1、第 2 章 平面向量第 1 课时 向量的概念及表示教学过程一、 问题情境1. 情境:湖面上有三个景点 O, A, B(如图 1),一游艇将游客从景点 O 送至景点 A,半小时后,游艇再将游客送至景点 B,从景点 O 到景点 A 有一个位移,从景点 A 到景点 B 也有一个位移 .(图 1)2. 问题:(1) 位移和距离这两个量有什么不同?(2) 我们知道物理中的力、速度、位移等都是矢量,不同于路程、质量等 ,它们具有什么样的共同特征?你能举出几个具有以上特征的量吗?年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗?二、 数学建构(一) 生成概念引导学生思考、讨论上面的问题,从而引出以下概念 .(1) 定
2、义:既有大小又有方向的量叫向量,如位移、力、速度、加速度等 .(2) 向量的表示方法1 几何表示法:有向线段具有一定方向的线段,如 ;2 字母表示法:如 a.(3) 模的概念:向量 的大小称为向量的模,记作 | |,模是可以比较大小的 .(4) 两个特殊的向量1 零向量:长度(模)为 0 的向量,记作 0.0 的方向是任意的 .2 单位向量:长度(模)为 1 个单位长度的向量叫做单位向量 .引导学生思考下面的问题:观察图 2,在中心为 O 的正六边形 ABCDEF 中,(图 2)向量 与向量 , 有什么关系?向量 与向量 有什么关系?向量 与向量 有什么关系?向量 , , , , 有什么关系?
3、(5) 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 .向量 a, b 平行,记作 ab.规定:0 与任一向量平行 .(6) 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 .向量 a, b 相等,记作 a=b.规定:0 =0.(7) 相反向量:长度相等且方向相反的向量叫做相反向量 .(8) 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以平行向量也叫共线向量 .如图 3, =a, =b, =c,且 abc,则向量 a, b, c 可以平移到一条直线上 .(图 3)(二) 理解概念(1) 数量与向量的区别:数量只有大小,可以比较大小;向量既有方向又有大小 ,不能比较大小(强调) .(2)
4、0 与 0 的区别:0 是向量,是有方向的(虽然方向是任意的);0 是数量,没有方向 .(3) 任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,与起点无关 .(三) 巩固概念桌面上,质量相同的两个物体 A 和 B,它们所受的重力是否相等?它们所受的重力对应的向量是否相等?解 因为它们所受的重力的作用点不同,所以它们所受的重力不相等 .因为它们所受的重力对应的向量大小相等,方向相同,所以它们所受的重力对应的向量相等 .这说明数学中研究的向量是自由向量,只有两个要素:大小和方向 .三、 数学运用【例 1】 下列命题中正确的是 (填序号) . 向量 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与
5、c 也共线; 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点; 向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量; 有相同起点的两个非零向量不平行 .3(见学生用书 P35)规范板书 解 对于 ,考虑到 b 可能是零向量,所以 错;对于 ,考虑到两个向量可能在同一条直线上,所以 错;对于 ,向量平行不同于直线平行,所以 错 .显然 正确,故填 .题后反思 向量平行不同于直线平行:若两直线重合,则它们不平行;若两向量在一条直线上,则它们必平行,共线向量即为平行向量 .【例 2】 (教材第 60 页例 1)已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,在下图所标出的向量中:(例 2)
