1、第 1 章 导数及其应用 第 1 课时 平均变化率教学过程一、 问题情境现有某市某年 3 月和 4 月某天日最高气温记载如下: 时 间 3 月 18 日 4 月 18 日 4 月 20 日日最高气温 3.5 18.6 33.4“气温陡增”这一句生活用语,用数学方法如何刻画? 二、 数学建构问题 1 “气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么?(形与数两方面) 1问题 2 如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度? 2解 通过讨论,给出函数 f(x)在区间 x1,x2上的平均变化率: .概念理解1. 具体计算函数 f(x)在区间 x1,x2上的平均变化率可用= = ,应注意分子、分母的匹配 .2
2、. 函数 f(x)在区间 x1,x2上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势 ,从定义看, f(x)在区间上的平均变化率就是直线 AB 的斜率 .巩固概念问题 3 回到问题情境中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构 .解 从数的角度:3 月 18 日到 4 月 18 日的日平均变化率约为 0.5;4 月 18 日到 4 月 20 日的日平均变化率为7.4.从形的角度:比较斜率的大小 .3三、 数学运用【例 1】 设函数 f(x)=x2-1,当自变量 x 由 1 变到 1.1 时,求:(1) 自变量的增量 x;(2) 函数的增量 y;(3) 函数的平均变化率 .处理建议 根据定义来
3、求解 .规范板书 解 (1) x=1.1-1=0.1. (2) y=1.12-1-(12-1)=0.21. (3) = =2.1.题后反思 求平均变化率时关键在于理解定义,知道 x 与 y 分别指的是什么 .【例 2】 (教材第 7 页例 4)已知函数 f(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间 -3,-1,0,5上 f(x)及 g(x)的平均变化率 .(见学生用书 P2)处理建议 可回顾“必修 2”中关于直线斜率的内容,让学生体会 的含义 .规范板书 解 函数 f(x)在 -3,-1上的平均变化率为 =2,函数 f(x)在0,5上的平均变化率为 =2,函数 g(x)在 -3,-1上
4、的平均变化率为 =-2,函数 g(x)在0,5上的平均变化率为 =-2.题后反思 一次函数 y=kx+b 在区间 m,n上的平均变化率就等于 k . 变式 若质点运动规律为 S=5t+3,则在时间3,3 + t中,相应的平均速度等于 5 . 【例 3】 如图所示,路灯距地面 8m,一身高 1.6m 的人沿穿过灯下的直路以 84m/min 的速度行走,求人影长度的变化速率 .(结果以 m/s 为单位)(例 3)处理建议 首先理解题意,其次分析影子长度在图中变化的关系 .规范板书 解 84m/min=1.4m/s.设人的影长为 y,时间为 x,根据相似三角形列式 = ,得 y= x,人影长度变化速
5、率为 v= = = .题后反思 几何类应用题需观察图形,数形结合地考虑问题 .*【例 4】 已知函数 f(x)=2x2+1,分别计算函数 f(x)在区间1,4, 1,2,1,1.5上的平均变化率 .处理建议 引导学生利用平均变化率的概念解题 .规范板书 解 在1,4上的平均变化率为 =10,在1,2上的平均变化率为 =6,在1,1 .5上的平均变化率为 =5.变式 已知函数 f(x)=,计算函数 f(x)在区间1,2上的平均变化率 .规范板书 解 在1,2上的平均变化率为 =-.*【例 5】 求函数 y=x3 在 x0 到 x0+ x 之间的平均变化率 .处理建议 本题与前面几个例题的区别在于
6、:由字母代替具体区间,但是处理问题仍然只需抓住本质,利用平均变化率的概念解题 .规范板书 解 当自变量从 x0 到 x0+ x 时,函数的平均变化率为=3 +3x0 x+ x2.变式 求函数 f(x)= 在区间 内的平均变化率 .规范板书 解 = = = .四、 课堂练习1. 黄金周期间,若本市某大型商场的日营业额从 1500 万元增加到 4300 万元,则该商场黄金周期间日营业额的平均变化率是 400 . 提示 利用平均变化率的概念 .2. 函数 f(x)=5x+4 在区间0,1上的平均变化率是 5 . 提示 一次函数在区间上的平均变化率即为斜率 .3. 若函数 f(x)=x2-1 在区间1
7、, m上的平均变化率为 3,则 m 的值为 2 . 提示 由 =3,得 m=2.4. 已知正方形原来的边长为 4m,现在边长以 2 m/s 的速度增加,若设正方形的面积为 S(单位:m 2),时间为 t(单位:s),则由时间 t(s)到 t+1(s)时正方形的面积增加了 (20+8t)m2 . 提示 S=(4+2t)2,则 S=(6+2t)2-(4+2t)2=20+8t (m2).五、 课堂小结1. 函数 f(x)在区间 x1,x2上的平均变化率为 .2. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗略的刻画 .第 2 课时 曲线上一点处的切线教学过程一、 问题情境平均变化率近似地刻画了曲线
