1、校苑资源网整理 校苑数学建模整理 http:/shumo.xy- - 1 - 历年美国大学生数学建模赛题 目录 MCM85 问题-A 动物群体的管理. - 3 - MCM85 问题-B 战购物资储备的管理 . - 3 - MCM86 问题-A 水道测量数据. - 4 - MCM86 问题-B 应急设施的位置. - 4 - MCM87 问题-A 盐的存贮. - 5 - MCM87 问题-B 停车场. - 5 - MCM88 问题-A 确定毒品走私船的位置 . - 5 - MCM88 问题-B 两辆铁路平板车的装货问题 . - 6 - MCM89 问题-A 蠓的分类. - 6 - MCM89 问题
2、-B 飞机排队. - 6 - MCM90 问题 A 药物在脑内的分布 . - 6 - MCM90 问题-B 扫雪问题. - 7 - MCM91 问题-B 通讯网络的极小生成树 . - 7 - MCM 91 问题-A 估计水塔的水流量 - 7 - MCM92 问题-A 空中交通控制雷达的功率问题 . - 7 - MCM 92 问题-B 应急电力修复系统的修复计划 - 7 - MCM93 问题-A 加速餐厅剩菜堆肥的生成 . - 8 - MCM93 问题-B 倒煤台的操作方案. - 8 - MCM94 问题-A 住宅的保温. - 9 - MCM 94 问题-B 计算机网络的最短传输时间 - 9 -
3、 MCM-95 问题-A 单一螺旋线 - 10 - MCM95 问题-B A1uacha Balaclava 学院 - 10 - MCM96 问题-A 噪音场中潜艇的探测 . - 11 - MCM96 问题-B 竞赛评判问题. - 11 - MCM97 问题-A Velociraptor(疾走龙属)问题 - 11 - MCM97 问题-B 为取得富有成果的讨论怎样搭配与会成员 - 12 - MCM98 问题-A 磁共振成像扫描仪. - 12 - MCM98 问题-B 成绩给分的通胀. - 13 - MCM99 问题-A 大碰撞. - 13 - MCM99 问题-B “非法”聚会. - 14 -
4、 MCM2000 问题-A 空间交通管制 - 14 - MCM2000 问题-B: 无线电信道分配 - 14 - 校苑数学建模整理 http:/shumo.xy- - 2 - MCM2001 问题- A: 选择自行车车轮. - 15 - MCM2001 问题-B 逃避飓风怒吼（一场恶风） . - 15 - MCM2001 问题-C 我们的水系-不确定的前景. - 16 - MCM2002 问题-A 风和喷水池 - 16 - MCM2002 问题-B 航空公司超员订票 - 16 - MCM2002 问题-C 蜥蜴问题. - 16 - MCM2003 问题-A: 特技演员 - 18 - MCM20
5、03 问题-B: Gamma 刀治疗方案 . - 18 - MCM2003 问题-C 航空行李的扫描对策 - 19 - MCM2004 问题-A：指纹是独一无二的吗？. - 19 - MCM2004 问题-B：更快的快通系统. - 19 - MCM2004 问题-C 安全与否？ - 19 - MCM2005 问题 A.水灾计划 - 19 - MCM2005 问题 B 收费站问题 . - 19 - MCM2005 问题 C：不可再生的资源 . - 20 - MCM2006 问题 A: 用于灌溉的自动洒水器的安置和移动调度 - 20 - MCM2006 问题 B: 通过机场的轮椅 - 20 - M
6、CM2006 问题 C : 抗击艾滋病的协调 . - 21 - MCM2007 问题 A：不公正的选区划分 - 23 - MCM2007 问题 B：飞机就座问题 - 24 - ICM2007 问题 C：器官移植：肾交换问题. - 24 - MCM2008 问题 A:给大陆洗个澡 - 27 - MCM2008 问题 B：建立数独拼图游戏 . - 27 - ICM 2008 问题 C：寻找好的卫生保健系统. - 27 - MCM2009 问题 A 设计一个交通环岛 - 28 - MCM2009 问题 B 能源和手机 . - 28 - ICM2009 问题 C 构建食物系统: 重新平衡被人类影响的生
