1、第 15 课时 本章复习(1)教学过程一、 知识网络1.圆锥曲线2.曲线方程 曲线方程的定义二、 数学运用【例 1】 如图,已知椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,其右准线 l 与 x 轴的交点为 T,过椭圆的上顶点 A 作椭圆的右准线 l 的垂线,垂足为 D,四边形 AF1F2D 为平行四边形.(例 1)(1) 求椭圆的离心率;(2) 若 B 是直线 l 上一动点,且 ABF2 外接圆面积的最小值是 4,求椭圆的方程. 1 (见学生用书 P44)处理建议 (1)首先让学生独立思考 ,若学生解决有困难 ,可通过问题“四边形 AF1F2D为平行四边形 的等价条件是什么” ,引
2、导学生得到基本量的关系式,从而将问题解决;(2)通过分析“ 圆的面积最小就是外接圆的半径最小,即外接圆的圆心到 A 或 F2 的距离最小” ,引导学生确定外接圆的圆心的位置,再引导学生思考“B 在直线 l 上如何使用” ,从而将问题解决.规范板书 解 (1) 依题意有 AD=F1F2,即 =2c,所以离心率 e= .(2) 由题可知圆心 M 在直线 y=x 上,设圆心 M 的坐标为(n ,n).因为圆过准线上一点 B,则圆与准线 l 有公共点,设圆心 M(n,n)到准线的距离为 d,则 MF2d,即 |n-2c|,解得n-3c 或 nc.又 r2=(n-c)2+n2=2 + c2,+),由题可
3、知(r 2)min=c2=4,则 c2=4,解得 c=2,所以 b=2,a2=b2+c2=8,所以所求椭圆的方程为 + =1.题后反思 本题要求椭圆的标准方程,本质就是根据条件求出基本量 a,b,c.而由(1 )可知椭圆的离心率,即的值,且有 a2=b2+c2,这样三个未知数两个方程 ,就可用 c 表示出 a,b,再根据最值确定 c 的值.变式 已知 F1,F2 分别为椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点 .(1) 若椭圆 C 上的点 A 到 F1,F2 两点的距离之和等于 4,求椭圆 C 的方程和焦点坐标;(2) 设 K 是(1)中所得椭圆上一动点, 求线段 F2K 的中点的轨迹方程.
4、 (见学生用书 P44)规范板书 解 (1) 由题意可知 a=2,且 + =1,解得 b2=3,所以 c= =1,所以椭圆C 的方程为 + =1,焦点坐标为( 1,0).(2) 由(1)可知 F2(1,0),设线段 F2K 的中点的坐标为(x, y),则 K(2x-1,2y).因为 K(2x-1,2y)在 +=1 上, 所以 + =1,即 + =1,这就是所求线段 F2K 的中点的轨迹方程.【例 2】 (教材第 73 页复习题第 3 题改编) 已知曲线 C 的方程为 x2sin+y2cos=1,若0,),试判断曲线 C 的形状. 2 (见学生用书 P45)处理建议 以问题“根据方程如何判断曲线
5、的形状”为导引,让学生思考,再通过师生共同讨论,进行点评或纠正.规范板书 解 当 =0 时,方程为 y=1,所以曲线 C 表示两条互相平行的直线;当 0 0,所以曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆;当 =时, = = ,所以曲线 C 为圆;当0, 9 时,a 2=k,b2=9,所以= ,解得 k=36.【例 3】 已知椭圆 + =1,直线 l 过点 M(2,2)与椭圆相交于 A,B 两点,且线段 AB 以 M为中点,求直线 l 的方程. (见学生用书 P45)规范板书 解法一 设 A(x,y),则由题意可知 B(4-x,4-y),所以 两式相减得 9x+16y-50=0.由 A,B 关于点 M
6、(2,2)对称可知点 B 的坐标也满足此方程 ,所以直线 l 的方程为 9x+16y-50=0.解法二 设 A(x1,y1),B(x2,y2).依题意知直线 l 的斜率一定存在, 所以可设直线 l 的方程为y-2=k(x-2),即 y=kx+(2-2k).由 消去 y 并整理得(9+16k 2)x2+64k(1-k)x+164(1-k)2-9=0,所以由根与系数的关系可知 x1+x2= =4,解得 k=- ,所以直线 l 的方程为 y-2=- (x-2),即 9x+16y-50=0.解法三 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 两式相减得 9(x1+x2)(x1-x2)=-16(y1+y
7、2)(y1-y2).由条件可知 x1+x2=y1+y2=4,所以直线 l 的斜率 k= =- ,所以直线 l 的方程为 y-2=- (x-2),即9x+16y-50=0.题后反思 以上的三种解法中解法一、解法二仅能用来解决圆锥曲线被直线所截得的弦的中点问题,解法三是解决直线和圆锥曲线交点问题的一般方法.变式 已知中心在坐标原点,一个焦点为 F(0,5 )的椭圆被直线 l:y=3x-2 截得的弦的中点的横坐标为,求该椭圆的方程 . (见学生用书 P45)规范板书 解法一 由题意可知 c=5 ,且椭圆的焦点在 y 轴上, 所以可设椭圆的方程为 + =1.把直线 y=3x-2 代入方程整理得 10(