8、在某个区间上的变化趋势,提出问题:如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点 P 附近的曲线的研究)提出 “放大图形”的朴素方法 .3展示下图:(图 1)(图 2)二、 数学建构问题 1 观察“点 P 附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象?解 曲线在点 P 附近看上去几乎成了直线;继续放大,曲线在点 P 附近将逼近一条确定的直线 l,这条直线是过点 P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线 .问题 2 “几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置么?又为什么说是“几乎”呢?(图 3)解 点 P 附近可以用这条直线 l 代替曲线,用直线 l 的斜率来刻画曲线经过 P 点时的变化趋
9、势 .问题 3 怎样找到经过曲线上一点 P 处最逼近曲线的直线 l 呢?以右图为例 .解 随着点 Q 沿曲线向点 P 运动,直线 PQ 在点 P 附近越来越逼近曲线 .4概念生成动画演示,观察点 Q 的运动,直线 PQ 的运动,直线 PQ 斜率的变化,从而生成概念 .(图 4) (图 5)Q 为曲线上不同于点 P 的一点,这时,直线 PQ 称为曲线的割线;当点 Q 无限逼近点 P 时,直线 PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l,这条直线 l 就称为曲线在点 P 处的切线 .5问题 4 对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么? 我们
10、又用怎样的数学模型来刻画曲线上 P 点处的变化趋势呢?由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即成切线斜率 .当 x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于点 P(x,f(x)处切线的斜率 .6三、 数学运用【例 1】 用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点 P 处的切线 .(见学生用书 P3)(例 1(1) (例 1(2)(1) 初中平面几何中圆的切线的定义是什么?(2) 图(1)中和图(2)中切线与曲线公共点的个数分别是多少?公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论?你能否用函数曲线的切线举出反例?处理建议 让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想 .规范板书 解 (1)
11、 与圆只有 1 个公共点的直线称为圆的切线 .(2) 图(1)中 1 个;图(2)中 2 个;不适用 .题后反思 强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的切线只是曲线上一点处切线的特殊情况 .7变式 曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与曲线有几个交点?规范板书 解 2 个 .【例 2】 (教材第 9 页例 1)已知 f(x)=x2,求曲线 y=f(x)在 x=2 处的切线斜率 .(见学生用书 P4)处理建议 为求得在点(2,4)处的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手 .规范板书 解 设 P(2,4),Q(2+ x,(2+ x)2),则割线 PQ 的斜率为 kP
12、Q= =4+ x,当 x 无限趋近于 0时, kPQ 无限趋近于常数 4,从而曲线 y=f(x)在点 P(2,4)处的切线斜率为 4.题后反思 本题教学手法可以多样化,比如作出图象加强直观,还可取 x0 进行比较 .如有条件,可利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程,使数形结合更加紧密 .变式 已知 f(x)=x-1,求曲线 y=f(x)在 x=-1 处的切线斜率 .规范板书 解 设 P(-1,-1),Q -1+ x, ,则割线 PQ 的斜率为 kPQ= = ,当 x 无限趋近于0 时, kPQ 无限趋近于常数 -1,从而曲线 y=f(x)在点 P(-1,-1)处的切线斜率为 -1.【例
13、3】 已知曲线 y=在点(1,4)处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离等于 ,求直线 l 的方程 .(见学生用书 P4)处理建议 应用平行直线的斜率关系和距离公式 .规范板书 解 = =- .当 x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 -4,所以曲线在点(1,4) 处的切线的斜率为 -4,故切线方程为 y-4=-4(x-1),即 4x+y-8=0.设直线 l 的方程为 4x+y+c=0,由题有 = ,解得 c1=9,c2=-25,所以直线 l 的方程为 4x+y+9=0 或 4x+y-25=0.题后反思 进一步让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线 y=f(x)上一点 P(x0,