6、(1) 试找出与 共线的向量;(2) 确定与 相等的向量;(3) 与 相等吗? 4 (见学生用书 P36)处理建议 在学生充分了解正六边形的几何性质的基础上,让其自主解题;再充分利用图形,多问几个问题,全面覆盖本节课的内容 .规范板书 解 (1)与 共线的向量有 和 .(2) 与 长度相等且方向相同,故 = .(3) 虽然 ,且 | |=| |,但它们方向相反,故这两个向量并不相等 .变式 1 在图中标出的向量中,与向量 模相等的向量有多少个?规范板书 解 3 个 .题后反思 向量相等要看两个要素(大小,方向),若有一个要素不同,则两向量不等 .向量共线不同于几个点共线,也不同于几个线段共线
7、.变式 2 如图,在以 1cm3cm 方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,请写出以 A 为起点的不同向量,并求其大小 .5(变式 2)处理建议 写出向量的关键是找出起点和终点,而求其大小就是求向量的模,也即求起点、终点两点间的距离 .规范板书 解 由图可知,以 A 为起点的向量有 , , , , , , ,且 | |=1, | |=2, | |=3, | |= , | |= , | |= , | |=1.题后反思 在求向量模的过程中,可借助勾股定理求解 .(例 3)【例 3】 如图,在四边形 ABCD 中, = ,N, M 分别是 AD, BC 上的点,且 = ,求证:四边形 DNBM 是
8、平行四边形 .6 (见学生用书 P36)处理建议 由 = 可得到四边形 ABCD 为平行四边形,则 ADBC.又由 = 可得到四边形 CNAM 为平行四边形,则 ANCM,可得 DNMB,从而可证明四边形 DNBM 为平行四边形 .规范板书 证明 = , ABDC, 四边形 ABCD 为平行四边形, ADBC.又 = , CNMA, 四边形 CNAM 为平行四边形, ANCM, DNMB, 四边形 DNBM 为平行四边形 .题后反思 向量相等包括两方面的含义:长度相等和方向相同(即平行) .(例 4)*【例 4】 如图,已知半径为 1 的圆 O 上有 8 个等分点 A, B, C, D, E,
9、 F, G, H,以图中标出的 9 个点为起点和终点作向量,那么(1) 有多少个单位向量?(2) 有多少个模为 的向量?(3) 与 平行的向量有哪些? 7规范板书 解 (1) 共有 16 个单位向量 .(2) 圆周上,只隔一个点的两点所连的向量的模为 ,共有 28=16 个 .(3) 与 平行的向量有 , , , , .题后反思 相反向量与原向量平行,且长度相等 .向量平行(共线)只要关注:方向相同或相反,不要忘了方向相反的向量 .四、 课堂练习1. 有下列命题: 向量的模是一个正实数; 两个相等向量必是两个平行向量; 坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量; 温度有零上温度和零下温度,所以温
10、度是向量 .其中真命题的个数是 1 . 2. 设点 O 为正方形 ABCD 的中心,在以正方形的顶点及点 O 为起点或终点的向量中,分别与 , 相等的向量是 , .3. 某人从 A 点出发向东走了 5m 到达 B 点,然后改变方向往东北方向走了 10 m 到达 C 点,到达 C 点后又改变方向向西走了 10m 到达 D 点,求 的模 .(第 3 题)解 根据题意,画出图形如图所示, ABD=90, AB=5, BD=10,所以 AD= =5 ,故 | |=5 .五、 课堂小结1. 向量的概念:定义、表示方法、零向量、单位向量 .(三个定义,两种表示)2. 向量的关系:平行向量(共线向量 )、相
11、等向量、相反向量 .(三个关系)3. 两种思想:数形结合思想、分类讨论思想 .第 2 课时 向量的加法教学过程一、 问题情境利用向量的表示,从景点 O 到景点 A 的位移为 ,从景点 A 到景点 B 的位移为 ,那么经过这两次位移后游艇的合位移是 ,如图 1 所示 .(图 1)问题 1 向量 , , 三者之间有什么关系?经过两次位移后游艇的合位移是 ,两个连续位移的效果可用一个位移表示 .问题 2 如何用数学语言来刻画三者之间的关系?+ = .问题 3 还有哪些量的运算具有类似的性质?和数的运算有什么不同?物理学中,力、位移、速度、加速度等都有类似的运算,它们是向量的运算 .二、 数学建构问题
