1、第 1 章 立体几何初步第 1 课时 棱柱、棱锥和棱台教学过程一、 问题情境1. 阅读章头图和本章引言 .2. 结合问题导引 1 给出多个建筑的图片,让学生归类 .二、 数学建构问题 1 把一支粉笔贴在黑板上,沿垂直于粉笔的方向平移,留下怎样的痕迹?问题 2 把一张矩形纸片放在课桌上,向上平移,形成怎样的图形?问题 3 仔细观察图 1 中的几何体,说说它们的共同特点和它们是怎样形成的?(图 1)通过讨论,给出棱柱的概念:1. 一般地,由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱 .2. 用电脑演示平移多边形生成几何体的过程 .(图 2)3. 结合模型介绍:(图 3) (图 4)(1)
2、 棱柱的底面、侧面、棱、侧棱、顶点 .(2) 棱柱的分类:三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱 .(3) 棱柱的表示方法:棱柱 ABC-ABC,棱柱 ABCDEF-ABCDEF.(4) 棱柱的特点: 两个底面多边形间的关系?(全等) 上下底面对应边间的关系 ?(平行且相等) 侧面是什么平面图形?(平行四边形) 侧棱之间的关系?( 平行且相等)问题 4 观察图 5、图 6 中的几何体,前后发生了什么变化?(图 5)(图 6)通过讨论,类比给出棱锥的概念:1. 当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥 .2. 结合模型介绍:(图 7)(1) 棱锥的底面、侧面、棱、侧棱、顶点 .(2) 三棱锥
3、、四棱锥、五棱锥、六棱锥 .(3) 棱锥的表示方法:如:棱锥 S-ABCD.(4) 棱锥的特点:底面是多边形( 如三角形、四边形、五边形等),侧面是有一个公共顶点的三角形 .问题 5 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到怎样的两个几何体?(图 8)1. 棱台的概念:棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分叫做棱台 .2. 结合模型(由学生通过类比给出以下概念 )(1) 棱台的上底面、下底面、侧面、棱、侧棱、顶点 .(2) 三棱台、四棱台、五棱台、六棱台 .(3) 棱台的表示方法 .(4) 棱台的特点: 上下底面平行,对应边成比例; 侧棱延长后交于一点 .思考 如图 9 所示的
4、几何体是不是棱台?为什么?(图 9)问题 6 棱柱、棱锥、棱台与球有何不同?由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体 .多面体有几个面就称为几面体 .如:三棱锥是四面体,四棱柱是六面体 .思考 (教材 P8 练习第 4 题)多面体至少有几个面?这个多面体是怎样的几何体?(图 10)三、 数学运用【例 1】 下列几何体是棱柱的有 (填序号) . (图 11)解析 棱柱的结构特征有三方面:有两个面互相平行;其余各面都是平行四边形;这些平行四边形面中,每相邻两个面的公共边都互相平行 .当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时,这个几何体才是棱柱 .很明显,几何体 均不符合,仅有 符合 .变式 如图
5、12,下列几何体是棱台的为 . (图 12)解析 由棱台的定义知,棱台的上底面必须与下底面平行,且侧棱延长后交于同一点 .中侧棱延长后不能交于同一点, 中上底面不平行于下底面,故 都不是棱台 .符合棱台的定义与结构特征 .题后反思 (1)判断一个几何体是何种几何体,一定要紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征,注意定义中的特殊字眼,切不可马虎大意 .(2)本题容易错认为几何体 也是棱柱,其原因是忽视了棱柱必须有两个面平行这个结构特征,避免出现此类错误的方法是将教材中的各种几何体的结构特征放在一起对比,并且和图形对应起来记忆,要做到看到文字叙述就想到图,看到图形就想到文字叙述 .【例 2】 根据下列关于
6、空间几何体的描述,说出几何体的名称:(1) 由 6 个平行四边形围成的几何体 .(2) 由 7 个面围成,其中一个面是六边形,其余 6 个面都是有一个公共顶点的三角形 .(3) 由 5 个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余 3 个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点 .处理建议 引导学生:审题想象对比定义解答 .规范板书 解 (1) 这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱 .(2) 这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面 .(3) 这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面 .题后反思 认识、判断一个几
7、何体的结构特征,主要从它的侧面、侧棱、底面、顶点等角度描述,因此只有理解并掌握好各几何体的概念,才能认清各几何体的属性 .注意判断时要充分发挥空间想象能力,必要时做几何模型,通过演示进行准确判断 .变式 观察图 13,分别判断 中的三棱镜, 中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对 .(图 13)处理建议 引导学生转换底面考查 .规范板书 解 图 13中有 1 对互相平行的平面,只有这 1 对可以作为棱柱的底面 .图 13中有 4 对互相平行的平面,只有 1 对可以作为棱柱的底面 .【例 3】 画一个三棱柱和一个四棱台 .处理建议 教师示范,分别按照棱柱、棱台的画