14、y0)处的切线的步骤:(1) 求差商 ;(2)当 x( x 可正,也可负)无限趋近于 0 时, 趋近于某个常数k;(3)曲线 y=f(x)上一点 P(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=k(x-x0). 变式 若直线 y=3x+1 是曲线 y=ax2 的切线,求 a 的值 .处理建议 本题需注意切点既满足曲线方程,又满足切线方程 .规范板书 解 设切点为( x,ax2), = =2ax+a x.当 x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 2ax,所以曲线在切点处的切线的斜率为 2ax.由 可求得 a=-.*【例 4】 试求过点 P(3,5)且与曲线 y=x2 相切的直线方程 .处理建议 本题应
15、设出切点( x0, ),求出相应的切线方程,再利用此方程过点 P(3,5),用待定系数法求出x0.规范板书 解 设所求切线的切点坐标为( x0, ), = =2x0+ x,当 x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 2x0,所以曲线在切点处的切线的斜率为 2x0,则所求切线方程可表示为 y- =2x0(x-x0),因为切线过点 P(3,5),所以 5- =2x0(3-x0),解得 x0=1 或 5,即所求的切线有两条,方程分别是 y=2x-1 和 y=10x-25.题后反思 本题会误以为点 P(3,5)是切点,导致过点 P(3,5)处的切线斜率为 6 的错误 .变式 求曲线 y=x3 的过点(
16、-1,-1)的切线方程 .规范板书 解 设所求切线的切点坐标为( x0, ), = =3 +3x0 x+ x2,当 x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 3 ,所以曲线在切点处的切线的斜率为 3 ,则所求切线方程可表示为 y- =3(x-x0),因为切线过点 (-1,-1),所以 -1- =-3 (x0+1),解得 x0=-1 或,即所求的切线有两条,方程分别是 y=3x+2 和y=x-. 题后反思 易误以为点( -1,-1)一定是切点,没有讨论点( -1,-1)是切点和不是切点两种情况 .四、 课堂练习1. 在下列曲线中,可以用割线逼近切线的方法作出过点 P 的切线的有 .(填序号) (第
17、1 题)2. 求曲线 y= 在点(1, )处的切线的斜率 .解 设 P(1, ),Q(1+ x, ),则割线 PQ 的斜率为 kPQ= = .当 x 无限趋近于 0 时, kPQ 无限趋近于常数 ,从而曲线 y=f(x)在点 (1, )处的切线斜率为 .3. 已知抛物线 y=ax2+bx-7 过点(1 ,1),过点( 1,1)的抛物线的切线方程为 y=4x-3,求 a,b 的值 .解 利用求切线斜率的方法可求出在(1,1) 的斜率为 2a+b,所以 可得 a=-4,b=12.五、 课堂小结 81. 知识层面:主要学习了曲线上一点处的切线 .2. 思想方法层面:利用“局部以直代曲”和“无限逼近”
18、的思想,用割线来逼近切线 .3. 总结我们经历过的“以直代曲”“无限逼近”的生活实例和数学实例 .9第 3 课时 瞬时速度与瞬时加速度教学过程一、 问题情境在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度,它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度,那么,如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢?先看实例 .跳水运动员从 10m 跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的 .假设 ts 后运动员相对于水面的高度为 H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定 t=2s 时运动员的速度 .1二、 数学建构问题 1 求出运动员在 2s 到 2.1s(即 t2,2 .1)的平均速度 .解 =
19、 =-13.59(m/s).问题 2:利用计算器,请分组算出更短的时间内的平均速度 .解 t2,2 .01, =-13.149;t2,2 .001, =-13.1049;t2,2 .0001, =-13.10049;t1 .9,2, =-12.61;t1 .99,2, =-13.051;t 1.999,2, =-13.0951.问题 3 观察所得的数据,你能发现当 t 无限逼近于 0 时,平均速度 无限逼近于什么? 2解 -13.1.概念生成一般地,如果当 t 无限趋近于 0 时,运动物体位移 S(t)的平均变化率 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在 t=t0 时的瞬时速度,也就是位移
