1、第 15 课时 直线和圆的位置关系教学过程一、 问题情境在课桌中央放置一张白纸,用圆规在白纸上画一个圆 ,将一把直尺从桌子的一边平行于课桌边缘平移到桌子的另一边.如果将直尺一条边看成一条直线,在这条直线移动过程中你看到了什么现象?(这是一个开放问题,没有准确答案, 学生回答时可能都是“ 白话” , 学生可能会回答“ 直线先靠近圆,再远离圆”、 “直线先相离, 再相切,然后相交, 再相切, 最后又远离”等.只要意思对,就应该给予肯定.让学生充分表达, 为后面一系列问题做准备)二、 数学建构问题 1 初中学过的平面几何中 ,直线和圆有哪几种位置关系?(该问题可能学生一开始已经回答了,在这里再次出现
2、的目的是明确在数学中直线和圆位置关系的准确表述,只能是 “相离”、 “相切”、 “相交” ,不能用其他意思相近的词语代替)问题 2 在刚才的操作中,你能用数学符号来表示直线靠近( 远离)圆吗?你会判断直线和圆的位置关系吗?(这实际上是直线和圆的位置关系的判定,学生在初中已经有一定的基础.在本节课中,再次出现这个判定,目的在于说明这个判定揭示的是直线和圆位置关系的几何特征)设圆心到直线的距离为 d,圆的半径为 r,则dr 时,直线和圆相离;d=r 时,直线和圆相切;d0).由直线 l 和圆 C 的方程联立方程组则方程组无解时,直线和圆相离 ;方程组仅有一组解时,直线和圆相切;方程组有两组不同的解
3、时,直线和圆相交.问题 5 请总结一下到目前为止 ,判断直线和圆的位置关系有哪几种方法?它们有什么不同?(引导对学过的内容总结,由初中学过的平面几何过渡到解析几何,从“形” 过渡到“数”,了解知识之间的联系和发展)几何法是平面几何的方法,是直线和圆的几何特征 ;而利用联立方程组的方法是解析法 ,是直线和圆的代数特征.利用代数的方法解决几何问题就是解析的思想.三、 数学应用【例 1】 (教材 P113 例 1)求直线 4x+3y=40 和圆 x2+y2=100 的公共点的坐标,并判断它们的位置关系. 3处理建议 直线和圆的交点坐标就是它们联立的方程组的解,本题让学生板演. 规范板书 解 直线 4
4、x+3y=40 和圆 x2+y2=100 的公共点的坐标就是方程组的解.解这个方程组,得所以公共点坐标为(10, 0), .直线 4x+3y=40 和圆 x2+y2=100 有两个公共点, 所以直线和圆相交.题后反思 求两曲线的交点坐标或交点的个数可以用联立方程组的方法,用方程组的解反映图形的情况,这是一般的方法,是通解.变式 已知直线 y=3x+m 和圆 x2+y2=2 相交于点( 1, 1),求直线和圆的另一个交点的坐标.处理建议 让学生比较和例 1 的区别,直线的方程未知 ,先根据条件求出直线的方程,再联立方程组求解.在解方程时,实际上已经知道方程的一个根了,可以利用根与系数关系来解决,
5、在上课时要引导学生注意这一点,这也是近几年高考中有所体现的题型.解 因为线 y=3x+m 过点(1, 1),所以 1=3+m,所以 m=-2,将直线和圆的方程联立方程组消去 y,得 10x2-12x+2=0,由题意方程一个根为 1,设另一个根为 x2, 则 1x2=,得 x2=.将 x2=代入直线的方程得 y2=-,所以直线和圆的另一个交点的坐标为 .【例 2】 (教材 P113 例 2)自点 A(-1, 4)作圆(x- 2)2+(y-3)2=1 的切线 l,求切线 l 的方程. 4处理建议 要求直线的方程还需要知道什么?先引导学生找准解决问题的方向,即还需要知道直线的斜率.再根据直线和圆相切
6、的条件,列出关于斜率的方程,求出斜率.让学生在下面书写,教师可以找出用不同方式解题的同学上黑板板演.规范板书 解 方法一:当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l: x=-1 与圆相离,不满足条件.当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线 l 的方程为 y-4=k(x+1),即 kx-y+(k+4)=0,因为直线和圆相切,所以圆心 (2, 3)到直线 l 的距离等于圆的半径 ,故=1.解得 k=0 或 k=-,因此,所求直线 l 的方程为 y=4 或 3x+4y-13=0方法二:当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l: x=-1 与圆相离, 不满足条件.当直线 l 不垂直于 x 轴时,可设直线
