树的概念和定义.ppt

1、树的概念与定义,树是n（n0）个结点的有限集合T。当n=0时，称为空树；当n0时， 该集合满足如下条件： (1) 其中必有一个称为根（root）的特定结点，它没有直接前驱，但有零个或多个直接后继。 (2) 其余n-1个结点可以划分成m（m0）个互不相交的有限集T1，T2，T3，Tm，其中Ti又是一棵树，称为根root的子树。 每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但有零个或多个直接后继。,图6.1 树的图示方法,结点：包含一个数据元素及若干指向其它结点的分支信息。 结点的度：一个结点的子树个数称为此结点的度。 叶结点：度为0的结点，即无后继的结点，也称为终端结点。分支结点：度不为0的结点，也称

2、为非终端结点。 孩子结点：一个结点的直接后继称为该结点的孩子结点。双亲结点：一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点。兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。,祖先结点：一个结点的祖先结点是指从根结点到该结点的路径上的所有结点。在图6.1中，结点K的祖先是A、B、E。 子孙结点：一个结点的直接后继和间接后继称为该结点的子孙结点。在图6.1中，结点D的子孙是H、I、 J、 M。 树的度： 树中所有结点的度的最大值。 结点的层次：从根结点开始定义，根结点的层次为1，根的直接后继的层次为2，依此类推。 树的高度（深度）： 树中所有结点的层次的最大值。 有序树：在树T中，如果各子树Ti之间是有

3、先后次序的，则称为有序树。 森林： m（m0）棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根结点删去，树就变成一个森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。,ADT Tree 数据对象D：一个集合，该集合中的所有元素具有相同的特性。 数据关系R： 若D为空集，则为空树。 若D中仅含有一个数据元素，则R为空集，否则R=H，H是如下的二元关系： (1) 在D中存在唯一的称为根的数据元素root， 它在关系H下没有前驱。 (2) 除root以外， D中每个结点在关系H下都有且仅有一个前驱。,基本操作： (1) InitTree（Tree）： 将Tree初始化为一棵空树。 (2) Destor

4、yTree（Tree）： 销毁树Tree。 (3) CreateTree（Tree）： 创建树Tree。 (4) TreeEmpty（Tree）： 若Tree为空， 则返回TRUE， 否则返回FALSE。 (5) Root（Tree）： 返回树Tree的根。 (6) Parent（Tree， x）： 树Tree存在， x是Tree中的某个结点。 若x为非根结点，则返回它的双亲， 否则返回“空”。 ,(7) FirstChild（Tree，x）： 树Tree存在， x是Tree中的某个结点。若x为非叶子结点，则返回它的第一个孩子结点， 否则返回“空”。 (8) NextSibling（Tree，

5、x）： 树Tree存在，x是Tree中的某个结点。若x不是其双亲的最后一个孩子结点，则返回x后面的下一个兄弟结点， 否则返回“空”。,(9) InsertChild（Tree， p， Child）：树Tree存在，p指向Tree中某个结点，非空树Child与Tree不相交。将Child插入Tree中， 做p所指向结点的子树。 (10) DeleteChild（Tree，p，i）： 树Tree存在， p指向Tree中某个结点， 1id，d为p所指向结点的度。 删除Tree中p所指向结点的第i棵子树。 (11) TraverseTree（Tree，Visit（）： 树Tree存在，Visit（）是

6、对结点进行访问的函数。按照某种次序对树Tree的每个结点调用Visit（）函数访问一次且最多一次。若Visit（）失败， 则操作失败。,二叉树的定义与基本操作,定义：我们把满足以下两个条件的树形结构叫做二叉树（Binary Tree）： （1） 每个结点的度都不大于2； （2） 每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。 由此定义可以看出，一个二叉树中的每个结点只能含有0、 1或2个孩子，而且每个孩子有左右之分。我们把位于左边的孩子叫做左孩子，位于右边的孩子叫做右孩子。,图6.2给出了二叉树的五种基本形态。,与树的基本操作类似，二叉树有如下基本操作： (1) Initiate（bt）：将bt初始化为

7、空二叉树。 (2) Create(bt)： 创建一棵非空二叉树bt。 (3) Destory（bt）： 销毁二叉树bt。 (4) Empty（bt）：若bt为空，则返回TRUE，否则返回FALSE。 (5) Root(bt)： 求二叉树bt的根结点。若bt为空二叉树， 则函数返回“空”。 ,(6) Parent（bt， x）：求双亲函数。求二叉树bt中结点x的双亲结点。若结点x是二叉树的根结点或二叉树bt中无结点x， 则返回“空”。 (7) LeftChild（bt， x）：求左孩子。 若结点x为叶子结点或x不在bt中， 则返回“空”。 (8) RightChild（bt， x）：求右孩子。