20、对于时间的瞬时变化率 .问题 4 类比瞬时速度的概念,你能否概括出瞬时加速度的概念?解 一般地,如果当 t 无限趋近于 0 时,运动物体速度 v(t)的平均变化率 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在 t=t0 时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率 .3三、 数学运用【例 1】 (教材第 12 页例 2)已知一辆轿车在公路上作加速直线运动,假设 ts 时的速度为 v(t)=t2+3,求当t=t0 s 时轿车的瞬时加速度 a.(见学生用书 P5)处理建议 利用瞬时加速度的定义,先求平均加速度 .规范板书 解 在 t0 到 t0+ t 的时间内,轿车的平均加速度为= = =2t0+
21、 t,当 t0 时, 2 t0,即 a=2t0.所以,当 t=t0 s 时轿车的瞬时加速度为 2t0.变式 物体运动的速度 v 与时间 t 的关系是 v(t)=t2+4t,求 t=2 时物体的瞬时加速度 .解 在 2 到 2+ t 的时间内,轿车的平均加速度为 = = =8+ t,当 t0 时, 8,即 a=8.所以,当 t=2 时轿车的瞬时加速度为 8.【例 2】 一作直线运动的物体,其位移 S 与时间 t 的关系式是 S=3t-t2.(见学生用书 P6)(1) 求此物体的初速度;(2) 求此物体在 t=2 时的瞬时速度;(3) 求 t=0 到 t=2 的平均速度 .处理建议 初速度是 t=
22、0 时的瞬时速度,本题需先求出平均速度,然后利用瞬时速度的定义进行求解 .规范板书 解 在 t0 到 t0+ t 的时间内,轿车的平均速度为= = =(3-2t0)- t,当 t0 时, 3 -2t0.所以,当 t=t0 时轿车的瞬时速度为 3-2t0.(1) v(0)=3.(2) v(2)=-1.(3) = =-2.题后反思 本题应注意瞬时速度与平均速度的区别 .变式 一质点沿直线运动,运动方程为 S=10+8t-4t2,其中 t 单位为 s,S 单位是 m.(1) 计算 t,t+ t内的平均速度;(2) 求当 t=0,1,2,3 时刻的速度 .规范板书 解 (1) 在 t 到 t+ t 的
23、时间内,轿车的平均速度为 = = =8-8t-4 t.(2) 由(1)知,当 t0 时, 8 -8t,所以 ts 时轿车的瞬时速度为 8-8t (m/s).t=0s 时的速度为 8 m/s,t=1 s 时的速度为 0 m/s,t=2 s 时的速度为 -8 m/s,t=3 s 时的速度为 -16 m/s.【例 3】 某容器里装有 1 L 纯酒精,现以每秒 L 的速度往容器里注水,求酒精浓度在某时刻 t 的变化率 .(见学生用书 P6)处理建议 本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点,为导数的形式化定义作铺垫 .规范板书 解 酒精浓度随时间变化的表达式为 c(t)= = ,在 t 到 t+
24、t 的时间内,酒精的平均浓度为= = = ,当 t0 时, .所以,当 t s 时酒精的瞬时变化率为 .题后反思 通过本题的讲解,进一步让学生体会瞬时变化率的本质,更好地理解概念 .变式 设电量 Q 与时间 t 的函数关系为 Q=2t2+3t+1,其中 Q 的单位为 C,t 的单位为 s,求 t=3s 时的电流强度 .处理建议 赋予不同的实际背景,某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率 .规范板书 解 在 t 到 t+ t 的时间内,电量的平均变化率为 = = =2 t+4t+3.当 t0 时, 4 t+3.所以 3s 时的电流强度为 15A.*【例 4】 若一物体的运动方程是 S=5t+t2(
25、位移单位:m;时间单位:s),则下述结论中正确的是 .(填序号) 物体在时间段0,1内的平均速度是 m/s; 物体在 t=1s 时的瞬时速度是 8 m/s; 物体在时间段0,1内经过的位移是 8m; 物体在时间段0,1内经过的位移是 m.处理建议 本题需注意平均速度与瞬时速度是两个不同的概念 .变式 若作直线运动的物体的速度 v(单位:m/s) 与时间 t(单位:s) 的关系为 v(t)=t2,则在前 3 s 内的平均加速度是 3 m/s2,在 t=3 s 的瞬时加速度是 6 m/s2. 提示 前 3s 内的平均加速度是=3(m/s2).在 t 到 t+ t 的时间内,物体的平均加速度为= =
26、 =2t+ t,当 t0 时, 2 t.所以 3s 时的瞬时加速度为 6 m/s2.题后反思 易误以为前 3 s 内的平均加速度是 =(m/s2).四、 课堂练习1. 若一质点沿直线运动的方程为 y=-2x2+1(x 表示时间, y 表示位移),则该质点从 x=1 到 x=2 的平均速度为 -6 .提示 = =-6.2. 已知一物体的运动方程是 S=t3+2t(t(s)表示时间, S(m)表示位移),那么瞬时速度为 14 m/s 的时刻是 2s . 提示 在 t 到 t+ t 的时间内,物体的平均速度为= = =3t t+3t2+2.当 t0 时, 3 t2+2,所以,时刻 t s 的瞬时速度