12、 4 一般地,如何定义向量的加法运算?1. 向量的加法的含义如图 2,已知向量 a 和 b,在平面内任取一点 O,作 =a, =b,则向量 叫做 a 与 b 的和,记作 a+b.即 a+b=+ = .(图 2)求两个向量的和的运算叫做向量的加法 .2. 向量加法的三角形法则根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则 .说明 三角形法则使用时应该“首尾相连” ,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的终点相连,若不“首尾相连” 可通过平移使之“ 首尾相连 ”.问题 5 数的加法法则是什么?向量的加法满足吗?3. 向量运算(类比于数的加法)的法则对于零向量和任一向量 a,有 a
13、+0=0+a=a.对于相反向量,有 a+(-a)=(-a)+a=0.向量的加法满足交换律、结合律: a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).通过作图方式验证向量的加法满足交换律 .如图 3,作 OABC,使 =a, =b,则 = =a, = =b.因为 = + =a+b, = + =b+a,所以 a+b=b+a.(图 3)4. 向量加法的平行四边形法则图 3 还表明,对于两个不共线的非零向量 a, b,我们还可以作平行四边形来求两个向量的和 .分别记作=a, =b,以 OA, OB 为邻边作 OABC,则以 O 为起点的对角线 就是向量 a 与 b 的和 .我们把这种方法叫做向量加法的
14、平行四边形法则 .说明 平行四边形法则使用时应该“共起点” ,即其中一个向量的起点应该与另一个向量的起点相同,若不“共起点 ”可通过平移使之 “共起点” .同样,根据图 4 可以验证,向量的加法满足结合律 .(图 4)思考 如果平面内有 n 个向量依次首尾连接组成一条封闭折线,那么这 n 个向量的和是什么?(零向量) 三、 数学运用【例 1】 如图,在平行四边形 ABCD 的对角线 BD 的延长线及反向延长线上分别取点 F, E,使 BE=DF,用向量的方法证明:四边形 AECF 是平行四边形 .2(见学生用书 P37)(例 1)处理建议 由上一课时的例 3 知,要证明四边形 AECF 是平行
15、四边形,只需证明 = 或 = .规范板书 解 = + , = + ,又 = , = , = ,即 AE, FC 平行且相等, 四边形 AECF 也是平行四边形 .题后反思 在运用向量方法进行证明时,常常运用向量加法法则(平行四边形法则、三角形法则)将向量进行转化 .【例 2】 如图,已知 D, E, F 分别是 ABC 三边 AB, BC, CA 的中点,求证: + + =0.3(见学生用书 P38)(例 2)处理建议 引导学生复习三角形边的中点具有的性质,构造平行四边形,联系向量的加法法则,使运算自然展开 .规范板书 证明 连接 DE, EF, FD.因为 D, E, F 分别是 ABC 三
16、边的中点,所以四边形 ADEF 为平行四边形 .由向量加法的平行四边形法则,得 + = .同理在 BEFD 中, + = ,在 CFDE 在中, + = .将 式相加,得+ + = + + + + + =( + )+( + )+( + )=0.题后反思 此题有一定的难度,对于培养学生综合运用已有的知识解决问题的能力有促进作用 .深化学生对向量加法法则的理解和运用 .【例 3】 (教材第 64 页例 2)在长江南岸某渡口处,江水以 12.5km/h 的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? 4(见学生用书 P38)处理建议 此题利用向量方法解决实际问题,关
17、键是问题的转化 .即渡船的实际速度 ,船速 与水速应满足 + = .数学问题解决后一定要回到实际问题 .规范板书 解 如图,设 表示水流的速度, 表示渡船的速度, 表示渡船的实际垂直过江的速度 .(例 3)因为 + = ,所以四边形 ABCD 为平行四边形 .在 RtACD 中, ACD=90, | |=| |=12.5, | |=25,所以 CAD=30.答:渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西 30.题后反思 明确解题的基本策略,先作出图示来认识活动过程,在直观感受的基础上,运用向量知识求解 .四、 课堂练习1. 在矩形 ABCD 中, | |= ,| |=1,则向量 的模等于 2.2.
