1、11.2 余弦定理(一)课时目标1熟记余弦定理及其推论；2能够初步运用余弦定理解斜三角形1余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍即 a2b 2c 22bccos_A，b 2c 2a 22ca cos_B，c 2a 2b 22abcos _C.2余弦定理的推论cos A ；cos B ；cos C .b2 c2 a22bc c2 a2 b22ca a2 b2 c22ab3在ABC 中：(1)若 a2b 2c 20，则 C90 ；(2)若 c2a 2b 2ab，则 C60 ；(3)若 c2a 2b 2 ab，则 C135.2一、选择题1在ABC
2、中，已知 a1，b2，C60，则 c 等于( )A. B33C. D55答案 A2在ABC 中，a7，b4 ，c ，则ABC 的最小角为( )3 13A. B.3 6C. D.4 12答案 B解析 abc，C 为最小角，由余弦定理 cos Ca2 b2 c22ab . C .72 432 1322743 32 63在ABC 中，已知 a2，则 bcos Cccos B 等于( )A1 B. C2 D42答案 C解析 bcos Cccos Bb c a2.a2 b2 c22ab c2 a2 b22ac 2a22a4在ABC 中，已知 b2ac 且 c2a，则 cos B 等于( )A. B. C
3、. D.14 34 24 23答案 B解析 b 2ac，c 2a，b 22a 2，b a，2cos B .a2 c2 b22ac a2 4a2 2a22a2a 345在ABC 中，sin 2 (a，b，c 分别为角 A，B，C 的对应边)，则ABC 的形A2 c b2c状为( )A正三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形答案 B解析 sin 2 ，A2 1 cos A2 c b2ccos A a 2b 2c 2，符合勾股定理bc b2 c2 a22bc故ABC 为直角三角形6在ABC 中，已知面积 S (a2b 2c 2)，则角 C 的度数为( )14A135 B45 C60 D1
4、20答案 B解析 S (a2b 2c 2) absin C，14 12a 2b 2c 22absin C，c 2a 2b 22absin C.由余弦定理得：c 2a 2b 22abcos C，sin Ccos C，C45 .二、填空题7在ABC 中，若 a2b 2c 2bc，则 A_.答案 1208ABC 中，已知 a2，b4，C60，则 A_.答案 30解析 c 2a 2b 22abcos C2 24 2224cos 6012c2 .3由正弦定理： 得 sin A .asin A csin C 12a0，b0)，则最大角为_a2 ab b2答案 120解析 易知： a， b，设最大角为 ，a
5、2 ab b2 a2 ab b2则 cos ，a2 b2 a2 ab b222ab 12120.10在ABC 中，BC1，B ，当ABC 的面积等于 时，tan C_.3 3答案 2 3解析 S ABC acsin B ， c4.由余弦定理得，b 2 a2c 22accos B13，12 3cos C ，sin C ，a2 b2 c22ab 113 1213tan C 2 .12 3三、解答题11在ABC 中，已知 CB7，AC 8，AB9，试求 AC 边上的中线长解 由条件知：cos A ，设中线长为 x，由余弦定AB2 AC2 BC22ABAC 92 82 72298 23理知：x 2 2
6、AB 22 ABcos A4 29 2249 49(AC2) AC2 23x7.所以，所求中线长为 7.12在ABC 中，BCa，AC b，且 a，b 是方程 x22 x20 的两根，32cos(A B)1.(1)求角 C 的度数；(2)求 AB 的长；(3)求ABC 的面积解 (1)cos Ccos(AB)cos(AB ) ，12又C(0 ，180) ，C 120.(2)a，b 是方程 x22 x20 的两根，3Error!AB 2b 2a 22abcos 120(ab) 2ab10，AB .10(3)SABC absin C .12 32能力提升13(2010潍坊一模)在ABC 中，AB2
7、，AC ，BC1 ，AD 为边 BC 上的高，6 3则 AD 的长是_答案 3解析 cos C ，BC2 AC2 AB22BCAC 22sin C .22ADACsin C .314在ABC 中，acos A bcos Bccos C，试判断三角形的形状解 由余弦定理知cos A ，cos B ，b2 c2 a22bc a2 c2 b22accos C ，a2 b2 c22ab代入已知条件得a b c 0，b2 c2 a22bc a2 c2 b22ac c2 a2 b22ab通分得 a2(b2c 2a 2)b 2(a2c 2b 2)c 2(c2a 2b 2)0，展开整理得(a 2b 2)2c 4.a 2b 2c 2， 即 a2b 2c 2 或 b2a 2c 2.根据勾股定理知ABC 是直角三角形1利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角2余弦定理与勾股定理余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例