27、为 3t2+2.由题意得 3t2+2=14,t=2 s.3. 若某物体的运动方程为 S=t4-3(t(s)表示时间, S(m)表示位移),则 t=5 s 时该物体的瞬时速度为 125 m/s. 提示 在 t 到 t+ t 的时间内,物体的平均速度为= = =t3+( t)3+t( t)2+t2 t,当 t0 时, t3.所以,时刻 t s 的瞬时速度为 t3,由题意,当 t=5s 时,瞬时速度为 125 m/s.五、 课堂小结1. 平均速度的定义 .2. 瞬时速度的定义 .3. 求瞬时速度和瞬时加速度的方法和过程 .4第 4 课时 瞬时变化率导数(1)教学过程一、 数学运用【例 1】 已知 f
28、(x)= ,求曲线 y=f(x)在 x=处的切线斜率 .(见学生用书 P8)处理建议 让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线 y=f(x)上一点 P(x0,y0)处的切线斜率的步骤:(1) 求差 f(x0+ x)-f(x0);(2) 当 x( x 可正,也可负)无限趋近于 0 时, 趋近于某个常数k;(3) 曲线 y=f(x)上一点 P(x0,y0)处的切线斜率为 k.规范板书 解 = =- .当 x 无限趋近于 0 时, 无限趋近于 - ,所以曲线在 x=处的切线斜率是 - .题后反思 本题应注意分子有理化,再用逼近思想处理 .变式 已知曲线 y=2x2 上一点 A(1,2),求点
29、 A 处的切线的斜率与切线方程 .规范板书 解 设 A(1,2),B(1+ x,2(1+ x)2),则割线 AB 的斜率为 kAB= =4+2 x,当 x 无限趋近于0 时, kAB 无限趋近于常数 4,从而曲线 y=f(x)在点 A(1,2)处的切线斜率为 4,所求切线方程为 4x-y-2=0.【例 2】 物体自由落体的运动方程为 S=S(t)=gt2,其中位移 S 的单位为 m,时间 t 的单位为 s,g=9.8 m/s2,求t=3 s 时的瞬时速度 .(见学生用书 P8)处理建议 瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率 .规范板书 解 取一小段时间3,3 + t,位移改变量 S=g(3+ t)
30、2-g32=(6+ t) t,平均速度= =g(6+ t),当 t0 时, g(6+ t)3 g=29.4,即瞬时速度 v=29.4 m/s.题后反思 若求 t=3s 时的瞬时加速度呢?变式 设一物体在 ts 内所经过的路程为 Sm,并且 S=4t2+2t-3,试求物体分别在运动开始及第 5s 末的速度 .规范板书 解 在 t 到 t+ t 的时间内,物体的平均速度为 = = =8t+2+4 t,当 t0 时,8 t+2,所以,时刻 ts 的瞬时速度为 8t+2,由题意,物体在第 5s 末的瞬时速度是 42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.【例 3】 如果曲线 y=x3+x-10 的某
31、一切线与直线 y=4x+3 平行,求切点坐标与切线方程 .(见学生用书 P8)处理建议 曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值 .规范板书 解 设切点坐标为( x,x3+x-10),= =3x2+1+3x x+( x)2,当 x0 时,3 x2+1+3x x+( x)23 x2+1,由题得,3 x2+1=4x=1 或 -1.所以切点坐标为(1, -8),此时切线方程为 4x-y-12=0;或切点坐标为( -1,-12),此时切线方程为 4x-y-8=0.变式 已知曲线 y=x2 上过某一点的切线分别满足下列条件,求此点:(1) 平行于直线 y=4x-5;(2) 垂直于直线 2x-6y+
32、5=0;(3) 与 x 轴成 135的倾斜角 .处理建议 利用导数的概念及两直线的位置关系来求解 .规范板书 解 设 P(x0,y0)是满足条件的点 .= =2x0+ x,当 x0 时,2 x0+ x2 x0.(1) 因为切线与直线 y=4x-5 平行,所以 2x0=4x0=2,y0=4,即 P(2,4).(2) 因为切线与直线 2x-6y+5=0 垂直,所以 2x0=-1x0=-,即 P .(3) 因为切线与 x 轴成 135的倾斜角,所以 k=-1,即 2x0=-1x0=-,即 P -, .*【例 4】 设函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点
33、(1,-11),求 a,b 的值 .处理建议 利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程来求解 .规范板书 解 利用导数的定义可得 f(x)=3x2-6ax+3b,由于函数 f(x)=x3-3ax2+3bx 的图象与直线 12x+y-1=0 相切于点(1, -11),所以 f(1)=-11,f(1)=-12,解得 a=1,b=-3.变式 已知 f(x)=ax4+bx2+c 的图象过点(0,1),且在 x=1 处的切线方程是 y=x-2,求 a,b,c.处理建议 利用导数的几何意义函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率来求解 .规范板书 解 由题意有 解得 .二、 课堂练习1. 借助直尺,用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点 P 处的切线:(第 1 题)解