7、态系统. - 29 - 校苑数学建模论坛整理 校苑数学建模整理 http:/shumo.xy- - 3 -MCM85问题-A 动物群体的管理 在一个资源有限，即有限的食物、空间、水等等的环境里发现天然存在的动物群体。试 选择一种鱼类或哺乳动物(例如北美矮种马、鹿、免、鲑鱼、带条纹的欧洲鲈鱼)以及一个你 能获得适当数据的环境，并形成一个对该动物群体的捕获量的最佳方针。 MCM85问题-B 战购物资储备的管理 钴对许多工业是必不可少的(1979年仅国防需要就占了全世界钴生产量的 17 )， 但是钴不产生在美国。 大部分钴来自政治上不稳定的构 F地区。 见图 85B-1， 85B-2，85B-3。
8、1946年制订的战略和稀有作战物资存贮法令要求钴的储存量应保证美国能 渡过三年战争时期。 50年代政府按要求存贮了， 并在 70年代卖掉了大部分贮量， 而在 70年代后期决定重新贮存，贮存的指标是 8540万磅，到 1982年获得了贮 量的一半。 试建立一个战略金属钴的储存管理数学模型。你需要考虑诸如以下的问题； 贮量应多大?应以多大的比率来获得贮量?买这些金属的合理价格应该是多少?还 要求你考虑诸如以下的问题，贮量达到多大时应开始减少贮存量?应以多大的比 率来减少？卖出这些金属的合理价格应该是多少?应该怎样分配(附页中有关于 钴的资源、价格、需求及再循环等方面的信息) 关于钴有用信息： 19
9、85年政府计划需要 2500万磅钴。进行周而复始的生产经营，从而每年可 生产 600万磅钴。1980年占总消耗量 70银的 120万磅钴再循环了，得到了重新 处理。 校苑数学建模论坛整理 校苑数学建模整理 http:/shumo.xy- - 4 -MCM86问题-A 水道测量数据 表 86A-1 给出了在以码为单位的直角坐标为 X， Y的水面一点处以英尺计的水 Z水深 数据是在低潮时测得的。船的吃水深度为 5 英尺。在矩形区域(75，200)(-50，150)里的哪 些地方船要避免进入。 本题是由加州海军研究生院数学系的 Richard Franke 提供的，可阅他的论文 Scattered
10、Data Interpolation，Math，Comput.，38(1982)，18l-200。 MCM86问题-B 应急设施的位置 “里奥兰翘镇”迄今还没有自己的应急设施。1986 年该镇得到了建立两个应急设施的 安全拨款。每个设施都把救护站、消防队和警察所合在一起。图 86B-1 指出了 1985 年每个 长方街区应急事件的次数。在北边的上形状的区域是一个障碍，而在南边的长方形区域是一 个有浅水池塘的公园。应急车辆驶过一条南北向的街道平均要花 15 秒，而通过一条东西向 的街道平均要花 20 秒。你的任务就是确定这两个应急设施的位置，使得总的响应时间最少。 校苑数学建模论坛整理 校苑数学
11、建模整理 http:/shumo.xy- - 5 - 假定需求集中在每个街道的中心而应急设施位于街角处； 假定需求是沿包围每个街区的街道上平均分布的，而应急设施可位于街道任何地方。 本题是由马里兰州沙里斯勃莱州立学院地理学与地区规划系的 J.C. McGrew 提供的。 MCM87问题-A 盐的存贮 美国中西部一个州把冬天用来洒在马路上的盐存贮在一个球顶仓库里大约有 15 年了。 图 87A-1 表示在过去 15 年中盐是怎么存贮的*通过驾驶铲斗车在由盐铺成的坡道上进出仓 里并利用铲斗车上的铲子把盐装进仓里或从仓里取出来。 最近， 一个小组确定这种做法是不安全的。 如果铲斗车太靠近盐堆的顶端，
12、 盐就要滑动， 而铲斗车就耍翻到为加固仓库而筑的拥壁上去。小组建议，如果盐堆是用铲斗车堆起来的， 那么盐堆的最高高度不要超过 15 英尺。对这种情况建立一个数学模型并求得在仓库中的盐 堆的最大高度。图中仓高 50 英尺，拥壁高 4 英尺，仓的外直径 103 英尺，门的净空高 l 9 英尺 9 英寸，铲斗车高 10 英尺 9 英寸。 本题是由印第安纳大学的 M.Thompon 提供的， 是从出现在 1986 年 11 月的 Indianapolis Star 的一个实际问题改造而成的。 MCM87问题-B 停车场 在新英格兰地区一个镇上位于街角处的一个停车场的场主雇你来设计该停车场的安排， 即设
13、计“在地上的线应怎样划法” 。 你一定认识到要把尽可能多的车塞进停车场会导致以直角停靠的方式一辆挨一辆地排 成行。但是缺乏经验的司机对于这种停靠方式是有困难的，这可能引起昂贵的保险费要求。 为了减少停靠车辆时可能造成的损坏，场主就要启用一些熟练的汽车司机作为 “专职停靠司机” 。另一方面，如果汽车从通道进来有一个足够大的“转弯半径”的话， 那么大多数司机看来都不会有很大的困难一次就停靠到该停靠的位置上去。 当然通道愈宽能 容纳的车辆就愈少，这就会导致停车场场主收入的减少。 本题是由加州海军研究生院的 MD.Weir提供的。 MCM88问题-A 确定毒品走私船的位置 相距 5.43 哩的监听站收