8、法步骤画出三棱柱和四棱台 .规范板书 解 (1) 画三棱柱可分以下三步完成:第一步,画上底面画一个三角形;第二步,画侧棱从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段;第三步,画下底面顺次连结这些线段的另一个端点(如图 14 所示) .(图 14)(2) 画四棱台可分以下三步完成:第一步,画一个四棱锥;第二步,在它的一条侧棱上取一点,然后从这点开始,顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段;第三步,将多余的线段擦去(如图 15 所示) .(图 15)题后反思 (1)平面几何中,虚线表示作的辅助线,但在空间图形中,虚线表示被遮挡的线 .在空间图形中作辅助线时,被遮挡的线作成虚线,看得见的线仍作成实线
9、.(2)作图时要使用铅笔、直尺等,力求准确 .变式 画一个六面体 .(1)使它是一个四棱柱 .(2)使它是由两个三棱锥组成 .(3)使它是五棱锥 .规范板书 解 如图 16 所示 .(1)是一个四棱柱 .(2)是一个由两个三棱锥组成的几何体 .(3)是一个五棱锥 .(图 16)*【例 4】 设计一个平面图形,使它能够折成一个侧面与底面都是正三角形的三棱锥 .规范板书 解(图 17)四、 课堂练习1. 四棱柱共有 6 个面,共有 4 条侧棱 . 解析 四棱柱有上、下两个底面和四个侧面,共六个面,有四条侧棱 .2. 下列说法中,正确的是 (填序号) . 棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面;
10、在平行六面体中,任意两个相对的面均互相平行,但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面; 棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形; 在棱柱的面中,至少有两个面互相平行 .解析 中,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底面; 中,平行六面体任意两个相对的面一定可当作它的底面; 中,平行六面体的侧面是平行四边形,底面也是平行四边形; 中,棱柱中至少有两个底面互相平行,故填 .3. 对于棱柱,下列说法中正确的是 (填序号) . 只有 1 对面互相平行; 所有的面都是平行四边形; 侧面可以是三角形; 两个底面平行且各侧棱也平行 .解析 对于 ,长方体是棱柱,有 3 对面
11、互相平行,所以 不对;对于 ,三棱柱有两个面是三角形,所以 不对;对于 ,根据棱柱的定义知,棱柱的侧面都是平行四边形,所以 不对;对于 ,根据棱柱的定义知,两底面平行,侧面是平行四边形,侧棱为平行四边形的对边,所以侧棱平行,故 正确 .4. 棱台不具有的性质是 (填序号 ). 两底面相似; 侧面都是梯形; 侧棱都平行; 侧棱延长后都交于一点 .解析 由棱台的定义可知,棱台的侧棱不互相平行 .五、 课堂小结1. 本节课学习了棱柱、棱锥和棱台的概念,以及棱柱、棱锥和棱台示意图的画法 .2. 棱柱、棱锥和棱台有怎样的辩证关系?(引导学生用运动变化、类比联想的观点来分析 .)3. 空间图形中,实线和虚
12、线分别表示什么?作辅助线时,要注意什么?第 2 课时 圆柱、圆锥、圆台和球教学过程一、 问题情境1. 复习棱柱、棱锥、棱台的有关概念 .小结:移缩截 .2. 旋转会产生什么样的结果呢?仔细观察下面的几何体,它们有什么共同特点或生成规律?(图 1)二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 这类几何体往往可以在车床上通过旋转切割加工得到,它们都可以看成由一个平面图形绕一条直线旋转而生成的 .你能想象它们分别是什么平面图形通过旋转而生成的吗?(1) 教师完成圆柱相关信息的填写,引导学生自主完成其他信息的填写 .名称 定 义 相 关 概 念 图 形 表 示 法圆柱以 矩形一边 所在直线为旋转轴,其余三边
13、旋转形成的面所围成的 旋转体 叫做圆柱 . 轴: 旋转轴 叫做圆柱的轴;底面: 垂直于轴 的边旋转而成的 圆面 叫做圆柱的底面;侧面: 平行于轴 的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不 垂直于轴 的边都叫做圆柱侧面的母线 . 圆柱用 表示它的轴的字母 表示,左图中圆柱表示为圆柱OO. 圆锥以直角三角形的 直角边 所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 圆锥 . 轴: 旋转轴 叫做圆锥的轴;底面: 垂直于轴 的边旋转而成的 圆面 叫做圆锥的底面;侧面:直角三角形的 斜 边旋转而成的 曲面 叫做圆锥的侧面;母线:无论旋转到什么位置,不 垂直于轴 的边都叫做
14、圆锥侧面的母线 . 圆锥用 表示它的轴的字母 表示,左图中圆锥表示为 圆锥SO . 圆台以直角梯形 垂直于底 的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做 圆台 . 与圆柱和圆锥一样,圆台也有 轴 、 底面 、 侧面 、 母线 . 圆台用 表示它的轴的字母 表示,左图中圆台表示为 圆台OO . 球以半圆的 直径 所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球 . 球心: 半圆的圆心 叫做球的球心;半径: 半圆的半径 叫做球的半径;直径:半圆的直径 叫做球的直径 . 球常用 表示球心的字母 表示,左图中的球表示为 球 O . (2) 结合图形提炼轴、底面、侧面、母
15、线等概念 .(3) 思考:圆柱、圆锥、圆台之间有何关系?(引导学生从概念的形成和结构特征来分析三者之间的关系)(二) 理解概念问题 2 根据“球 ”的定义,乒乓球是 “球”吗?(1) 数学中的球,是球体的简称,它包括球面及其所围成的空间部分 .所以生活中的乒乓球不是数学中的球,而是球面 .(2) 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的曲面叫做球面,球面围成的几何体叫做球体 .(3) 类比圆的定义:球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 .问题 3 等腰梯形旋转能形成圆台吗? 1解 等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴,各边旋转半周所形成的曲面围成的几何体是圆台 .引出旋转面