8、若结点x为叶子结点或x不在bt中， 则返回“空”。 (9) Traverse（bt）: 遍历操作。按某个次序依次访问二叉树中每个结点一次且仅一次。 (10) Clear（bt）： 清除操作。 将二叉树bt置为空树。,二叉树的性质,性质1: 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i1)。 证明： 用数学归纳法。 归纳基础：当i=1时，整个二叉树只有一根结点，此时2i-1=20=1，结论成立。 归纳假设：假设i=k时结论成立，即第k层上结点总数最多为2k-1个。 现证明当i=k+1时， 结论成立： 因为二叉树中每个结点的度最大为2，则第k+1层的结点总数最多为第k层上结点最大数的2倍，即22k-

9、1=2(k+1)-1，故结论成立。,性质2: 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k1）。 证明：因为深度为k的二叉树，其结点总数的最大值是将二叉树每层上结点的最大值相加，所以深度为k的二叉树的结点总数至多为,故结论成立。,性质3: 对任意一棵二叉树T，若终端结点数为n0，而其度数为2的结点数为n2，则n0=n2+1。 证明：设二叉树中结点总数为n， n1为二叉树中度为1的结点总数。 因为二叉树中所有结点的度小于等于2，所以有n=n0+n1+n2 设二叉树中分支数目为B， 因为除根结点外， 每个结点均对应一个进入它的分支，所以有n=B+1,又因为二叉树中的分支都是由度为1和度为2的结点发出，

10、 所以分支数目为B=n1+2n2 整理上述两式可得到 n=B+1=n1+2n2+1 将n=n0+n1+n2代入上式，得出n0+n1+n2=n1+2n2+1，整理后得n0=n2+1，故结论成立。,满二叉树：,深度为k且有2k-1个结点的二叉树。在满二叉树中，每层结点都是满的，即每层结点都具有最大结点数。 图6.3(a)所示的二叉树，即为一棵满二叉树。 满二叉树的顺序表示，即从二叉树的根开始， 层间从上到下， 层内从左到右，逐层进行编号（1， 2， ， n）。例如图6.3(a)所示的满二叉树的顺序表示为(1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14，

11、15)。,完全二叉树： 深度为k，结点数为n的二叉树，如果其结点1n的位置序号分别与满二叉树的结点1n的位置序号一一对应，则为完全二叉树， 如图6.3(b)所示。 满二叉树必为完全二叉树， 而完全二叉树不一定是满二叉树。,图6.3 满二叉树与完全二叉树,性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n+1。 证明：假设n个结点的完全二叉树的深度为k，根据性质2可知，k-1层满二叉树的结点总数为n1=2k-1-1 k层满二叉树的结点总数为n2=2k-1 显然有n1nn2，进一步可以推出n1+1nn2+1。 将n1=2k-1-1和n2=2k-1代入上式，可得2k-1n2k，即k-1log2n1，

12、 则序号为i的结点的双亲结点序号为i/2。 （2） 如2in，则序号为i的结点无左孩子；如2in，则序号为i的结点的左孩子结点的序号为2i。 （3） 如2i1n，则序号为i的结点无右孩子；如2i1n， 则序号为i的结点的右孩子结点的序号为2i1。,可以用归纳法证明其中的（2）和（3）： 当i=1时，由完全二叉树的定义知，如果2i=2n，说明二叉树中存在两个或两个以上的结点，所以其左孩子存在且序号为2； 反之，如果2n，说明二叉树中不存在序号为2的结点，其左孩子不存在。同理，如果2i+1=3n， 说明其右孩子存在且序号为3；如果3n，则二叉树中不存在序号为3的结点， 其右孩子不存在。 假设对于序

13、号为j(1ji)的结点，当2jn时，其左孩子存在且序号为2j，当2jn 时，其左孩子不存在；当2j+1n时， 其右孩子存在且序号为2j+1，当2j+1n时，其右孩子不存在。,当i=j+1时，根据完全二叉树的定义， 若其左孩子存在， 则其左孩子结点的序号一定等于序号为j的结点的右孩子的序号加1， 即其左孩子结点的序号等于 （2j+1）+1=2（j+1）=2i， 且有2in；如果2in， 则左孩子不存在。 若右孩子结点存在，则其右孩子结点的序号应等于其左孩子结点的序号加1，即右孩子结点的序号为2i+1，且有2i+1n；如果2i+1n，则右孩子不存在。 故（2）和（3）得证。,由（2）和（3）我们可

