1、第 5 课时 二元一次不等式表示的平面区域教学过程一、 问题情境(教材 P73 引例( 3)下表给出了 X, Y, Z 三种食物的维生素含量及成本 :维生素 A(单位/kg)维生素 B(单位/kg)成 本(元/ kg)X 300 700 5Y 500 100 4Z 300 300 3某人欲将这三种食物混合成 100kg 的食品,要使混合食品中至少含 35000 单位的维生素 A 及 40000 单位的维生素 B,设 X, Y 这两种食物各取 xkg, ykg,那么 x, y 应满足怎样的关系?解 X, Y 这两种食物分别取 xkg, ykg, 食物 Z 取(100-x-y)kg,则有即又 x0
2、, y0, 100-x-y0, (介绍二元一次不等式的概念 )探究:进一步地,x, y 如何取值才能使总成本 W 最小呢?如何解决该问题?因此,问题转化为在以上不等式组约束条件下 ,求 W=5x+4y+3(100-x-y)=2x+y+300 的最小值问题.要解决以上问题,我们首先要了解二元一次不等式的几何意义.二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 坐标满足二元一次方程 x+y-2=0 的点组成的图形是一条直线 l,怎样才能快速准确地画出直线 l 呢?(描两点连成线.例如:该直线经过点 A(2, 0)和 B(0, 2),画出经过 A, B 两点的直线即为所求)问题 2 怎样判断点(1, 3)在
3、不在直线 l 上呢?(点的坐标满足直线的方程,则点在直线上; 点的坐标不满足直线的方程,则点不在直线上)问题 3 坐标满足不等式 x+y-20 的点是否在直线 l 上呢?这些点在哪儿呢?与直线 l 的位置有什么关系呢?(通过代特殊点的方法,检验坐标满足不等式 x+y-20 的点的位置,并猜想出结论:坐标满足不等式 x+y-20 的点在直线 x+y-2=0 的上方.教师可以用几何画板验证以上结论的正确性)(图 1)进一步验证通过问题 3 得到的结论的正确性 :如图 1,在直线 x+y-2=0 的上方任取一点 P(x, y),过点 P 作平行于 y 轴的直线交直线 x+y-2=0 于点 A(x,
4、-x+2). 点 P 在直线 x+y-2=0 的上方, 点 P 在点 A 的上方, y-x+2,即 x+y-20. 点 P 为直线 x+y-2=0 上方的任意一点, 对于直线 x+y-2=0 上方的任意点(x, y)都有 y-x+2,即 x+y-20.同理,对于直线 x+y-2=0 下方的任意点( x, y)都有 y0 的点在直线 x+y-2=0 的上方,我们称不等式 x+y-20 表示的是直线 x+y-2=0 上方的平面区域;同样,我们称不等式 x+y-20 表示的是直线 x+y-2=0 下方的平面区域.于是得出以下结论:一般地,直线 y=kx+b 把平面分成两个区域 (如图 2):ykx+
5、b 表示直线上方的平面区域;y0 表示的是直线 2x-y+3=0 的上方平面区域还是下方平面区域?(不等式 2x-y+30 等价于 y0 表示的是直线 2x-y+3=0 的下方平面区域)三、 数学运用【例 1】 判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域(用“ 上方”或“ 下方”填空):(1) 不等式 y-+3 表示直线 y=-+3 上方的平面区域;(2) 不等式 x+2y-30 表示直线 x+2y-3=0 上方的平面区域;(3) 不等式 x-2y0 表示直线 x-2y=0 下方的平面区域;(4) 不等式 x+y0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面
6、区域.可以用“选点法”确定具体区域:任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若满足,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一侧为所求的平面区域.【例 2】 (教材 P82 例 1)画出下列不等式所表示的平面区域:(1) y-2x+1; (2) x-y+20.(见学生用书课堂本 P49)规范板书 解 (1)、(2)两个不等式所表示的平面区域如图所示 :(1)(2)(例 2)【例 3】 (教材 P83 例 2)将下列各图中的平面区域(阴影部分)用不等式表示出来(其中图( 1)中的区域不包括 y 轴):(1)(2)(3)(例 3)(见学生用书课堂本 P50)规范
7、板书 解 (1) x0. (2) 6x+5y22. (3) yx.【例 4】 若原点和点(1, 1)在直线 x+y-a=0 的两侧, 求实数 a 的取值范围. (见学生用书课堂本 P50)处理建议 将点(0, 0)和(1, 1)的坐标分别代入 x+y-a 中,并且所得的符号相反,即-a(2-a)10.处理建议 由题意可得 21+3+m 2 -4 -2+m 0,即 0, m10.*【例 5】 (1) 若点(-2, t)在直线 2x-3y+6=0 的下方区域,求实数 t 的取值范围.(2) 若点(0, 0)在直线 3x-2y+a=0 的上方区域, 则点( 1, 3)在此直线的下方区域还是上方区域?
8、规范板书 解 (1) 直线 2x-3y+6=0 下方区域内的点的坐标满足 yx+, 点( 0,0)在直线 3x-2y+a=0 的上方区域, 3x 内;(4) 点(1, 1)在平面区域 x-2y+10 内.解 (1) 正确; (2) 错误; (3) 错误; (4) 错误.2. 不等式 2x+3y-190 表示直线 2x+3y-19=0 (C)A. 上方的平面区域B. 下方的平面区域C. 上方的平面区域(包括直线 )D. 下方的平面区域(包括直线)3. 用“上方” 或 “下方”填空:(1) 若 k0,不等式 ykx+b 表示的区域是直线 y=kx+b 的上方,不等式 ykx+b 表示的区域是直线 y=kx+b 的上方,不等式 ykx+b 表示的区域是直线 y=kx+b 的下方.五、 课堂小结1. 二元一次不等式的几何意义.2. 二元一次不等式表示的平面区域的确定.