14、听到一个短暂的无线电讯号。收听到讯早的时候测向仪分别定 位在 111和 119处见图 88A-1)，测向仪的精度为2，该讯号来自一个毒品交换活跃 的地方，据推测该处有一只机动船正等着有人来取毒品。当时正值黄昏、无风、无潮流。一 架小型直升飞机离开监听站的简易机场并能精确地沿 111角方向飞行。直升飞机的飞行 速度是走私船的三倍。在离船 500 英尺时船上能听到直升飞机的声音。直升飞机只有一种侦校苑数学建模论坛整理 校苑数学建模整理 http:/shumo.xy- - 6 - 察仪器-探照订。在 200英尺远的地方探照灯只能照明半径为 25 英尺的圆域。 说明飞行员能找到正等着的毒品船的(最小)
15、区域。 研究一种直升飞机的最佳搜索方法。 在你的计算中要有 95的精度。 本题是由加州 Claremont McKenna 学院的 J.A.Ferling 提供的。这是一个分类(分组问题) 的修正简化形式。原问题和现在简化的问题都还没有一种已知的最化解法。 MCM88问题-B 两辆铁路平板车的装货问题 有七种规格的仪装箱要装到两辆铁路平板车上去。 包装箱的宽利高是一样的， 但厚度(t， 以厘米计)及重量(w，以公斤计)是不同的。表 88B-1 给出了每种包装箱的厚度、重量以及数 量。图 88B-1 中每辆平板车有 10.2 米长的地方可用来装包装箱（象面包片那样)，载重为 40 吨。由于当地货
16、运的限制，对 C5，C6，C7 类的包装箱的总数有-个特别的限制；这类箱子 所占的空间(厚度)不能超过 302.7 厘米。试把包装箱装到干板车上去使得浪费的空间最小。 本题是由佐治亚理工学院的 JBartholdi 提供的。这是出现在福特汽车公司的一个尚未 解决的问题的修正与简化。JBartholdi 还写了一篇评论性文章 The Outstanding Railroad Flatcar Papers，The UMAP Journal，v.9(1988)，no.4，399-103 MCM89问题-A 蠓的分类 两种蠓 Af 和 Apf 己由生物学家 W.L.Grongan 和 W. W. Wi
17、 r t h ( 1 9 8 1 年)根据它们的触角长 度和翼长加以区分(见图 89A-1)，9 只 Af 蠓用标记，6 只 Apf 鲸用“.”标记。根据给出的触 角长度和翼长识别出一只标本是 Af 还是 Apf 是重要的。 给定一只 Af 或者 Apf 族的蝶，你如何正确地区分它属于哪一族? 将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24，1.80)、(1.28，1.84)、(1.40，2.04)的三个 标本。 设 Af 是宝贵的传粉益虫，Apf 是某种疾病的载体，是否应该修改你的分类方法，若 需修改，怎么改? MCM89问题-B 飞机排队 机场通常都是用“先来后到”的原则来分配飞机跑道，即当飞
18、机准备好离开登机口时， 驾驶员电告地面控制中心，加入等候跑道的队伍。 假设控制塔可以从快速联机数据库中得到每架飞机的如下信息： 预定离开登机口的时间； 实际离开登机口的时间； 机上乘客人数； 预定在下一站转机的人数和转机的时间； 到达下一站的预定时问。 又设共有七种飞机，载客量从 100人起以 50 人递增，载客最多的一种是 400 人。 试开发和分析一种能使乘客和航空公司双方满意的数学模型。 本题是由纽约市立大学约克学院的 Joseph Malkevitch 提供的。 MCM90问题 A 药物在脑内的分布 研究脑功能失调的人员欲测试新的药物的效果，例如治疗帕金森症往脑部注射多巴胺 (Dopa
19、mine)的效果，为了精确估计药物影响到的脑部区域，他们必须估计注射后药物在脑内 空间分布区域的大小和形状。 研究数据包括 50 个圆柱体组织样本的每个样本药物含量的测定值(如图 90A-1)， 每个圆 柱体长 0.76mm，直径 0.66mm，这些互相平行的圆柱体样本的中心位于网络距为 1mm 0.76mm1mm的格点上，所以圆柱体互相向在底面上接触，侧面互不接触。注射是在最高 计数的那个圆柱体的中心附近进行的。 自然在圆柱体之间以及由圆柱体样本覆盖的区域外也 有药物。 试估计受到药物影响的区域个药物的分布。 校苑数学建模论坛整理 校苑数学建模整理 http:/shumo.xy- - 7 -
