1、2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：1.平面向量数量积（内积）的定义： 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别3 “投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义： 5两个向量的数量积的性质：设 、 为两个非零向量，e 是与 同向的单位向量.abb1 e = e = 2 = ab设 、 为两个非零向量，e 是 与同向的单位向量.ae = e = a3 当 与 同向时， = 当 与 反向时， = 特别的bababab = | |2 或a|4 cos = 5 | | | | |
2、ba三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点 疑惑内容课内探究学案一、学习目标1 说出平面向量的数量积及其几何意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课1、提出问题 1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、提出问题 2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一
3、种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题 3：（1）如图所示，一物体在力 F 的作用下产生位移 S，那么力 F 所做的功：W= （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量， 是 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：SF已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 cos 叫做abab与 的数量积（或内积） ，记作： ，即： = cosab ab（2）定义说明：记法“ ”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 ab “规定”：零向量与任
4、何向量的数量积为零。（3）提出问题 4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？（4）学生讨论，并完成下表：的范围0 90=900 180 的符号ab例 1 ：已知 ， ，当 ， ， 与 的夹角babab是 60时，分别求 .a解： 变式：. 对于两个非零向量 、 ，求使| +t |最小时的 t 值，并求此时 与 +t 的夹角.ababa探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把 cos （ cos ）ba叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影，a记做：OB 1= cos2.提出问题 5：数量积的几何意义是什么？3. 研究数量积的物理意义请
5、同学们用一句话来概括功的数学本质：探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题 6：比较 与 的大小，你有什么结论？abb2、明晰：数量积的性质3.数量积的运算律（1） 、提出问题 7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？设 和 b都是非零向量，则a1、 =0b2、当 与 同向时， = ；当 与 反向时，abab = - ， 特别地， = 2或 =a a3、 bbAbcosB1BO（2） 、明晰：数量积的运算律：例 2、 （师生共同完成）已知 =6， =4, 与 的夹角为 60，求（ +2 ababab）（ -3 ） ，并思考此运算过程类似于实数哪种运算？ab解：变式：（1）
6、( + )2= 2+2 + 2 abb（2）( + )( - )= 2 2a（三）反思总结(四 )当 堂 检 测1 .已知| |=5， | |=4， 与 的夹角 =120o，求 .abaab2. 已知| |=6， | |=4， 与 的夹角为 60o 求( +2 )( -3 ).3 .已知| |=3， | |=4， 且 与 不共线，k 为何值时，向量 +k 与 -k 互相垂直. ababab已知向量 、 、 和实数 ，则：abc（1） = （2） （ ） =（ )= aaba（ ）（3） （ + ） = + bcc4.已知 ， ，当 ， ， 与 的夹角是 60时，分ababab别求 .b5.已知
7、| |=1，| |= ，(1) 若 ，求 ；(2)若 、 的夹角为，求a2abab| + |；(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角.b6.设 m、n 是两个单位向量，其夹角为 ，求向量 =2m+n 与 =2n-3m 的夹角.ab课后练习与提高1.已知| |=1，| |= ，且( - )与 垂直，则 与 的夹角是（ ）ab2ababA.60 B.30 C.135 D.2.已知| |=2，| |=1， 与 之间的夹角为 ，那么向量 m= -4 的模为（ ）3A.2 B.2 C.6 D.1233.已知 、 是非零向量，则| |=| |是( + )与( - )垂直的（ ）abababA.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知向量 、 的夹角为 ，| |=2，| |=1，则| + | - |= .ab3abab5.已知 + =2i-8j， - =-8i+16j，其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么 = .ab6.已知 、c 与 、 的夹角均为 60，且| |=1，| |=2，| c|=3，则( +2 -c)abab _.参考答案：1. D 2. B 3. A4. 5. 144 6. 1121高-考试题库
