1、第 9 课时 等比数列的前 n 项和(1)教学过程一、 问题情境国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求, 发明者说 :“请在棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒 ,在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒,在第 3 个格子里放上 4 颗麦粒,在第 4 个格子里放上 8 颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍, 直到第 64 个格子 ,请给我足够的粮食来实现上述要求.”二、 数学建构(一) 生成概念问题 1 请你说说国王一共需要给这个发明者多少颗麦粒.(国王一共需要给这个发明者 1+2+22+263 颗麦粒, 引导学生说出:这是一个首项为 1,公比为 2 的等
2、比数列的前 64 项之和)问题 2 国王能满足他的要求吗 ?怎样来求这个和呢?(引导学生回忆等差数列求和公式的推导)问题 3 我们能用倒序相加法来求这个等比数列的 64 项之和吗?用倒序相加法求等差数列前 n 项和的时候最主要体现了什么样的特征?(引导学生理解将 Sn 与 Sn 的倒序和两式相加 ,这样的 2Sn 就是一个有 n 项的且每一项都是 a1+an 的常数列 ,从而导出了 Sn 的公式)问题 4 那么等比数列前 n 项和公式的推导能不能用倒序相加法呢?如果不能,那么是不是可以构造出一个常数列或者部分常数列呢?(仿照等差数列前 n 项和公式的推导构造常数列,引导学生每一项乘以公比以后会
3、与后一项相同)通过讨论,给出等比数列前 n 项和公式的推导过程以及前 n 项和公式.方法一:设等比数列 的首项为 a1,公比为 q,则它的前 n 项和 Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1, 式两边同乘以 q,得 qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn ,-得(1-q) Sn=a1-a1qn,所以当q1 时,S n= .显然,当 q=1 时 ,Sn=na1.(二) 理解概念1. 推导过程中的“错位相减法”是等比数列求和的一种常用方法.2. 根据 a1qn=anq,又可得到 Sn= (q1).3. 公比 q 是否为 1 一般需要进行讨论 .(三) 巩固概念问题 5 请你说说国王需要给
4、出的麦粒数 .国王需要给出 1+2+22+263= =264-1 颗麦粒问题 6 请你说说等差数列求和公式的推导与等比数列求和公式的推导的相同之处.(两种数列求和公式推导的基本思路都是构造常数列,构造常数列的思想也是其他一些数列求和的基本思想,主要是通过消除数列中一些项与项的差异来解决问题)问题 7 除了用错位相减法来推导等比数列的求和公式 ,你还能找到其他方法吗?下面我们给出等比数列前 n 项和公式的其他推导方法:方法二:由等比数列的定义得 = = =q,根据等比定理得 = =q,解得( 1-q)Sn=a1-anq,所以当 q1 时,S n= = .显然,当 q=1 时,S n=na1.方法
5、二围绕基本概念,从等比数列的定义出发 ,运用等比定理 ,导出了公式.方法三:S n=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+a3+an-1)=a1+qSn-1=a1+q(Sn-an),所以(1-q) Sn=a1-anq,所以当 q1 时, Sn= = .显然,当 q=1 时, Sn=na1.方法三运用了方程思想,“方程”在代数课程里占有重要的地位 ,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用方程思想 ,可以在已知量和未知量之间搭起桥梁 ,从而使问题得到解决.三、 数学运用【例 1】 已知等比数列 中,a 1=1,a6=32,求该等比数列从第 5 项到第 10 项的和. 3(见学生用书课堂
6、本 P33)处理建议 让学生应用公式进行计算,达到熟悉公式,进而熟练使用公式的目的.规范板书 解 由 a6=a1q5=1q5=32,解得 q=2,则 S4= =15,S10= =1023.所以从第 5 项到第 10 项的和为 S10-S4=1008.题后反思 在等比数列的通项公式与前 n 项和公式中,含有 a1, q, n, an, Sn 五个量,只要已知其中的三个量,就可以求出余下的两个量.变式 已知 为等比数列,a 1a3=36, a2+a4=60, Sn400,求 n 的范围.处理建议 让学生应用公式进行计算,其过程体现方程的思想.规范板书 解 由题意得 a1a3= =36, a2(1+