20、MCM90问题-B 扫雪问题 地图如图 90B-1 中的实线表示马里兰州威考密科县中扫雪区域中的二车道马路， 虚线表 示州属高速公路。 一场雪后， 从位于地图 b 标记地点以西 4 英里的二处车库派出两辆扫雪车。 求用两辆扫雪车扫清马路上的雪的有效的方法，扫雪车可以利用高速公路进出扫雪区。假设 扫雪车既不会发生故障也不停顿，在交叉路口不得特别的扫雪方法。 MCM91问题-B 通讯网络的极小生成树 两个通讯站间通讯线路的费用与线路的长度成正比。通过引入若干个“虚设站”并构造 一个新的 Steiner 树就可以降低由一组站生成 Nf 自统的极小生成树所需的费用。 用这种方法 可降低费用多达 。 而
21、且为构造一个有 n个站的网络的费用最低的 Steiner树绝不需要多于(n-2) 个虚设站。下面是两个简单的例子。 对于局部网络而言，有必要用直折线距离或“棋盘”距离来代替欧氏直线距离。 假定你希望设计一个有 9 个站的局部网络的最低造价生成树。这 9 个站的直角坐标是： 限定你只能用直线，而且所有的虚设站必须位于格点上(即其坐标是整数)。每条直线段的造 价是其长度值。 求该网络的一个极小费用树。 假定每个站的费用为 ，其中 d通讯站助度，若 w=1.2，求极小费用树。 试推广本问题。 本题是由马里兰州沙里斯勃菜州立大学数学科学系 B.A.Fusaro(他也是 MCM的 Director) 提
22、供的，他是受启发于 Cipra.Barry A Euclidean geometry alive and well in the computerageSIAM New5，v.24(1991)，no.1，16-17，19 MCM 91问题-A 估计水塔的水流量 美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所 用的总水量，但许多社区并没有测量流人或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每 小时测量水塔中的水位，其精度在 0.5以内。更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中 的水位下降到某一最低水位 L 时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位只，但也 无法得到水泵
23、的供水量的测量数据。因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中的水 位与水泵工作时的用水量之间的关系。水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约二小时。 试估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量 f(t)，并估计一 天的总用水量。 MCM92问题-A 空中交通控制雷达的功率问题 要求你决定一个主要城市的机场的空中交通控制雷达发射的功率。 机场行政部门希望兼 顾安全性与经济性使雷达的发射功率最小。 机场行政部门限于使用现有的天线和接收线路。 唯一可以考虑的选择是改进雷达的发射 电路使雷达更强大。你要回答的问题是雷达必须发射多少功率（以瓦特为单位)反以保证能 探测到 100公
24、里以内的标准客机。 技术说明： 雷达天线是一个旋转抛物面的一部分，该抛物面的焦距又 1 米。它投影至与顶点相同 的平面是一个长轴为 6米， 短轴为 2米的椭圆。 从焦点发出的主能量柬是一个椭圆锥， 其长轴角为 1 弧度，短轴角为 50 毫弧度。天线和能量束的简图如图 92A-1 所示。 理想化的一类飞机是具有 75 平方米完全雷达反射截面团飞机，亦即在你的初步模型 中飞机等价于一个 75 的小心位于天线轴线上并垂直于该轴的 100%反射圆碟，你亦 可以考虑其它模型或改进这个模型。 接收线路的灵敏度是雷达天线反馈报警器(位于雷达天线的焦点)刘 10 微瓦的回波信 号会作出反应。 MCM 92问题