14、以很容易证明（1）。 当i=1时， 显然该结点为根结点，无双亲结点。当i1时，设序号为i的结点的双亲结点的序号为m，如果序号为i的结点是其双亲结点的左孩子，根据（2）有i=2m，即m=i/2; 如果序号为i的结点是其双亲结点的右孩子，根据（3）有i=2m+1， 即m=（i-1）/2=i/2-1/2，综合这两种情况，可以得到，当i1时， 其双亲结点的序号等于i/2。证毕。,二叉树的存储结构,二叉树的结构是非线性的， 每一结点最多可有两个后继。 二叉树的存储结构有两种： 顺序存储结构和链式存储结构。,1. 顺序存储结构,图6.4 二叉树与顺序存储结构,图6.5 单支二叉树与其顺序存储结构,2. 链

15、式存储结构 对于任意的二叉树来说，每个结点只有两个孩子，一个双亲结点。我们可以设计每个结点至少包括三个域：数据域、 左孩子域和右孩子：,其中，LChild域指向该结点的左孩子，Data域记录该结点的信息，RChild域指向该结点的右孩子。,用C语言可以这样声明二叉树的二叉链表结点的结构：,typedef struct NodeDataType data; struct Node *LChild; struct Node *RChild; BiTNode, *BiTree;,有时，为了便于找到父结点，可以增加一个Parent域， Parent域指向该结点的父结点。 该结点结构如下：,图6.6 二

16、叉树和二叉链表,若一个二叉树含有n个结点，则它的二叉链表中必含有2n个指针域， 其中必有n1个空的链域。此结论证明如下： 证明：分支数目B=n-1，即非空的链域有n-1个，故空链域有2n-(n-1)=n+1个。 不同的存储结构实现二叉树的操作也不同。如要找某个结点的父结点，在三叉链表中很容易实现；在二叉链表中则需从根指针出发一一查找。可见，在具体应用中，需要根据二叉树的形态和需要进行的操作来决定二叉树的存储结构。,二叉树的遍历,图6.7 二叉树结点的基本结构,我们用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、 遍历右子树， 那么对二叉树的遍历顺序就可以有六种方式： (1) 访问根，遍历左子树，遍

17、历右子树（记做DLR）。 (2) 访问根，遍历右子树，遍历左子树（记做DRL）。 (3) 遍历左子树，访问根，遍历右子树（记做LDR）。 (4) 遍历左子树，遍历右子树，访问根（记做LRD）。 (5) 遍历右子树，访问根，遍历左子树（记做RDL）。 (6) 遍历右子树，遍历左子树，访问根（记做RLD）。,注意：先序、中序、后序遍历是递归定义的， 即在其子树中亦按上述规律进行遍历。 下面就分别介绍三种遍历方法的递归定义。 先序遍历（DLR）操作过程： 若二叉树为空，则空操作，否则依次执行如下3个操作： (1) 访问根结点； (2) 按先序遍历左子树； (3) 按先序遍历右子树。, 中序遍历（LD

18、R）操作过程： 若二叉树为空，则空操作，否则依次执行如下3个操作： (1) 按中序遍历左子树； (2) 访问根结点； (3) 按中序遍历右子树。 后序遍历（LRD）操作过程： 若二叉树为空，则空操作，否则依次执行如下3个操作： (1) 按后序遍历左子树； (2) 按后序遍历右子树； (3) 访问根结点。,先序遍历： A、 B、 D、 F、 G、 C、 E、 H 。 中序遍历： B、 F、 D、 G、 A、 C、 E、 H 。 后序遍历： F、 G、 D、 B、 H、 E、 C、 A 。,图6.8 二叉树,中序遍历二叉树的递归过程,最早提出遍历问题是对存储在计算机中的表达式求值。例如：（a+b*c）-d/e。该表达式用二叉树表示如图6.9所示。当我们对此二叉树进行先序、中序、后序遍历时，便可获得表达式的前缀、 中缀、 后缀书写形式： 前缀： -+a*bc/de 中缀： a+b*c-d/e 后缀： abc*+de/- 其中中缀形式是算术表达式的通常形式，只是没有括号。 前缀表达式称为波兰表达式。算术表达式的后缀表达式被称作逆波兰表达式。 在计算机内， 使用后缀表达式易于求值。,图6.9 算术式的二叉树表示,