1、变量与函数,zxxkw,学科网,在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable),在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量（constant），,概 括,1、某日的气温变化图,观 察:,从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地 气温T（）也随之变化,收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的下面是一些对应的数：细心的同学可能会发现： l 与 f 的乘积是一个定值，即lf300 000，或者说 f = 说明波长越大，频率f 就_,观 察:,zxxkw,观 察:圆面积S与半径r的关系,圆的面积随着半径的增大而增
2、大如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积。则S与r之间满足下列关系：S_,学科网,(1)圆的周长C与半径r的关系式;(2)火车以60千米/时的速度行驶,它 驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式;(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.,写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常量与变量,C=2r,s =60 t,S =(n-2) 180 0,一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x每 一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是 自变量，y是因变量，此时也称 y是x的函数。,日常生活和自然界中函数的事例很多：,概 括,C=2r,s =60 t,S =(n-2) 180 0,函
3、数一语，起用于公元1692 年，最早见自德国数 学家莱布尼兹的著作。 他 是德国最重要的自然科学 家、数学家、物理学家、 历史学家和哲学家，一个 举世罕见的科学天才，和 牛顿同为微积分的创建人。 他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。,学科网,试一试：看谁的眼光准,例1、判断下列变量关系，y是不是x的函数？,判断是不是函数，我们可以看它的数学式子中的变量之间是否满足函数的定义,(1). y=2/x; (2). y2=10-x2; (3).x+y=5; (4).|y|=3x+1 (5).y=x2-4x+5,区别与观察下面关系式,y=x+1,当x=1时,y=2,y=3
4、,当x=2时,(2) y2=x,y=4,当x=3时,y=5,当x=4时,y随x的变化而变化,当x=1时,y=+1,-1,y=+2,-2,当x=4时,y=+3,-3,当x=9时,y=+4,-4,当x=16时,关系式(1)y=x+1中对于每个x的值,y都有唯一的值,与x对应,zxxkw,表示函数关系的方法通常有三种： （1） 解析法，如观察3中的f= ，观察4中的 Sr2，这些表达式称为函数的关系解析式 （2） 列表法，如观察2中的体重表，观察3中 的波长与频率关系表 （3） 图象法，观察1中的气温曲线,(4).在下面的我国人口统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y，对于表中每一个确定的年份
5、（x），都对应着一个确定的人口数(y)吗？,是,(5)如图，是体检时的心电图，其中横坐 标x表示时间，纵坐标y表示心脏某部位 的生物电流，它们是两个变量，其中y是 x的函数吗？,y,x,是,zxxkw,下面各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？为什么？如果能，请写出它们的关系式。,（1）每一个同学购一本代数书，书的单价为2元，则 x 个同学共付 y 元。,（2）计划购买50元的乒乓球，则所购的总数y（个）与单价x （元）的关系。,（3）一个铜球在0 的体积为1000cm3，加热后温度每增加1，体积增加0.051cm3，t 时球的体积为 V cm3 。,解:y是x的函
6、数.其关系式为: y=2x,解: y是x的函数,其关系式为:,解: v是 t 的函数,其关系式为: v = 0.051t+1000,复习练习,填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?,问题1,如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y 表示，试写出y与x 的函数关系式,解 如图,能发现涂黑的格子成一条直线,函数关系式： y10x,试写出等腰三角形中顶角的度数y与底角的度数x之间的函数关系式,y,x,问题2,如图，等腰直角ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让ABC向右运动，最后A点与N点重