25、-B 应急电力修复系统的修复计划 为沿海地区服务的电力公司必须具备应急系统来处理风暴引起的电力中断。 这样的系统校苑数学建模论坛整理 校苑数学建模整理 http:/shumo.xy- - 8 - 需要由估计的修复时间和费用与由客观准则判定的停电的“价值” 构成的数据输入，过去 HECO电力公司曾因缺乏优先方案而遭受传播媒介的批评。 设想你是 HECO 电力公司顾问。HECO 具有一个实时处理的，通常包含下述信息的服 务电话的计算机数据库： 报修时间；需求者类型；估计受害人数；地点(X,Y)。 有两个工程队调度所，分别位于(0,0)和(40,40)，其中 x, y以英里为单位。HECO的服务 区
26、域在-65x65 和-50y50 之内。因为该地区完全都市化了，有极好的道路网络。工 程队只是在上班和下班时必须回调度所。公司的政策是：若停电的设施是铁路或医院，只要 有工程队可派就立即处理，其他情形都要等暴风雨离开这一地区后才开始工作。 HECO请你为表 92B-1所列的暴风雨修复请求和表 92B-2所列的维修能力建立客观准则 和安排工作计划。注意，第一个电话是凌晨 4： 20 接到的，暴风雨在上午 6： 00 离开该地区， 还要注意很多停电户是当酬反迟才报修的。 HECO出自自身的目的需要一份技术报告和一份用外行术语写就的“执行简要”来提交 新闻媒介。他们希望有对将来的建议。为决定你的优先
27、计划安排系统，你还需作一些附加的 假设，请详述这些假设。将来你可能希望有附加的数据，如果有，详述这些需要的信息。 MCM93问题-A 加速餐厅剩菜堆肥的生成 一家注重环境的学校餐厅正用微生物把顾客没吃完的食物再循环生成堆肥。 每天餐厅把 吃剩的食物和泥浆(粘结剂)混合，再把它们和厨房里容易弄碎的色拉菜以及少量的扯碎的纸 片混合，并把混合物喂给一种真菌培养物和土壤细菌，它们把泥浆、绿叶菜、纸片消化形成 有用的塔肥。易碎的绿叶莱为真菌培养物提供氧气，而纸片则吸收过量的湿气。但有时真菌 培养物显得不能或不肯消化顾客留下的那么多的剩饭菜。 餐厅并没有因为真菌培养物没有胃 口而责怪厨师长。餐厅收到要大量
28、购买他们生产的堆肥的报价，所以餐厅正在研究增加堆肥 产量的方法。由于无力营建一套新的堆肥设备，因此餐厅首先寻求能加速真菌培养物活力的 方法，例如，通过优化真菌培养物的环境(眼下大约是在 120F 和 100湿度的环境下生成堆 肥的)，或通过优化喂给真菌培养物的混合物统成，或同时优化两者(而达到加速真菌培养物 的活力)。 试决定在喂给真菌培养物的混合物中泥浆、 绿叶莱和纸片印比例与真菌培养物把混合物 生成堆肥的速度间是否存在任何关系。若你认为不存在任何关系，试说明理由。否则，试决 定什么样的比例会加速真菌培养物的活力。 除了按竞赛规则说明中规定的格式写的技术报告外， 请为餐厅经理提供一页长的用非
29、技 术术语表示的实施建议。 作为数据， 表 93A-l 列出了分别存放在不同的箱子中用磅表示的混合物组成中各种原料 的数量，以及把混合物喂给真菌培养物的日期以及完全生成堆肥的日期(以表示生成堆肥所 需的时间)。 本题是由东华盛顿大学数学系的 Yves Nievegctlt提供的， 本题叙述的情况及数据来自华 盛顿奶 Medical Lake 地区监狱的餐厅。他还写了一篇评论文章 The outstanding optimal compostingpapers，The UMAP Journal，v.4(1993)，no.3，227-228 MCM93问题-B 倒煤台的操作方案 Aspen-Bou
30、lder 煤矿公司经营一个包括一个单个的大型倒煤台在内的装煤设施。当装煤 列车到达时，从倒煤台往上装煤。一列标准列车要用 3 小时装满，而倒煤台的容量是一列半 标准列车。每天，铁道部门向这个装煤设施发送三列标准列车。这些列车可在当地时间上午 5 点到下午 8点的任何时间内到达。每列列车有三辆机车。如果一列车到达后因等待装煤而 停滞在那里(即处于等待服务状态)的话、铁道部门要征收一种称为滞期费的特别费用、每小 时每辆机车 5000 美元。 此外， 每周星期四上午 11 点到下午 l 点之间有一列大容量列车到达。 这种特殊的列车有五辆机车并能装两列标准列车的煤。 一个装煤工作班要用 6 个小时直接
31、从 煤矿运煤来把空的倒煤台装满。这个工作班(包括它用的设备)的费用是每小时 9000 美元。 可以调用第二个工作班运行一个附加的倒煤台操作系统来提高装煤速度，而费用为每小时 12000 美元，出于安全的原因，当往倒煤台装煤时，不能往列车上装煤。每当由于往倒煤台 装煤而中断往列车上装煤时，就要征收滞期费。 校苑数学建模论坛整理 校苑数学建模整理 http:/shumo.xy- - 9 - 煤矿公司的经理部门要请教你们如何决定该倒煤台的装煤操作的午预期开支， 你们的分 析应包括考虑以下的问题： 应调用几次第二个工作班? 预期的月滞期费是多少? 如果标准列车能按调度在确切时间到达，什么样的日调度安排