7、l 的方程为 y-4=k(x+1),由于直线和圆相切,所以方程组仅有一解.由方程组消去 y,得关于 x 的一元二次方程(1+k2)x2+(2k2+2k-4)x+k2+2k+4=0.依题意,这个一元二次方程有两个相等实根 ,所以判别式=(2k2+2k-4)2-4(1+k2)( k2+2k+4)=0.解得 k=0 或 k=-.因此,所求直线 l 的方程为 y=4 或 3x+4y-13=0.题后反思 处理直线和圆相切时,一般有两种方法,一是用几何法,即 d=r;另一个是代数法,即通过方程组的解来分析.特别要注意在设直线方程时,要关注直线方程适用的条件,往往要分情况讨论,这一点非常容易遗漏.变式 (2
8、010 年山东枣庄模拟改编)将圆 x2+y2=1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位后得圆 C,若过点( 3, 0)的直线 l 和圆 C 相切,求直线 l 的方程.处理建议 本题仍然强调在设直线方程时,要分情况讨论.解 将圆 x2+y2=1 向右平移 1 个单位后得圆的方程为( x-1)2+y2=1.过点(3, 0)的直线 l 方程分为两种情况 :当斜率不存在时 x=3,与圆不相切 ;当斜率存在时,设直线方程为 y=k(x-3),即 kx-y-3k=0,因为直线和圆相切,所以圆心 (1, 0)到直线 l 的距离等于圆的半径 ,故=1.解得 k= .因此,所求直线 l 的方程为 y= (x-3).
9、【例 3】 (教材 P114 例 3)求直线 x- y+2 =0 被圆 x2+y2=4 截得的弦长. 5处理建议 本题同样有两种方法,让学生先思考,再找用不同方式解题的同学上黑板板演. 如果学生不能用两种方法解决,教师可以引导,如用“ 弦长就是一条线段长,即两点之间的距离. ”引导学生用代数法;用“在我们初中平面几何中还学过关于弦长的问题吗?”引导学生用几何法,即用垂径定理来解决.规范板书 解法一 直线 x- y+2 =0 和圆 x2+y2=4 的公共点坐标就是方程组的解.解这个方程组,得所以公共点坐标为( , 1), (0, 2),直线 x- y+2 =0 被圆 x2+y2=4 截得的弦长为
10、=2.(图 2)解法二 如图 2,设直线 x- y+2 =0 和圆 x2+y2=4 交于 A, B 两点,弦 AB 的中点为 M,则 OMAB(O 为坐标原点),所以AB=2AM=2=2 =2.题后反思 弦的相关问题不外乎用代数法或几何法解决,几何法侧重于图形特征,代数法侧重于运算,当条件具备几何图形的某些特征时,用几何法解答会更方便快捷.圆的弦长的求法: 几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 L,则 =r2-d2; 代数法:设直线与圆相交于 A(x1, y1), B(x2, y2)两点, 解方程组由方程组消去 y,得关于 x 的一元二次方程,求出 A, B 的坐标,再用两点之间的距
11、离公式求出弦长 AB.变式 1 已知点 A(1, 1),求过点 A 的圆 x2+y2-4y=0 的最长与最短的弦长.处理建议 结合图象分析,找出过圆内一点作最长弦和最短弦的条件.规范板书 解 圆 x2+y2-4y=0 圆心为 C(0, 2), r=2,因为点 A(1, 1)在该圆内,所以过 A 最长的弦就是过 A 及圆心的直径,长为 4;最短的弦就是与 AC 垂直的弦, 因为 AC= = ,所以弦长为 2 =2 .变式 2 已知过点 M(-3, -3)的直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 8,求直线 l 的方程.处理建议 把圆的方程化为标准式,求出圆心坐标和半径,求出弦
12、心距的值.设出直线l 的方程,由弦心距的值求出直线的斜率,即得直线 l 的方程.规范板书 解 圆 x2+y2+4y-21=0 的圆心坐标为(0, -2),半径 r=5.因为直线 l 被圆所截得的弦长是 8,所以弦心距为 =3.因为直线 l 过点 M(-3, -3),所以,当斜率不存在时,直线方程为 x=-3,满足题意;当斜率存在时,可设所求直线 l 的方程为 y+3=k(x+3),即 kx-y+3k-3=0.则由圆心到直线的距离等于弦心距,得=3,解得 k=-,此时直线方程为 4x+3y+21=0.故所求直线有两条,它们分别为 x=-3, 4x+3y+21=0.*【例 4】 已知点 P(0,