7、合试写出重叠部分面积ycm2与MA长度x cm之间的函数关系式,问题3,x,x,Y,探索1,x,y,在用解析式表示函数时，自变量的取值往往有一定的范围，这个范围叫做自变量的取值范围,思考,1.在上面所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。,(x取1到9的 自然数),x,x,Y,这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y 表示，y 与x 的函数关系式是：,函数关系式： y10x,思考,2.在上面问题（1）中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？,我们把7叫做这个函数当x=3时的函数值,当x=3时，y=7,例1 求
8、下列函数中自变量x的取值范围：,（1） y3x1 （2） y2x27 （3） y = （4） y,（1）,（4）,解：,任意实数,（2）,任意实数,（5）,x-2,x2,（3）,任意实数,2.分式：,3.二次根式：,1.整式：,怎样求自变量的取值范围,取全体实数,取使分母不为0的值,取使“被开方数0”的值,4.三次根式：,取全体实数,求出下列函数中自变量的取值范围,（1）y=2x,（2）,（3）,解: 自变量x的取值范围:x为任何实数,解: 由n-10得n1自变量n的取值范围n1,解:由x+20得x2自变量x的取值范围x2,x10,例2、求下列函数的自变量x的取值范围。,解（1）,x可以取全体
9、实数,（2）,x+20,5-x0,-2x5,x1且x1,（3）,1-x0,x+10,2.分式：,3.二次根式：,1.整式：,怎样求自变量的取值范围,5.对于混合式：,取使每一个式子有意义的值,取全体实数,取使分母不为0的值,取使“被开方数0”的值,4.三次根式：,取全体实数,例3、小明用30元钱去购买每件价格为5元的某种商品，求他剩余的钱y（元）与购买这种商品的件数x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围,解: 依题意得 y=30-5x,0x6,对于反映实际问题的函数关系，自变量的取值应使实际问题有意义,知识拓展,且x是自然数,x的取值范围是,某中学校办工厂现在年产值是15万元，计划今后每年
10、再增加2万元，年产值y（万元)与年数x的函数关系式是 其中自变量取值范围是,y=2x+15,X1且为正整数,一支铅笔0.5元，买x支铅笔要y元，则y与x的 函数关系式是 ，其中x的取值范围 是,y=0.5x,X0且为正整数,(2)分式：,(3)二次根式：,(1)整式：,怎样求自变量的取值范围,(5)对于混合式：,取使每一个式子有意义的值,取全体实数,取使分母不为0的值,取使“被开方数0”的值,(4)三次根式：,取全体实数,1.当函数关系用解析式表示时，要使解析式有意义,2.对于反映实际问题的函数关系，要使实际问题有意义,例4.在问题3中，当MA=1 cm时，重叠部分的面积是多少?,解:设重叠部
11、分面积为y cm2，MA长为x cm，y与x之间的函数关系式为,当x=1时,MA1cm时，重叠部分的面积是 cm2,我们把 做这个函数当x=1时的函数值,x,x,y,怎样求函数值？,把自变量的值代入计算即可,例5、已知函数 y= ，求,（1）当x = 1时，函数y的值。 （2）当y = 3时，自变量x的值。,解：（1）把x = 1代入函数式，得,（2）把y=3代入函数式，得,=,练习P28练习1，2，3, P29 4,6,2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值,小结,1.求函数自变量取值范围的方法：,(1)当函数关系用解析式来表示时，要使解析式有意义,(
12、2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义,再 见,一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加油，那么油箱中的油量y（升）随行驶里程x（公里）的增加而减少，平均耗油量为0.1升/公里。,（1）写出表示y与x的函数关系的式子。,（2）指出自变量x的取值范围,（3）汽车行驶200公里时，油箱中还有多少油？,解:函数关系式为: y=500.1x,解：由x0及500.1x0得 自变量的取值范围是: 0x500,解：当x=200时,函数y的值为:y=500.1200,因此,当汽车行驶200公里时,油箱中还有油30升,0x500,=30,节约资源是当前最热门的话题,我市居民每月用电不超过100度时,按0.57元/度计算；超过100度电时,其中不超过100度部分按0.57元/度计算,超过部分按0.8元/度计算.,（1）如果小聪家每月用电x（x100）度，请写出电费y与用电量x的函数关系式,（2）若小明家8月份用了125度电，则应缴电费少？,（3）若小华家七月份缴电费45.6元,则该月用电多少度?,解:电费y与用电量x的函数式为:y = 0.8(x100)57 (x100),解:当x=125时，y = 0.8(125100)57,解:缴电费小于57元,= 77,应缴电费77元。,y=0.57x,由 45.6 = 0.57x,得x=80,因此该月用电80度。,电费y与用电量x的关系式为:,
