1、单元质量评估(三)第三讲（120 分钟 150 分）一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设 xy0,则 的最小值为 ( )A.-9 B.9 C.10 D.02.设 a,b,c,dR,m= + ,n= ,则 m 与 n 的大小关系是 ( )A.mn C.mn D.mn3.(2013天津高二检测)已知 + =1(ab0),设 A=a2+b2,B=(x+y)2,则 A,B 间的大小关系为( )A.AB C.AB D.AB4.学校要开运动会,需要买价格不同的奖品 40 件、50 件、20 件,现在选择商店中单价为 5
2、元、3 元、2 元的奖品,则至少要花 ( )A.300 元 B.360 元 C.320 元 D.340 元5.若 x+2y+4z=1,则 x2+y2+z2的最小值是 ( )A.21 B. C.16 D.6.已知 a,b,c 为正数,则 有( )A.最大值 9 B.最小值 9C.最大值 3 D.最小值 37.在锐角ABC 中,aQ B.P=QC.PB B.A0,y0,且 2x+y=6,则 + 的最小值为 .14.(2013吉林高二检测)已知点 P 是边长为 2 的等边三角形内一点,它到三边的距离分别为 x,y,z,则 x,y,z 所满足的关系式为 ,x 2+y2+z2的最小值是 .15.设实数
3、a1,a2,a3满足条件 a1+a2+a3=2,则 a1a2+a2a3+a3a1的最大值为 .16.三角形三边 a,b,c 对应的高为 ha,hb,hc,r 为三角形内切圆半径,若 ha+hb+hc的值为 9r,则此三角形为 三角形.三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)已知 a0,b0,且 a+b=1.求证: + 2 .18.(12 分)(2013成都高二检测)设 a,b,c(0,+),利用排序不等式证明:a2ab2bc2ca b+cbc+aca+b.19.(12 分)设 x2+2y2=1,求 u(x,y)=x+2y 的
4、最值.20.(12 分)求函数 y= 的最大值及最小值.21.(12 分)(能力挑战题)设 a,b,cR +,且满足 abc=1,试证明: + .22.(12 分)(能力挑战题)设 a1,a2,an是 1,2,n 的一个排列,求证: + + + + .答案解析1.【解析】选 B. =9.2.【解析】选 D.根据二维形式的三角不等式可知:m= + =n.3.【解析】选 D.A=a2+b2=1(a2+b2)= (a2+b2) =(x+y)2=B.即 AB.当且仅当 = 时取等号.4.【解析】选 C.由排序原理知,逆序和最小.所以至少要花 502+403+205=320(元).5.【解析】选 B.因
5、为 1=x+2y+4z ,所以 x2+y2+z2 ,当 x= = ,即 x= ,y= ,z= 时,x2+y2+z2的最小值为 .6.【解析】选 B.= =9.当且仅当 = = ,即 a=b=c时取最小值 9.7.【解析】选 C.因为 acosBcosC,所以 acosC+bcosB+ccosAacosB+bcosC+ccosA 且 acosC+bcosB+ccosAacosC+bcosA+ccosB, 两式两边相加得2(acosC+bcosB+ccosA)(acosB+bcosA)+(acosC+ccosA)+(bcosC+ccosB)=c+b+a,所以 acosC+bcosB+ccosA ,
6、即 QP.8.【解析】选 C.不论 x1,x2,xn的大小顺序如何变化,其中 A= + + 一定是顺序和,所以 AB.9.【解析】选 A.取两组数:a,b,c 与 a2,b2,c2,显然 a3+b3+c3是顺序和,a2b+b2c+c2a,ac2+b3+ca2,a3+bc2+cb2是乱序和,所以 A最大.10.【解析】选 B.函数的定义域为5,6,且 y0.y=3 +4 =5.当且仅当 = ,即 x= 时取等号.所以 ymax=5.11.【解析】选 B.1=a+b+4c=( )2+( )2+(2 )2= ( )2+( )2+(2 )2(12+12+12)( + +2 )2 ,( + +2 )23
7、,即所求最大值为 .【变式备选】(2013扬州高二检测)已知 x,y,z均为正数,A= ,B= ,则 A与 B的大小关系为 .【解析】由柯西不等式得(1 2+12+12) ,则 + + ,即 .故 AB.答案:AB12.【解题指南】分析待求式子的特点,结合已知条件构造两组数利用柯西不等式解.【解析】选 B.因为( +18+ +16)(3 +2 +5 + )( x1+3 x2+ x3+4x4)2=(5x1+6x2-7x3+4x4)2=1,所以 3 +2 +5 + .13.【解析】 + = (2x+y)= ( )2+( )2 = ( +1)2= ,当且仅当 = ,即 x=6-3 ,y=6 -6时取
8、等号.答案: (3+2 )14.【解析】利用三角形面积相等,得2 (x+y+z)= (2 )2,即 x+y+z=3.由(1+1+1)(x 2+y2+z2)(x+y+z) 2=9,得 x2+y2+z23,当且仅当 x=y=z=1时取等号.答案:x+y+z=3 315.【解析】由柯西不等式,得( + + )(12+12+12)(a 1+a2+a3)2=4,于是 + .故 a1a2+a2a3+a3a1= (a1+a2+a3)2-( + + )= 22- ( + + )2- = .当且仅当 a1=a2=a3= 时取等号.答案:16.【解析】记三角形的面积为 S,则 2S=aha=bhb=chc,又因为
9、 2S=r(a+b+c),所以 ha+hb+hc=2S=r(a+b+c) ,由柯西不等式,得(a+b+c) + += =9,当且仅当 a=b=c时取等号.由题知 ha+hb+hc=9r,所以 a=b=c=2 r.故此三角形为等边三角形.答案:等边17.【证明】由柯西不等式得:( 1+ 1)2(2a+1+2b+1)(1+1)=8.所以 + 2 .18.【证明】设 abc0,则 lgalgblgc,所以 alga+blgb+clgcblga+clgb+algc,alga+blgb+clgcclga+algb+blgc.所以 2alga+2blgb+2clgc(b+c)lga+(a+c)lgb+(a
10、+b)lgc,所以 lg(a2ab2bc2c)lg(a b+cba+cca+b),故 a2ab2bc2ca b+cbc+aca+b.19.【解析】设 = ,= ,由柯西不等式得=|u(x,y)|=|1x+ y| = ,|A得 umax= ,umin=- .分别在 , 处取到.20.【解题指南】变形函数的形式,构造向量,利用柯西不等式的向量形式求解.【解析】由原函数式得 2sinx+(3-y)cosx=4-2y,设 a=(2,3-y),b=(sinx,cosx),由|ab| a|b|得 |4-2y| y3,故最大值及最小值分别为 3与 .21.【证明】因为 abc=1,则所求证的不等式变为+ + .又(ab+bc+ca) 2= (ac+bc)+(ab+ac)+(ba+bc),所以 + + (ac+bc+ab) 3 = 当且仅当 a=b=c=1时等号成立.原不等式得证.22.【证明】设 b1,b2,bn-1是 a1,a2,an-1的一个排列,且 b1 且 b11,b 22,b n-1n-1,c12,c 23,c n-1n,利用排序不等式有: + + + + + + .关闭 Word文档返回原板块。