16、和旋转体的概念:一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体 .圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体 .(三) 巩固概念(教材 P10 练习 3)充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成?答 圆 .三、 数学运用【例 1】 下列叙述中正确的个数为 0 . 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥; 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台; 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; 用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台 .规范板书 解 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转一周才可以得到圆锥; 以直角梯形垂直于底边的腰所在的
17、直线为轴旋转一周才可以得到圆台; 圆柱、圆锥、圆台的底面是圆面,而不是圆; 用平行于圆锥底面的平面截圆锥,才可以得到一个圆锥和一个圆台 .题后反思 (1)旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得,同一个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体不同 .如:直角三角形绕直角边所在的直线旋转一周形成圆锥,若按斜边所在的直线旋转一周,则形成两个对底的圆锥 .(2)对于与概念有关的命题的判断,一般情况下,要逐字逐句品读,与概念不一样的叙述,以及多字、少字转换的命题多是不正确的 .变式 下列命题中,正确命题的个数是 4 . 圆柱的轴经过上、下底面的圆心,并且垂直于底面; 圆柱的母线长都相等,并且都等于圆柱
18、的高; 平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆; 经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形,这个矩形的一组对边是母线,另一组对边是底面圆的直径 .解 由圆柱的结构特征易知这四个命题都正确 .【例 2】 如图 2 所示,画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体,并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的 .(图 2)处理建议 由折点向旋转轴作垂线,可得图形 .解 如图 3 所示,(1)是由圆锥、圆柱组合而成的 .(2)是由圆锥、圆柱组合而成的 .(图 3)题后反思 旋转体的形成要特别注意旋转前的平面几何图形的形状,以及绕的是哪条轴,轴不一样,得到的旋转体形状也不一样 .(图 4)变式
19、 一直角梯形 ABCD 如图 4 所示,分别以 AB, BC, CD, DA 所在的直线为轴旋转,画出所得几何体的大致形状 .解 如图 4 所示(图 5)【例 3】 (教材 P10 例 2)指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的?(图 6)*【例 4】 如图是一个由圆台和球构成的组合体,试指出这个几何体是怎样生成的,画出这个几何体的轴截面( 过轴的截面) .解 如图 所示,这个几何体是由一个半圆和一个直角梯形绕直线 m 旋转一周生成的,其轴截面如图 所示 .(图 7)题后反思 本例旨在研究较复杂的几何体(组合体)是由哪些简单几何体构成的 .可以指出我们研究的组合体一般由柱、锥、台和球等几何体
20、组合而成 .四、 课堂练习1. 指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成?(第 1 题)答 图(1) 六棱柱和圆柱,图( 2)圆台、圆柱和圆锥 .2. 如图,将平行四边形 ABCD 绕 AB 边所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的?(第 2 题)答 圆锥和圆柱 .五、 课堂小结1. 本节课学习了圆柱、圆锥、圆台和球的概念 .2. 圆柱、圆锥、圆台和球有怎样的辩证关系 .3. 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台、球都是简单几何体,要能通过分析组合体的结构特征,分辨出组合体是由哪些简单几何体构成的 .第 3 课时 中心投影和平行投影教学过程一、 问题情境情境:( 1) 你熟悉
21、手影表演或皮影戏吗?你知道它们图像的形成原理吗?(图 1)(2) “横看成岭侧成峰”,这句话说明了什么 ?这种现象我们把它称为投影,投影是光线(投射线) 通过物体,向选定的面 (投影面)投射,并在该面上得到图形的方法 .二、 数学建构问题 1 下列投影有什么不同?(图 2)学生讨论,归纳不同之处:1. 中心投影的概念,说明中心投影的优、缺点 .2. 平行投影的概念 .问题 2 只看投影能知道实物的形态吗?由工程图纸引出三视图 .(1) 视图:是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形 .(2) 分类: 正视图( 主视图):光线自物体的前面向后投射所得的投影图 ; 左视图:自左向右投射所得的投影,得到的投影图;(图 3)