8、b2+5)x2-12b2x-b2(b2+46)=0,所以 x1+x2= =1,解得b2=25,所以所求椭圆的方程为 + =1.解法二 设直线 l 与椭圆的两个交点坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2).由题意可知,椭圆被直线截得的弦的中点的坐标为 ,并可设椭圆的方程为 + =1(ab0).由 两式相减得 a2(x1+x2)(x1-x2)=-b2(y1+y2)(y1-y2).由条件可知 x1+x2=1,y1+y2=-1,直线 l 的斜率 k= =3,所以 a2=3b2.又 a2-b2=c2=50,解得 a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为 +=1.解法三 由题意可知,椭圆被直线截得的
9、弦的中点的坐标为 ,并可设椭圆的方程为+ =1(ab0).因此可设直线 l 与椭圆的两个交点为( x,y),(1-x,-1-y),则两式相减得-b 2(2y+1)+a2(2x-1)=0,即 2a2x-2b2y-(a2+b2)=0,与直线 3x-y-2=0 是同一直线,所以 = ,所以 a2=3b2.又 a2-b2=c2=50,解得 a2=75,b2=25,所以所求椭圆的方程为 + =1.*【例 4】 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 + =1 的左、右顶点分别为 A,B,右焦点为 F,设过点 T(t,m)的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点 M(x1,y1),N(x2,y2),其
10、中 m0,y10,y20.(1) 设动点 P 满足 PF2-PB2=4,求点 P 的轨迹方程;(2) 设 x1=2,x2=,求点 T 的坐标;(例 4)(3) 设 t=9,求证:直线 MN 必过定点 D(1,0).3处理建议 问题(1)和(2)由学生自主完成;问题(3),引导学生理解直线 MN 必过定点D(1,0)的本质是 M,N,D 三点共线 ,从而引导学生通过联立方程组求出 M,N 的坐标,进而将问题解决.规范板书 解 (1) 设 P(x,y),由条件知 A(-3,0),B(3,0),F(2,0).由 PF2-PB2=4,得 (x-2)2+y2-(x-3)2+y2=4,即 2x-9=0,这
11、就是点 P 的轨迹方程.(2) 在 + =1 中,令 x=2 得 y=,因为 y10,所以 M ;令 x=得 y= ,因为 y20,所以 N,所以直线 AT 的方程为 y=(x+3),即 y=x+1,直线 BT 的方程为 y=-(x-3),即 y=-x+.由 解得 所以点 T 的坐标为 .(3) 由题设知直线 AT 的方程为 y= (x+3),直线 BT 的方程为 y= (x-3).由 得 x1=- ,y1= ,所以 M .由 得 x2= ,y2=- ,所以 N .若 x1=x2,即- = ,由 m0 得 m=2 ,且- = =1,即 M,N 都在 x=1 上, 此时直线 MN 经过定点 (1
12、,0).若 x1x2,则直线 MD 的斜率kMD= = ,直线 ND 的斜率 kND= = ,得 kMD=kND,所以直线 MN 过 D(1,0).题后反思 本题通过曲线的方程求曲线的交点坐标,进而解决与点的坐标有关的问题.(变式)变式 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 过坐标原点的直线交椭圆 + =1 于 P,A 两点,其中 P 在第一象限 ,过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 C,连结 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k.(1) 当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d;(2) 对任意 k0,求证:PAPB.规范板书 解 (1) 当 k=2 时, 直线 A
13、P 的方程是 y=2x.由 消去 y 整理得 x=,因此 P ,A ,于是 C ,故直线 AB 的方程为 y=x-,即 x-y-=0,所以点 P 到直线 AB 的距离 d= = .(2) 直线 AP 的方程为 y=kx,由 得 P ,A ,故 C ,所以直线 AB 的方程为 y= .由 消去 y 整理得(k 2+2)x2- - =0,即 x+=0,所以 B + ,kPB= =-,所以 kPAkPB=-1,所以 PAPB.三、 补充练习1.椭圆 + =1 的焦距为 4 . 提示 c= =2.2.与圆 (x-2)2+y2=4 和圆(x+ 2)2+y2=1 都外切的动圆的圆心 P 的轨迹方程为 4x
14、2- =1(x0)的焦点为 F,不与 x 轴垂直的直线与抛物线有两个不同的交点 A,B.若线段 AB 的垂直平分线恒过点(6, 0),且 AF+BF=8,则此抛物线的方程为 y2=8x.提示 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2+=8,即 x1+x2=8-p.又因为 QA=QB,则( x1-6)2+ =(x2-6)2+ ,即(x1-6)2+2px1=(x2-6)2+2px2,所以(x 1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为 x1x2,所以 x1+x2=12-2p.由 12-2p=8-p,得 p=4,故抛物线的方程为 y2=8x.四、 课堂小结1. 对本章的知识要有系统的、全面的认识.2. 巩固圆锥曲线的标准方程及其特点, 及圆锥曲线的性质.3. 通过问题的研究体会利用所学的知识分析和解决问题.