32、能使装煤费用最少？ 调用第三个费用每小时 12000 美元的倒煤台操作系统工作班， 能否降低年操作费用? 该倒煤台每天能否再装第四辆标准列车的煤? 本题是由位于科罗拉多州 Golden的科罗拉多矿业学院的 Genc Woolsey根据他在怀俄明 州一家煤矿公司做顾问中的问题建议的。位于纽约州的西点军校的 ChriArney 和 Jack Robortson 据此形成了本问题。 MCM94问题-A 住宅的保温 HUP 公司正在考虑建造从单幢住宅到公寓楼大小不同的住宅。公司主要关心的是房主 定期支付的费用-特别是暖气和冷气的费用最少。建房地区位于全年温度变化不大的温带地 区。 通过特殊的建筑技术
33、HUP 公司能不依靠对流-即不需要依靠开门开窗-来帮助调节住 宅的温度。这些住宅都是只有混凝土厚板地板为仅有基础的单层住宅。你们被雇用为顾问来 分析凝土厚板地板小的温度变化， 由此决定地板表面的平均温度能否全年保持在指定的舒适 范围内。如果可能的话，什么样的尺寸和形状能做到这点？ 第一部分地板温度 由表 94A-1 给 G66 每天温度的变化范围，试研究混凝土厚板中温度的变化。假定最高 温度在中午达到，最低温度在午夜达到。试决定能否在只考虑幅射的条件下设计厚板使其表 面的平均温度保持在指定的舒适范围内。一开始，先假定热是通过暴露在外的厚板的周边传 入住宅的，而厚板的上、下表面是绝热的。就这些假
34、设是否恰当、假设的敏感性作山评论。 如果你们不能找到满足表 94A-1 条件的解，你们能作出满足你们提出的表 94A-1 的厚板的 设计吗? 第二部分建筑物温度 试分析一开始所作假设的实用性，并将其推广到分析单层住宅内温度的变化。住宅内温 度能否保持在舒适范围内。 第三部分建筑费用 考虑到建筑的各种限制及费用，试提出一种考虑 HUP 公司关于降低甚至免去暖气和冷 气费用这一目标的设计。 MCM 94问题-B 计算机网络的最短传输时间 在你们的公司里，各部门每天都要分享信息。这种信息包括前一天的销售统计和当前的 生产指南。尽快公布这些信息是十分重要的。 假设一个通讯网络被用来从一台计算机向另一台
35、计算机传输数据组(文件)。作为例子，考虑 下列图 94B-1 模型： 顶点从 表示计算机，边 表示(由边的端点表示的计算机之间)要传输的文件。 表示传 输文件乙所需的时间， 表示计算机 同时能传输多少个文件的容量。文件传输包括占用有关 计算机为传输该文件所需的全部时间。 1 表示计算机 一次只能传输一个文件。 我们有兴趣的是以最优的方式安排传输，即使得传输完所有的文件所用的总时间最小。 这个最小总时间称为接通时间(makespan)。请为你们的公司考虑以下三种情形： 情形 A； 你们公司有 28 个部门。每个部门有一台计算机，在图 94B-2 中每合计算机用顶点表示。 每天必须传输 27 个信
36、息，在图 94B-2 中用边来表示。对于这个网络，对所有的 x,y 1， 校苑数学建模论坛整理 校苑数学建模整理 http:/shumo.xy- - 10 - 1 试找出该网络的最优安排以及接通时间。你们能向你们的主管人员证明你们对该网络求 得的接通时间是最小可能(最优)的吗?叙述你们求解该问题的方法。你们的方法适用于一股 情形吗，即是否适用干了 ， 以及图结构都是任意的情形? 情形 B： 假设你们公司改变了传输要求。现在你必须在同样酌基本网络结构(见图 94B-2)上考虑不同 类型和大小的文件。传输这些文件所需时间由表 94B-1 中每条边的了 项表出。对所有 y 仍 有 1试对新网络找出最
37、优安排和接通时间，你们能证明对新网络而言你们求得的最小接 通时间是最小可能的吗?叙述你们求解该问题的方法。 你们的方法适用于一般情形吗?试对任 何特异的或出乎意料的结果发表评论。 情形 C： 你们公司正在考虑扩展业务。如果公司真的这样做的话每天有几个新文件(边)要传输。这 种业务扩展还边括计算机系统的升级换代.28 个部门中的某些部门将配备新的计算机使之每 次能传输不止一个文件。 所百这些变化都在下面的图 94B-3以及表 91B-2， 表 94B-3 中表明。 你们能找到的最优安排和接通时间是什么?你们能证明对该网络而言这个接通时间是最小可 能的吗?叙述你们求解该问题的方法。试对任何特异的或