18、 化简:(1) + + = ;(2) + + + + =0.提示 + + + + = + + + + =0.3. 在正六边形 ABCDEF 中, =a, =b,则 =a+b(用 a, b 表示) .提示 = = + =a+b.4. 在 RtABC 中, A=90,若 | |=3,| |=4,则 | + |=5.提示 在 RtABC 中, | + |=| |=5.五、 课堂小结1. 由物理学中的合位移推广得到向量的加法运算,类比数的运算得到向量的运算律 .2. 向量加法的三角形法则强调向量“首尾相连” ,平行四边形法则强调向量“共起点” .第 3 课时 向量的减法教学过程一、 问题情境实数的加法
19、与减法是什么关系? 2二、 数学建构问题 1 类似于实数的减法,你能定义向量的减法吗?向量的减法是向量的加法的逆运算 .若 b+x=a,则向量 x 叫做 a 与 b 的差,记为 a-b,求两个向量差的运算,叫做向量的减法 .问题 2 类似于向量的加法,你能作出向量减法的几何表示吗?作法:如图 1、图 2,在平面内任取一点 O,作 =a, =b.(图 1)(图 2)因为 + = ,即 b+ =a,所以 =a-b.这就是说,当向量 a, b 起点相同时,从 b 的终点指向 a 的终点的向量就是 a-b.由向量加法结合律可知, a+(-b)+b=a+(-b)+b=a,所以 a-b=a+(-b).这表
20、明:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量 .三、 数学运用【例 1】 如图,已知向量 a, b,求作 a-b.3(见学生用书 P39)(例 1)处理建议 先让学生自主尝试作图,再进行抽象的理论概括 .规范板书 略 .题后反思 不同情形的作图方法归纳:当向量 a, b 起点相同时, a-b 由 b 的终点指向 a 的终点;当向量 a, b 终点相同时, a-b 由 a 的起点指向 b 的起点;当向量 a, b 起点和终点都不同时,可以通过平移使之共起点或者共终点 .(例 2)【例 2】 (教材第 67 页例 2)如图, O 是 ABCD 对角线的交点,若 =a, =b, =c,试证明: b+c
21、-a= .(见学生用书 P40)处理建议 要证 b+c-a= ,只要证 b+c= +a.规范板书 证明 因为 b+c= + = + = , +a= + = ,所以 b+c= +a,即 b+c-a= .题后反思 解决这类问题的核心是应用向量加法或减法法则进行相互转化 .本题还可以通过 = += + + 来证明,或者从 c-a= - = - = = + 来证明 .【例 3】 证明:对于任意两个向量 a, b 都有 |a|-|b|a+b|a|+|b|.4(见学生用书 P40)处理建议 引导学生从不等式本身的几何意义出发,结合向量 a, b 是否为零向量、是否共线等情况分类讨论 .规范板书 证明 若
22、a, b 中至少有一个为零向量,则不等式显然成立 .若 a, b 都不是零向量,记 =a, =b,则 =a+b.(1) 当 a, b 不共线时,如图甲所示,则在 OAB 中,有 | |-| | | |+| |,即 |a|-|b|a+b|a|+|b|.(例 3)(2) 当 a, b 共线时,若 a, b 同向,如图乙所示, | |=| |+| |,即 |a+b|=|a|+|b|;若 a, b 反向,如图丙所示 | |-| |=| |,即 |a|-|b|=|a+b|.综上可知, |a|-|b|a+b|a|+|b|.题后反思 此题要求学生学会多角度分析问题,确定解题的立足点,讨论问题的全面性,培养学生的分类讨论的能力 .也可证明: |a|-|b|a-b|a|+|b|.四、 课堂练习1. 在四边形 ABCD 中, = + ,则四边形 ABCD 的形状为平行四边形 .2. 下列各式中,能化简为 的是 (填序号) . +( - ); ( - )+( - ); - - ; - + .3. 在 ABC 中, D, E 分别为 AB, AC 的中点,则 - = 或 .
