1、第 1 页期末考试试题 线性代数 I一、填空题（15 分，每题 3 分）1、 = 。 2、若 ， ， 线性相关，则 = 。12)( Tt),40(Tt)9,3(Tt)3,21(t3、 是 2 阶方阵， 是 3 阶方阵， ， ，则 = 。AB|A|B|1BA4、若 是 3 阶方阵，且 ， ， 均不可逆，则 的特征值为 。I2I5、二次型 是正定二次型，则 的取值范围是 。323121321 44xxxf 二、选择题（15 分，每题 3 分）1、已知 为 维列向量， ， ， 为 阶单位阵，则 。nTTAInA、 B、 C、 D、2I22A22、设 是 4 阶方阵， 的行列式 ，则 中 。0|A、必
2、有一列元素全为零 B、必有两列元素对应成比例C、必有一列向量是其余列向量的线性组合 D、任一列向量是其余列向量的线性组合3、设 1 是 的特征值，则 。A、1 是 的特征值 B、2 是 的特征值2 A2C、2 是 的特征值 D、1 是 的特征值4、设向量组 ， ，, 的秩为 ，则此向量组中 。12nrA、任意 个向量线性无关 B、任意 个向量线性相关r rC、任意 个向量线性相关 D、任意 个向量线性相关 15、二次型 对应的矩阵为 。3212321321 646),( xxxxf A、 B、 C、 D、6040606024三、计算行列式：（16 分，每题 8 分）1、 2、4320.31.n
3、四、 （10 分）求解矩阵方程 23412X五、 （10 分）已知向量组 ， , ， 线性无关， ， ， ，其中1234 211t32t43t第 2 页， ， 是数，试证向量组 ， ， 线性无关。1t23t123六、 （12 分）讨论 为何值时，下列方程组无解，有解？并在有解时求出其通解。aaxx43210七、 （12 分）已知 ，求一个正交阵 ，使 为对角阵，并写出此对角阵。0APAT八、 （10 分）用配方法化二次型为标准形，并写出可逆变换 312215xxf期末考试试题答案及评分标准 线性代数 I一、填空题：（15 分，每题 3 分）1、10 2、6 3、 4、2，-1，1 5、 （-2
4、，1）二、选择题：（15 分，每题 3 分）1、D 2、C 3、B 4、D 5、C三、计算行列式：（16 分，每题 8 分）1、 = = = =160 8 分4321432101023102、 = = 8 分0.31.nnn.2.6.!四、 （10 分）解： 0121012 2013103/ 0/23/从而 ， 6 分1/2/121第 3 页所以 = = 。 10 分X2341013/2/ 3/25/81五、 （10 分）证明：设 ， 2 分321kk即 ， 4 分)()()( 43221 tttk从而有 ， 6 分32kkk因为 ， , ， 线性无关，所以 ， 8 分12340321ktt得
5、 ， ， ，故 ， ， 线性无关。 10 分六、 （12 分）01k203k12解： 3 分a3a50110052a时，无解； 5 分1时，有无穷组解； 7 分a等价方程组为： ，令 ，得特解 ，8 分15024321xx 043x05/12导出组： ，得基础解系 ， ， 10 分054321xx 015/2通解为： + + ，其中 ， 为任意常数。 12 分0/1/1k021k2七、 （12 分）解： = =0，1012| AI 2)(得特征值 ， 。2 分 0132对 ，线性方程组 为：xAI)(第 4 页，得基础解系： ，单位化得 ；4 分00223131xx 102/10/对 ，线性方
6、程组 为：2xAI)(，得基础解系： ， 6 分31310xx 0123正交化得： ， ， 7 分02 101),(233单位化得： ， ， 9 分 ， 因此所求正交阵为 11 分122/3 2/10/P且 。 12 分0APT八、 （10 分）解： = 2 分32323214)( xxxf 2332321 45)1(4)( xx令 ， ， 4 分32314xy 00/16 分100/1114/510104/5故经可逆变换 ，8 分 可将二次型化为 。 10 分3234yx 232145yyf期末考试试题 线性代数 II一、 填空题（每题 4 分，共 20 分）1、 设 为三阶方阵，且 ，则
7、。A2A_12、 设 为三阶方阵，且 ， ，则 。()3ROB_第 5 页3、 已知 是可逆矩阵 的一个特征值，则矩阵 必有一个特征值 。2A1()3A_4、 已知 ，则向量组)2,4(,2,),321,4(),3,5(21 （线性相关或线性无关） 。24,_5、 若二次型 是正定的，那么 应满足不等式 。2212313123(,)fxxtxt_二、 选择题（每题 4 分，共 20 分）1、设 为 阶方阵，则 的必要条件是（ ）An0A（A）两行元素成比例 （B）必有一行为其余行的线性线性组合（C） 中有一行元素全为零 （D）任一列为其余列的线性组合2、设 A、B、C 均为 阶方阵，且 ，则必