13、5)及圆 :C: x2+y2+4x-12y+24=0.(1) 若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 ,求 l 的方程;(2) 求圆 C 内过点 P 的弦的中点的轨迹方程. 6处理建议 对于(1), 要求直线的方程只需要求出直线的斜率,利用垂径定理求出圆心到直线的距离,从而得出关于斜率的等量关系,求出斜率;对于(2) 只需要列出关于弦中点D(x, y)的等式即可.解 (1) 如图,AB=4 ,D 是 AB 的中点, 则 AD=2 , AC=4,(图 3)在 RtADC 中, 可得 CD=2.设所求直线的斜率为 k,则直线的方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0.由点 C 到直
14、线的距离公式=2,得 k=,此时直线 l 的方程为 3x-4y+20=0.又直线 l 的斜率不存在时,也满足题意,此时的方程为 x=0.所以所求直线为 x=0 或 3x-4y+20=0.(2) 方法一: 设圆 C 上过点 P 的弦的中点为 D(x, y), 因为 CDPD,所以 =0,即(x+ 2, y-6)(x, y-5)=0,化简得轨迹方程 x2+y2+2x-11y+30=0.方法二:设弦的两个端点分别为 A(x1, y1), B(x2, y2),弦的中点为 D(x, y),则 x1+x2=2x, y1+y2=2y.将 A(x1, y1), B(x2, y2)代入圆的方程得-得(x 1-x
15、2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)+4(x1-x2)-12(y1-y2)=0,同除以(x 1-x2),得 x+kABy+2-6kAB=0,因为 kAB=kPD= ,所以 x+ +2- =0,整理得轨迹方程 x2+y2+2x-11y+30=0.题后反思 在研究与弦的中点有关问题时,注意运用“平方差法 ”,即设弦 AB 两端点的坐标分别为 A(x1, y1), B(x2, y2),中点为(x 0, y0),由得 k= =- =- .该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题.四、 课堂练习1. 对任意实数 k,圆 C: x2+y2-6x-8y+12=0 与直线 l: kx-y-4
16、k+3=0 的位置关系是 相交 . 提示 因为动直线 kx-y-4k+3=0 过定点( 4, 3),而该点恰好在圆内部.所以直线和圆相交.2. 若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则点 P(a, b)与圆的位置关系是 在圆外 . 解 因为直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,所以圆心到直线的距离小于半径, 则 1,所以点在圆外. 3. (1) 求过圆 x2+y2=4 上一点 的圆的切线方程.(2) 求过原点且与圆(x- 3)2+(y-1)2=1 相切的直线方程.答案 (1) - x+ y-4=0.(2) y=x 和 y=0.4. 求过原点且倾斜角为 60的直线被圆
17、x2+y2-4y=0 所截得的弦长.提示 本题有多种方法,用几何法 ,代数法都可以,都比较简单.答案 2 .五、 课堂小结1. 在直线与圆的位置关系中, “直线与圆相切时求切线”和“相交时研究与弦长有关的问题” 是两个重点内容;求切线时,若知道切点,可直接利用公式; 若过圆外一点求切线,一般运用圆心到直线的距离等于半径来求,但注意有两条 .2. 解决与弦长有关的问题时, 注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形,也可以运用弦长公式,就是通常所说的 “几何法”和“代数法”. 3. 解决直线与圆的位置关系问题,一般有两种方法, 即几何法或代数法,从运算的合理、简明的要求选择,通常采用几何法 ,但代数法具有一般性.4. 数形结合法(如几何法) 是解决直线与圆的位置关系的重要方法.
