AA3. 当 则 必线性无关 121200,r rkkkk 时 ， 有 12r， ， ，（ 不一定
4、 ） 4. 设 阶矩阵 的列向量为 若 ，则 3A123,123, 1233,(),16（ 正确 ） 5. 齐次线性方程组 的一个非零解和非齐次线性方程组 的一个非零解必线0XXb性无关。 （ 是 ） 得 分 评卷人得 分 评卷人得 分 评卷人数学系本科 20072008 学年第一学期试题（A 卷）高等代数评分标准（2007 级）注意事项：1、本试卷满分 100 分，共 6 页，答题时间为 2 小时。2、答卷前将密封线内项目填写清楚。高等代数评分标准 A（第 3 页） （共 6 页） 高等代数评分标准 A 试题（第 4 页） （共 6 页）系别_ _专业_班级_姓名_学号_是否重修(是、否)
5、四、计算题（共 35 分）1.（10 分） 计算 阶行列式 n123nnayyDya (,12,)ian解：加边法：11 12 2,20 0irn n nyyaDyyaay 111 122,3 1200()()jjnicay nnn inyya yayaay （每个等号 2.5 分）2 （10 分）设矩阵 的伴随矩阵 ，且 ，试A43016172AXE求矩阵 X解：由题意得 ，由 两边取行列式得 ，27AE4即 于是 ，3A3(3) 分用 左乘 得 ，再右乘 得：11X11172XA，即 72E1()72AE() 分从而： 111173072()72()24(3)246XEAAE（10 分）0
6、83017172480463 3 （15 分） 取何值时，线性方程组 有唯一解、无解、无穷多解？在12324x有无穷多解时，求通解（用向量形式表示）解：线性方程组的系数矩阵的行列式为 （4 分）1(1)2A （1）当 且 时，方程组有唯一解 （6 分）14 （2）当 时，增广矩阵322131414050381485rrA ， ，方程组无解 （10 分）()3R() （3）当 时，增广矩阵 221 13 3514403605018rrA 得 分 评卷人高等代数评分标准 A（第 5 页） （共 6 页） 高等代数评分标准 A 试题（第 6 页） （共 6 页）系别_ _专业_班级_姓名_学号_是否
7、重修(是、否) ，方程组有无穷多解，此时同解方程组为()23RA即 ， （13 分）1324x1234xk 其特解为 ，对应的齐次线性方程组的基础解系为0，故原方程组的通解为 （15 分）1312013 34xXk 五、证明题（每小题 10 分，共 30 分）1. 证明： .（ 的首项系数为 1）(),()(),()fxhgxfgxhx证明：首先，由 ，| |得： ， （3 分）(),()|()fxfx,()|()fxx 其次，存在多项式 与 ，使 （5uv ()gfugxv 分）因而得： （8 分）(),()()()fxghfxxhv 故 是 与 的一个最大公因式， （9g 分）又 首项系数
8、为 1，所以：(),()fxgh（10 分）(),()xfgxh 2.设 为 矩阵，证明：如果 ，那么秩 秩,ABn0B()Bn证：令 ，由于 （312(,)nB 1212(,)(,)0nnABBAB 分）因此 ，即 是齐次方程组 的解， （6120,0nA 12,n X分）设秩 ，则 可由 个线性无关的解向量线性表示， （8 分）()r12,nB r 于是秩 ，即秩 秩 （10 分）n()A()Bn 3. 设 是非齐次线性方程组 的 个线性无关的解向量，其中012,r AXb1r是 矩阵，且 ，证明 是 的基础解系Am()R0120,nr 0AX证明：因为 ，所以,12)ibinr00()(,)iiAir即 是 的解向量， （3 分）12,nr 0X 下面证明它们线性无关，设 10200()()()nrnrkkk即 ，由于 线性无关120nr r 012,nr所以 ，故 线性无关 （8 分）12rkk 012,nr 又由于 是 矩阵且 ，知 的基础解系含 个解向量，Am()RAX故， 是 的基础解系 （10 分）0120,nr 得 分 评卷人