38、者出乎意料的结果发表评论。 MCM-95问题-A 单一螺旋线 问题为向小型微生物工程公司提供帮助。设计出“实时”求一条螺旋线与空间中位于一 般位置的平面(见图 95A-1)所有交点的方法， 证明方法的正确性并编程对算法进行数值检验。 在计算机辅助几何设计(CAGD)中用类似程序可使工程人员观察到他们所设计物体的截面， 例如，飞机引擎，汽车缓冲装置或者医疗器材等。而且工程设计人员也许还能显示出诸如气 流、压力、温度以及用颜色或水平线的编码。进一步地，工程人员可以运 过对整个物体的截面部分进行快速扫描以得到物体的三维视觉及其运动、 受压和受热时 的反应。为达此目的，所用的计算机程序必须以尽可能快的
39、速度和尽可能高的精度找出所需 观察平面与所给物体每一部分的所有交点，一般所指的“问题求解”即为求此类点，但对特 殊问题而言，特殊方法或许比通用方法更高效更准确。特别地，通用的计算机辅助几何设计 软件或许会由于速度太慢而不能完成实时计算， 或者软件适用范围虽然广泛但并不适合公司 所提出的医疗服务要求，基于上述考虑，公司提出下列问题。 问题 设计、判断、编程并检验给定平面与螺旋线在空间小任意位置和方向上的交点。 例如，在化学或医疗器械中，一段螺旋线可表示为直立悬挂的弹簧或一小段纲管。 算法理论上的证明需要通过几种不同的角度来进行，例如，对算法进行数学上的证明并用已 知例子的编程进行检验，另外，从事
40、医疗服务的当事人进行检验和证实也是必要的。 MCM95问题-B A1uacha Balaclava学院 A1uacha Balaclava 学院聘用了一个新院长。前任院长是由于教员工资问题而被迫辞职 的，因此，新院长需要制定一个公平台理的工资系统方案，以树立其权威。作为第一步，她 聘请你们队作为顾问，设计一个能够反映以下背景及原则的工资系统。 背景 教员共分四级：助教、讲师、副教授、教授。博士毕业后任教的教员被聘为讲师。在读 的博士生被聘为助教，并且当毕业时自动升为讲师。副教授通常须满七年后才能申报教授。 级别晋升由院长及一个教师委员会来决定，你们无须考虑此问题。 教员每年发 10 个月工资：
41、从 9 月到次年 6 月。每次晋级从 9 月起生效。能够用于晋级增加 工资的奖金数日每年有所不同，通常需要到 3 月份才能知道确切数白。一个没有从教经历的 助教及讲师的韧始工资分别是 27000 元及 32000元。 一个受聘教员在其他学校的教学经历同 样得到承认。 原则 只要资金允许，所有教员助工资每年都应增加。 教员应能从晋级中获得充分的利益。如果一名教员在尽可能短的时间内得到晋升，其获得校苑数学建模论坛整理 校苑数学建模整理 http:/shumo.xy- - 11 - 的利益应大致相当于七年增加的工资。 如果一个教员都是正常晋级(在一个级别上工作七、八年)，并且典有 25 年以上的教龄
42、。 他退休时的工资应大致相当于一个刚毕业的博士的工资的两倍。 同一级别的教员中经验较丰富的应有较高的工资， 但是这种差别应随着时间的报移而逐渐 消失。换句话说，如果两个教员级别相同，他们的工资应随着时间的推移而越来越接近。 方案 首先，设计一个不考虑物价增长的新的工资系统，然后再考虑物价增长的情形。本方案 最终是要设计一个转移过程，将现有的工资系统过渡到你设计的系统中去，并且不能消减任 何人的工资。现有教员的工资、级别及工作年限已列于表 95B-1 中。 院长要求得到一个详尽酌工资系统方案，她将以此为据进行工资调整。同时，她还要求 得到一份清晰、 简短的执行摘要， 用于分发给教员及张贴公布。
43、摘要应当概括出模型的轮廓， 并介绍它的假设、优缺点及预期结果。 MCM96问题-A 噪音场中潜艇的探测 海洋中存在着背景噪音场，地展引起的摄动，海面上航行的船只，以及生活在大海中的 哺乳动物都是具有不同频率范围的噪音源。 我们要考虑如何利用这种背景噪音测定大的移动 目标，例如海面下的潜艇。假定潜艇不产生影响测定的噪音，只利用测量背景噪音场的变化 所得到的信息，研制一种能够探测出移动潜艇的存在，并测出它的速度、尺寸及航行方向酌 方法。从一个固定的频率和振幅的噪音着手进行。 MCM96问题-B 竞赛评判问题 在确定像数学建模竞赛这种形式的比赛的优胜者时，常常要评阅大量酌答卷。譬如说， 有 P100