7、q2)=60,所以 a20,所以 a2=6, 1+q2=10,所以q=3.当 q=3 时,a 1=2, Sn= 400,即 3n401,解得 n6,且 nN*;当 q=-3 时,a 1=-2, Sn= 400,即( -3)n801,解得 n8,且 n 为偶数.综上所述,所以 n8,且 n 为偶数.【例 2】 (教材 P56 例 2)在等比数列 中,S 3=, S6= ,求 an.4(见学生用书课堂本 P34)处理建议 让学生应用公式进行计算,其过程体现方程的思想.规范板书 解法一 若 q=1,则 S6=2S3,这与已知 S3=, S6= 是矛盾的,所以 q1.从而将两式两边分别相除,得 1+q
8、3=9,所以 q=2.由此可得 a1=,所以 an=2n-1=2n-2.题后反思 利用等比数列的首项和公比(一般称为基本量),通过解方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式.解法二 S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=S3+q3S3,即 S6=(1+q3)S3,得 1+q3=9,所以 q=2.由此可得 a1=,所以 an=2n-1=2n-2.题后反思 等比数列中应用整体的思想,可以回避等比数列内部基本量的计算,是解决问题的常见手段. 思考一 :根据解法二 ,那么在这个等比数列中,S 3, S6, S9 是什么关系?(引导学生模仿解法二过程进行思考,进而得出:S 3, S6-S3, S
9、9-S6 构成等比数列) 思考二 :在等比数列 中,S n, S2n-Sn, S3n-S2n,还是等比数列吗?(不一定.当 q=-1, n为偶数时,S n=0, Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, 不能构成等比数列)变式 已知 为等比数列,且 Sn=a,S2n=b(ab0),求 S3n.处理建议 含参数字母的等比数列求和问题,学生常常忽略 q=1 的情况,这要引起足够的重视,进而培养学生思维的严密性.规范板书 解法一 设等比数列 的公比为 q.若 q=1(此时数列为常数列),则 Sn=na1=a, S2n=2na1=b,则 2a=b,所以 S3n=3na1=3a;若 q1(即 2ab),
10、则 Sn= =a , S2n= =b , 又 ab0, 得 1+qn=, qn=-1 ,将 式代入式得 = ,所以 S3n= = 1- = .解法二 由题可得 Sn, S2n-Sn, S3n-S2n 成等比数列,即 a, b-a, S3n-b 成等比数列, 所以 a(S3n-b)=(b-a)2,所以 S3n= (包含了 q=1 的情况) .*【例 3】 一个有穷等比数列的首项为 1,项数为偶数, 如果其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170,求此数列的公比和项数. 5处理建议 引导学生尝试利用基本量或联系项与项的关系解决问题.规范板书 解法一 设此数列的公比为 q, (显然 q1),项数为
11、2n,奇数项之和为 S 奇 ,偶数项之和为 S 偶 ,则 S 奇 = =85, S 偶 = =170, = =q=2,所以 =85, 22n=256, 2n=8.所以 q=2,项数为 8.解法二 设此数列的公比为 q(显然 q1),项数为 2n,奇数项之和为 S 奇 ,偶数项之和为 S 偶 ,显然 S 偶 =a2+a4+a2n=a1q+a3q+a2n-1q=qS 奇 ,所以 q=2,易得项数为 8.题后反思 在等比数列中,抽取的奇数项或偶数项仍构成等比数列. 推广:在等比数列中,抽取下标为等差数列的项构成的数列均为等比数列.四、 课堂练习1. 求等比数列-4 , -2, -1, -, 的前 1
12、0 项和.解 S10= =- .2. 已知数列 的通项公式为 an=22n-1,则该数列的前 5 项和 S5=682.提示 由题意知 为等比数列,且 a1=2,q=4,所以 S5= =682.3. 求和:提示 4. 已知等比数列 中,a 3=-12, S3=-9,则 a1=-3,公比 q=-2.提示 由题意得 解得五、 课堂小结1. 等比数列前 n 项和公式在推导过程中采用了错位相减法.2. 在等比数列的通项公式与前 n 项和公式中, 含有 a1, q, n, an, Sn 五个量,可以知三求二.3. 利用等比数列的首项和公比(一般称为基本量),通过列方程或方程组进行计算是等比数列的基本运算方式.4. 在处理等比数列问题的过程中,注意运用整体思想及性质解题.
