1、12015 年双基测试数 学( 理 科 )本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第 22题第 24 题为选考题,其它题为必考题考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回参考公式: 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 , 12niixybaybx第 I 卷一选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)(1)已知全集 0,1234U,集合 , ,则 为( 1,23A024B()UCAB)(A) (B ) ,(C ) ,(D ) 0,234,4(2)
2、复数 的虚部为( )1i(A) (B) (C) (D)i12i1212(3)命题“对任意 ,都有 ”的否定为( )xRlnx(A)对任意 ,都有 (B )不存在 ,都有 2xR2lnx(C)存在 ,使得 (D)存在 ,使得 0xlx0(4)已知 的取值如表所示:,y2 3 4y6 4 5如果 与 呈线性相关,且线性回归方程为 ,则 的值为( )yx 12ybx(A) (B) (C) (D)122002(5) 如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是 4,则常数 的值为( )a(A)4 (B)2 (C) 1(D)-1(6 )六个棱长为 1 的正方体在桌面上堆叠成一个几何体,该几何体的正
3、视图与俯视图如下图所示,则其左视图不可能为( )正视图 俯视图(A) (B ) (C) (D) (7 )已知函数 为奇函数,且当 时, ,则 的值为( ()fx0x2()1fx()f)(A)1 (B) (C )2 (D) 1(8)若两个非零向量 a、b 满足|ab| |ab|2| a|,则向量 ab 与 ab 的夹角是( )(A) (B) (C) (D) 63356(9)设变量 满足约束条件 则 的最小值为( ),yx20,36xyzxy3(A) (B) (C ) (D)2761(10)函数 , 的图象大致是( )()24sinfxx,2答案 D(11) 已知离心率 的双曲线 : 右焦点为 F
4、,O 为坐标52eC21(0,)xyab原点,以 OF 为直径的圆与双曲线 的一条渐近线相交于 O,A 两点,若AOF的面积为 4,则 的值为( )a(A) (B ) 3 (C)4 (D)52(12)已知 ,若 ,且 对任意 恒成立,则xxfln)(zk)(2(xf2的最大值为( )k(A)3 (B) 4 (C) 5 (D) 6第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答第 22 题第 24 题为选考题,考生根据要求做答二.填空题:(本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上)( 13) 若 ,则 。s
5、in13cos2(14)5 人随机站成一排,甲乙两人不相邻的概率是 。(15) 在平面直角坐标系 xOy中,已知ABC 顶点 A(4,0)和 C(,),顶点 B 在椭圆1925yx上,则 sinAiCB .16如图, , 平面 , 交 于 ,0CDAEDBE交 于 ,且 ,则三棱锥AFF2F体积的最大值 。DABCEF4三. 解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(17)(本小题满分 12 分)数列 满足 。na1,21ann()证明:数列 是等差数列;n()求数列 的前 项和 ,并证明 。na1nS1.12nS(18)(本小题满分 12 分)某研
6、究性学习小组,从某公路服务区内,在小型汽车中按进服务区顺序的先后,每隔 5 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行车速调查,将车速度(km/h)分成六段:70,75),75,80),80,85),85,90) ,90,95),95,100 统计后得到如图的频率分布直方图()研究性学习小组用到的抽样方法是 ()若从车速在80,90)的车辆中任意抽取 3 辆,求车速在80,85)和85,90) 内都有车辆的概率()若从车速在70,80)的车辆中任意抽取 3 辆,求车速在75,80)的车辆数的数学期望(19)(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 中,底面 为正方形, 平面 ,已知ABCD
7、EABAECD, 为线段 的中点AF()求证: 平面 ;()求二面角 的平面角的余弦值.CBEACBDEF5(20) (本小题满分 12 分)已知过点(2,0)的直线 交抛物线 于 两点,直线 交1l2:yCpx,AB2:lx轴于点 xQ()设直线 的斜率分别为 ,求 的值;,AB12,k12k()点 为抛物线 上异于 的任意一点,直线 交直线 于 两点,PC,PAB2l,MN,求抛物线 的方程2OMNA(21) (本小题满分 12 分)已知函数 .)0()(aexf()求函数 的单调区间;()求函数 在 上的最大值;f2,1(III)若存在 ,使得 ,证明: .21,x20)(21xff a
8、ex21请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑(22)(本小题满分 10 分)选修 41:几何证明选讲如图,已知O l 与O 2 相交于 A、B 两点,P 是O l 上一点,PB 的延长线交O 2 于点C,PA 交O 2 于点 D,CD 的延长线交O l 于点 N() 点 E 是 上异于 的任意一点, 交 于AN,EC点 ,求证: 四点共圆; M,E() 求证: 2PBC(23)(本小题满分 10 分)选修 44:坐标系与参数方程O1O2 MDBAC NPE6已知曲线 ,直线 : ( 为参数).2:
9、14xCyl,23xtyt()以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,写出直线 l的极坐标方程.21 和曲线 的参数方程;C()过曲线 上任意一点 作与 夹角为 的直线,交 于点 , 的最大值Pl30lAP与最小值(24)(本小题满分 10 分)选修 45:不等式选讲已知 是两个不相等正实数求证: .,xy2222()()9xyxyxy201年大连市高三双基测试数学(理科)参考答案与评分标准说明:一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改
10、变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后 继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再 给 分三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分一选择题(1)A;(2)C;(3)D;( 4)A ; (5)D;(6 )D;(7)B;(8)C;(9)A;(10)D;(11) C; (12)B二.填空题7( 13) (14) ;(15) ;16 .795426三. 解答题(17)解:(I) ,121nna,化简得 ,nna21 nn1即 ,故数列 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. 6 分1na
11、na()由(I)知 ,所以 . 8 分n21()nSn2证法一: ()nS n2212 111312 分()()n3证法二:(用数学归纳法)当 时, , 不等式成立1nS12假设当 时,不等式成立,即 nkk121则当 时,则 ,1()kSS 2121又 ,()()()kk kk2 2 2210,kSS121原不等式成立 12 分证法三: ,又因为 ,nn2212 11n18所以 12 分nSS121(18)解:()系统抽样这 40 辆小型汽车车速众数的估计值为 87.5,中位数的估计值为 87.5. 2 分()车速在80,90)的车辆共有(0.20.3)4020 辆,速度在80,85),85
12、,90)内的车辆分别有 8 辆和 12 辆记从车速在80,90)的车辆中任意抽取 3 辆车,车速在80,85)内的有 2 辆,在85,90)内的有 1 辆为事件 A,车速在80,85)内的有 1 辆,在85,90)内的有 2 辆为事件B,则 P(A) P(B) . 8 分C28C12C320 C18C21C320 8641140 7295()车速在70,80)的车辆共有 6 辆,车速在70,75)和75,80)的车辆分别有 2 辆和 4 辆,若从车速在70,80)的车辆中任意抽取 3 辆,设车速在75,80)的车辆数为 X,则 X 的可能取值为 1、2、3. P(X1) ,C2C14C36 4
13、20 15P(X2) ,C12C24C36 1220 35P(X3) ,C02C34C36 420 15故分布列为X 1 2 3P 15 35 15车速在75,80)的车辆数的数学期望为E(X)1 2 3 2. 12 分15 35 15(19)解 : xzyOACBDEF9() 平面 , 平面 ,AECDCE,为正方形, ,BA平面 ,,AEDED平面C() 平面 , 4 分 AC以 为原点,以 为 轴建立如图所示的坐标系,DEx则 , , , 6 分(2,0)E(1,0)F(2,)0,(D平面 , 平面 ,ACCAE,2D2A为正方形, ,B(0,2)由 为正方形可得: ,AC,BDC(2,
14、)B设平面 的法向量为EF11(,)nxyz,(0,2,)B0由 ,令 ,则1nFE12yzx1y12z1(0,2)设平面 的法向量为 ,BC22(,)nxyz,(,)10F由 ,令220xznyC ,则 ,21y2x2z10 8 分2(,12)n设二面角 的平面角的大小为 ,则CBFE121212cos(,)cos,|nn45137二面角 的平面角的余弦值为 12 分CBFE5(20)解:()设直线 的方程为: ,点 1l2xmy12(,)(,)AxyB联立方程组 得 , 2,.xyp240p1212,ym1212121212 4()4()yymykx .4 分1280()pmy()设点 ,
15、直线 ,当 时,0Px101:()yAx2,104Mpyy同理 . 6 分20Ny因为 , , ,OA4NMy201042pyy,22021016()pyy20216844mppy110,抛物线 的方程 .12 分12pC2yx(21) (本小题满分 12 分)(1) ,则)0()(aexf axef1)(令 ,则 xlnx)1ln,(aa),ln(a)f)(xf极大值故函数 的增区间为 ;减区间为 .)(f )1ln,(a),1ln(a(2)当 ,即 时, ,a21ln20e2maxeff当 时,即 时, ,a a1ln)l()(当 时,即 时, .8 分leeafxf1)(ma(3)若函数
16、 有两个零点,则 ,即 ,)(xf 0lnl1e而此时, ,由此可得 ,01a21xx故 ,即 ,xln12 )l(21a又 0)(,)( 21 xaxefef.12 分112122 1(ln)() ln()ax axax ae(22) 证明:()连结 , 四点共圆, ABPEABCE又 , , 四点公圆 5 分CDC,DM()法一:连结 , ,NPN , , 10 分 P212法二:连结 由( )知 , ,又,PNAPDNEPNEA , , ,A2DP, 10 分 BC2BC(23)解:()直线 的极坐标方程为: , lsin()43曲线 的参数方程为 为参数) 5 分2co.sixy() 曲线 的点 到直线 : 的距离CP(.)nl320xy|23cosi2|3cosi|21d则 , sin()sin30PA 3tan6当 时, ;()1max|132PA当 时, 10 分2sin3in|0(24)证明:因为 是正实数,所以 ,当且仅当,xy2223()3xyxyxy,即 时,等号成立;22xy1同理: ,当且仅当 ,即 223221时,等号成立所以 ,2222()()9xyxyxy当且仅当 时,等号成立1因为 ,所以 . 10 分2222()()9xy13