44、 份答卷，一个由 J 位评团人组成的小组来完成评阅任务，基于竞赛资金对于能够 聘请的评阅人数量和评阅时间的限制，如果 Pl00；通常取 J8理想的情况是每个评阅 人看所有的答卷，并将它们一一排序，但这种方法工作量太大。另一种方法是进行一系列的 筛选，在一次筛选中每个评阅人只看一定数量的答卷，并给出分数。为了减少所看答卷的数 量，考虑如下的筛选模式：如果答卷是被排序的，则在每个评闯人给出的排序中排在最下面 的 30答卷被筛除；如果答卷被打分(譬如说从 1 分到 10 分)，则某个截止分数线以下的答 卷被筛除。这样，通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组，重复上述过程。人们关注 的是，每个评阅人
45、看的答卷总数要显著地小于 P评阅过程直到剩下 W 份答卷时停止，这 些就是优胜者。当 J100 时通常取 W3 你的任务是利用排序、打分及其它方法的组合，确定一种筛迫模式，按照这种模式，最 后选中的 v份答卷只能来自“最好的”2W份答卷(所渭“最好的”是指，我们假定存在着一 种评阅人一致赞同的答卷的绝对排序)。例如，用你给出的方法得到的最后 3 份答卷将全部 包括在“最好的”6 份答卷中。在所有满足上述要求的方法中，希望位能给出使每个坪阅人 所看答卷份数最少的一种方法。 注意在打分时存在系统偏差的可能。例如，对于一批答卷，一位评阅人平均给 70 分， 而另一位可能给 80 分。在你给出的模型中
46、如何调节尺度来适应竞赛参数(P， J 和 W)的变化? 1996 年两道题都是由 Daniel Zwillinger Zwillinger&Associates、Arlington,MA，USA 提供的。 MCM97问题-A Velociraptor(疾走龙属)问题 Velociraptor，Velociraptor mongo1iensis是生活在距今约 7500 万年前后白垩纪(译注：白 垩纪为距今 1.36-0.65 亿年的地质年代，是中生代最后的纪)的一种食肉(捕食其他动物的)恐 龙。 古生物学家认为这是一种非常顽强的猎食其他动物的野兽， 而且可能是成对或成群地外 出追猎。然而，不幸的
47、是无法像观察现代哺乳食肉动物在野外是如何迫猎其食物的行为那样 观察到 Velociraptor在野外的追猎行为。一组古生物学家来到你们队请求你们在 Velociraptor 的追猎行为的建模方面给予帮助。他们希望把你们的结果与研究狮子、老虎及其他类似的食 肉动物行为的生物学家的研究报告相比较。 平均的成年 Velociraptor长 3 米，髋高 0.5 米，重约 45 公斤。据估计，这种动物跑得非 常快，速度可达 60 公里/小时，持续约 15 秒。在以这种速度开始助冲刺后它要停下来在校苑数学建模论坛整理 校苑数学建模整理 http:/shumo.xy- - 12 - 其肌肉中积聚乳酸以恢复
48、体力。 假设 Velociraptor摘食一种称为 Thescelosaurus(太西龙届)neglectus的大小与 Ve l o c i r a p t o r 差不多的双足食草动物。从 Thescelosaurus化石的生物力学分析得知 Thescelosaurus 可以 50 公里/小时的速度长时间奔跑。 第 1 部分 假设 Ve l o c i r a p t o r 是一只独居的猎食其他动物的野兽，试设计一个单个的 Velociraptor 潜近猎物并追猎一只单个的 Thescelosaurus 的策略以及被追捕物逃避迟捕的策略的数学模 型。假设当 Vclociraptor 潜近
49、15 米内时，Thescelosaurus 总能觉察到，根据栖息地及气候的 条件不同，甚至在(多达 50 米的)更大的范围内觉察欲捕食它的动物的存在。此外，由于 Vclociraptor 的身体结构及体能，它在全速奔跑时的拐弯半径是受到限制的。据估计，拐弯 半径大约是其髋高的三倍。另一方面，Thescelosaurus却是极其灵活的其拐弯半径只有 0.5 米。 第 2 部分 更现实地假设 Vclociraptor 是成对外出追猎，试设计一个新的关于成对的 Vclociraptor 潜近猎物并追猎一只单个的 Thescelosaurus 的策略以及被追捕物逃避追捕的策略的数学模 型。利用第 1 部分给出假定和限制 MCM97问题-B为取得富有成果的讨论怎样搭配与会成员 为讨论重要问题，特别是长远规划问题而召开小组讨论会正变得愈来愈普遍。人们相信 有很多人参加的会妨碍有成果的讨论，甚至一位占支配地位的人能控制并操纵会议的讨论。 因此，在公司的董事会议中
