1、1.1 集合的含义及其表示 第二课时教学目标：使学生了解有限集、无限集概念，掌握表示集合方法，了解空集的概念及其特殊性；通过本节教学，培养学生逻辑思维能力；渗透抽象、概括的思想.教学重点：集合的表示方法，空集.教学难点：正确表示一些简单集合.教学方法：自学辅导法在学生自学基础上，进行概括、总结.教学过程：.复习回顾集合元素的特征有哪些?怎样理解?试举例说明.集合与元素关系是什么?如何表示?.讲授新课1.集合的表示方法通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有：（1）列举法：把集合中元素一一列举出来的方法.（2）描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.师由方程 x210
2、 的所有解组成的集合可以表示为1，1，不等式 x32 的解集可以表示为 x x32.下面请同学们思考：幻灯片(A)： 请用列举法表示下列集合(1)小于 5 的正奇数(2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数(3)方程 x290 的解的集合(4)15 以内的质数(5)x Z , xZ63 x生(1)满足题条件小于 5 的正奇数有 1，3.故用列举法表示为1，3(2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然数有 6，9，12.故用列举法表示为6，9，12(3)方程 x290 的解为3，3.故用列举法表示为3，3(4)15 以内的质数 2，3，5，7，11，13.故该集合用列举法表示为
3、2，3，5，7，11，13(5)满足 Z 的 x 有：3 x1，2，3，6，解之63 xx2，4，1，5，0，6，3，9.故用列举法表示为2，4，1，5，0，6，3，9师通过我们对上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么?生依题找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在.师用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用“， ”隔开并放在大括号内.除了刚才练习题目中涉及到的问题外，还有如下问题，注意比较各问题的形式，试用描述法表示下列集合.(6)到定点距离等于定长的点让学生充分考虑，相互研讨后师给出结果（ x， y）|（ x a） 2（ y b） 2 r2 (7)方程组 的解集为（ x，
4、 y）| 3x + 2y 22x + 3y 27) 3x + 2y 22x + 3y 27)(8)由适合 x2 x20 的所有解组成集合x x2 x20下面给出问题，经学生考虑后回答：幻灯片（B）：用描述法分别表示：(1)抛物线 x2 y 上的点.(2)抛物线 x2 y 上点的横坐标.(3)抛物线 x2 y 上点的纵坐标.(4)数轴上离开原点的距离大于 6 的点的集合.(5)平面直角坐标系中第、象限点的集合.生(1)集合中的元素是点.它是坐标平面内的点，其坐标是一个有序实数.对，可表示为（ x， y） x2 y(2)集合中的元素是实数.该实数是平面上点的横坐标，用描述法表示即为 x x2 y.
5、(3)集合中的元素是实数.该实数是符合条件的平面上点的纵坐标.用描述法表示即为 y x2 y.(4)该集合中元素是点.而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，所以可以表示成 xR| x|6.(5)平面直角坐标系中点是该集合元素.该点可以用一对有序实数对表示，用描述法即可表示为（ x， y） xy0.师同学们通过对上述问题的解答，解决该类问题的关键是什么?生(经讨论后得出结论)解决该类问题关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素.师集合中元素的公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但必须抓住其实质.师再看几例1.用列举法表示 1 到 100 连续自然数的平方；2.x， x，
6、 y，（ x， y）的含义是否相同.生 x表示单元素集合； x， y表示两个元素集合；（ x， y）表示含一点集合.而对于 1 题经教师指导给出结论，该集合列举法表示为1，4，9，25，100 2.3. x y x21， y y x21，（ x， y） y x21，的含义是否相同.(3)集合相等两个集合相等、应满足如下关系：A2，3，4，5， B5，4，3，2，即有集合 A 的元素都是集合 B 的元素，集合 B 的元素都是集合 A 的元素.幻灯片：一般地，对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素.我们就说集合
7、A 等于集合 B.记作 AB.用式子表示：如果 A B，同时 B A，那么 AB.如： a， b， c， d与 b， c， d， a相等；2，3，4与3，4，2相等；2，3与3，2相等.师请同学互相举例并判断是否相等.稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.如： A x x2 m1， mZ， B x x2 n1， nZ.2.集合的分类师指出：（1）有限集含有有限个元素的集合.（2）无限集含有无限个元素的集合.那么投影(A)中的集合和（B）中的集合是有限集还是无限集，经重新投影后，学生作答.生幻灯片（A）中的五个集合都是有限集；幻灯片（B）中的五个集合都是无限集.3.空集师 表示空集，既不
8、含任何元素的集合 .例如： x x220， x x210请学生相互举例、验证，师补充说明：4.师集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：表示任意一个集合 A边界用直线还 是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.课堂练习1.解：(1)满足题意的集合可用描述法表示xN x10；它是一个无限集.(2)满足题意的集合可用列举法表示如下：2，3，6；它是一个有限集.(3)满足题意的集合可用列举法表示如下：2，2；它是一个有限集.(4)满足题意的集合可用列举