8、有（ ）CI（A） （ B） （C） （D）IAIBCAI3、若向量组 线性无关； 线性相关，则（ ）,（A） 必可由 线性表示 （B） 必不可由 线性表示,（C） 必可由 线性表示 （D ） 必不可由 线性表示, 4、设 元齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩为 ，则 有非零解的充分必要条件是( ）nAxArx（A） （B） （C） （D）rnrnnr5、若 ，则有（ ）（A） （ B） （C）对于相同的特征值 ，矩阵 和 有相同的特征向量II AB（D） 和 均与同一个对角阵相似三、计算行列式（本题 6 分）abcedff四、 （本题 10 分）已知 ，其中 ， ，求矩阵 。BXAI)(01A
9、12053BX五、 （本题 12 分）问 取何值时，下列方程组无解，有唯一解，有无穷多解?， 当方程组有无穷多解时求其通解。3221x六、 （本题 14 分）设矩阵 ，求可逆相似变换矩阵 ，使得 为对角阵，并计算 。1203APA110A七、 （本题 12 分）第 6 页设三元二次型 3231212321321 4),( xxxxf （！）写出该二次型的矩阵表达式，并求其秩；（2）用配方法将该二次型化为标准形，并写出所作的实可逆线性变换。八、 （本题 6 分）设 阶方阵 满足 ，试证明： 与 均可逆，并求其逆矩阵。nAOI2AI2期末考试试题 线性代数 II 评分标准一、 填空题（每题 4 分
10、，共 20 分）1、4； 2、 O； 3、 ； 4、线性无关； 5、22t二、选择题（每题 4 分，共 20 分）1、B； 2、D； 3、C； 4、A； 5、B三、计算（本题 6 分）= （ 2 分）abcedffbcead= （ 2 分）1bcef= （ 2 分）4adf 四、 （本题 10 分）（ 2 分）BAIXBAI 1)()( （ 2 分）102I 由11023102得 （ 分）1103()IA3（ 分）3201X 3第 7 页五、 （本题 12 分）（ 4 分） )1(3)2(1001312 当 时，方程组无解； （ 2 分） 当 且 时，方程组有唯一解， （ 分） 当 时，方程组
11、有无穷多解， （ 分），其中 为任意实数 （ 分） 12100xk12,k2六、 （本题 14 分）特征值 ； （ 分）123,3属于 的线性无关的特征向量为 ， （ 分）A1 2属于 的线性无关的特征向量为 （ 分）2102, 由于 ， 线性无关，10,所以，令 ，则有 （ 2 分）120P101PA则 （ 1 分）,1110A （ 分）123012 13202七、 （本题 12 分）(1) （ 分）321321),( xxf 2的秩为 3 （ 分） f (2) 2332321 4)()( xxx （ 分） 4第 8 页令线性变换 ，则可逆线性变换 （ 分）321xy321yx2将二次型 化
12、为标准形 （ 分） f 23214yf八、 （本题 6 分）由 得 ，则IA)( 1IA都 不 为 零 ，与 IA2所以 均可逆； （ 分） 且 （ 分）IA2与 2 2（ 分）1)( 期末考试试题 线性代数 III一填空题（每题 4 分，共 20 分）1.设 、 均为三阶方阵，且 ， 则 。AB2A3B_21A2、已知 则 02I1)(I二选择题（每题 4 分，共 20 分）1、设 为 阶方阵，则 的必要条件是（ ）n（A） 中必有一行（或一列）元素全为零 （B） 中必有两行(或两列) 元素成比例A（C） 中必有一行为其余各行的线性组合 （D） 中任意一行为其余各行的线性组合2、设 、 都是
13、 阶可逆方阵，则下列结论正确的是（ ）Bn（A） （B）212)()(A 11)(B（C） （D）2 ),0(kAk3、设 A 为 3 阶可逆方阵，且各行元素之和均为 2，则（ ）.（A） 必有特征值 2 （B） 必有特征值 21A（C） 必有特征值-2 （D ） 必有特征值-2三、计算下列各题（本题 28 分）1、 （本题 8 分）计算行列式的值（1） （2）67415820360319524D2、 （本题 10 分）解矩阵方程 ，其中 ， ，OBAX10A352B第 9 页求矩阵 。X四、 （本题 12 分）问 为何值时，方程组 无解、有唯一解、有无穷多组解？并在有无穷123x多组解时求其
14、通解。五、 （本题 10 分）设 aBA021320（1）确定 ； （2）求一个可逆矩阵 ，使aPBA1期末考试试题答案及评分标准课程名称：线性代数一填空题（每题 3 分，共 15 分）1、 ； 2、0； 3、 ， ， ； 4、 ； 60112031k5、 IAI1)(二、选择题（每题 4 分，共 20 分）CBD三、计算题与证明题（本题 30 分）1、 （本题 7 分）解： （ 3 分）03152460319524 （ 7 分）031524 2、 （本题 8 分）解： （ 3 分）BAXOBA1 （ 6 分） （ 8 分）21210A 213四、 （本题 10 分）解：增广矩阵为 001321281135430（ 5 分）第 10 页特解为： （ 7 分）012对应齐次线性方程组基础解系为： ， （ 9 分）013472 方程组的解为 （ 10 分）),(2121Rkkx五、 （本题 12 分）解：1、矩阵 的特征值为 （ 分）A6,332、特征向量为 ， （ 9 分）102123（ 11 分） （ 12 分）61230P 6201AP六、 （本题 13 分） 1、二次型矩阵表达式为（ 5 分）321321 40xxAXT 2、原式 2321)( 23321)()(xx（10 分）2y令 ，得所作的实可逆线性变换为 （13 分）321xy 3321yxy