9、法表示如下：2，3，5，7；它是一个有限集.2.解：(1)该集合可用描述法表示如下：x x 是 4 与 6 的公倍数；它是一个无限集.(2)该集合可用描述法表示如下：x x2 n， nN*；它是一个无限集.(3)该集合可用描述法表示如下：x x220；它是一个有限集.(4)不等式 4x65 的解集可用描述法表示如下：x x ；它是一个无限集.114表示3，9，27表示4，6 ，10问题的解决主要靠判断集合中元素的多少，进而确定表示方法.3.判断正误：（1） x1，0，1 时， y x21 的值的集合是2，1，2（2）方程组 的解集是1，1x + y 02x y 3)（3）方程 x22 x30
10、的解集是x1，3， x x1， x3， 1 或3， （1，3） ， 1或34.方程组 的解集用列举法表示为_；用描述法表示为_.x + y 2x y 5 )解：因 的解集为方程组的解. x + y 2x y 5 )解该方程组 x ， y 72 32则用列举法表示为（ ， ）；用描述法表示为（ x， y）| 72 32 x + y 2x y 5 )5.(x， y) x y6， x， yN用列举法表示为_.解：因 x y6， x， yN 的解有：x 0y 6) x 1y 5) x 2y 4) x 3y 3)x 4y 2) x 5y 1) x 6y 0)故列举法表示该集合，就是(0，6),(1，5)
11、,(2，4),(3，3),(4，2),(5，1),(6，0).课时小结1.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.2.注意 在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究.课后作业（一）1.用列举法表示下列集合：(1)x24 的一次因式组成的集合. (2) y y x22 x3， xR, yN.(3)方程 x26 x90 的解集. (4)20 以内的质数.(5)（ x， y） x2 y21， xZ, yZ. (6)大于 0 小于 3 的整数.(7)xR x25 x14
12、0. (8)（ x， y） xN，且 1 x4， y2 x0.(9)（ x， y） x y6， xN， yN.分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“， ”隔开放在大括号内.解：(1)因 x24（ x2） （ x2） ，故符合题意的集合为 x2， x2.(2)y x22 x3（ x1） 24，即 y4，又 yN， y0，1，2，3，4.故 y y x22 x3， xR, yN0，1，2，3，4.(3)由 x26 x90 得 x1 x23 方程 x26 x90 的解集为3.(4)20 以内的质数2，3，5，7，11，13，17，19.(5)因 xZ ,
13、yZ ，则 x1，0，1 时， y0，1，1.那么( x， y) x2 y21， xZ , yZ（1，0） ， （0，1） ， （0，1） ， （1，0）.(6)大于 0 小于 3 的整数1，2.(7)因 x25 x140 的解为 x17， x22，则 xR x25 x1407，2.(8)当 xN 且 1 x4 时， x1，2，3，此时 y2 x，即 y2，4，6.那么（ x， y） xN 且 1 x4， y2 x0（1，2） ， （2，4） ， （3，6）.(9)（ x， y） x y6， xN， yN（0，6） （1，5） ， （2，4） ， （3，3） ， （4，2） ，（5，1） ，
14、（6，0）.2.用描述法表示下列集合：(1)方程 2x y5 的解集. (2)小于 10 的所有非负整数的集合.(3)方程 ax by0（ ab0）的解. (4)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合.(5)平面直角坐标系中第、象限点的集合.(6)方程组 的解的集合. (7)1，3，5，7，.x + y 1x y 1 )(8)x 轴上所有点的集合. (9)非负偶数.(10)能被 3 整除的整数.分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.解：(1)（ x， y）2 x y5.(2)小于 10 的所有非负
15、整数的集合用描述法表示为 x0 x10， xZ.(3)方程 ax by0（ ab0）的解用描述法表示为（ x， y） ax by0（ ab0）.(4)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合用描述法表示为 x x3.(5)平面直角坐标系中第、象限点的集合用描述法表示为（ x， y） xy0.(6)方程组 的解的集合用描述法表示为（ x， y） .x + y 1x y 1 ) x + y 1x y 1 )(7)1，3，5，7，用描述法表示为 x x2 k1， kN*.(8)x 轴上所有点的集合用描述法表示为（ x， y） xR， y0.(9)非负偶数用描述法表示为 x x2 k， kN.(10)
16、能被 3 整除的整数用描述法表示为 x x3 k， kZ.3.已知 A2，1，0，1， B x x y， y A，求 B.解： y A y2，1，0，1此时 y0，1，2，则有 B0，1，2.4.将方程组 的解集用列举法、描述法分别表示.3x + y 22x 3y 27)解：因 的解为（3，7） 3x + y 22x 3y 27)则用描述法表示该集合：（ x， y） ；3x + y 22x 3y 27)用列举法表示该集合：（3，7）.5.设集合 A x x2 k， kZ， B x x2 k1， kZ， C x x4 k1， kZ，又有 a A， b B，判断元素 a b 与集合 A、 B 和
17、C 的关系.解：因 A x x2 k， kZ， B x x2 k1， kZ，则集合 A 由偶数构成，集合B 由奇数构成.即 a 是偶数， b 是奇数 设 a2 m， b2 n1（ mZ , nZ）则 a b2（ m n）1 是奇数，那么 a b A， a b B又 C x x4 k1， kZ是由部分奇数构成且 x4 k122 k1故 m n 是偶数时， a b C； m n 不是偶数时， a b C.综上 a b A， a b B， a b C. （二）预习内容：1.预习课本 P8 P9 子集，子集的概念及空集的性质.2.预习提纲：(1)两个集合 A、 B 具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？(2)一个集合 A 是另一个集合 B 的真子集，则其应满足条件是什么?(3)空集有哪些性质?
