1、几种不同增长的函数模型（两课时）一、教学目的1、利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；2、结合实例让学生体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义；3、运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并结合信息技术解决一些实际问题；4、以一些实际例子，让学生了解社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的广泛应用。二、教学重点、难点重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题。三
2、、教学过程第一课时1、复习引入师：在我们的生活中，有没有用到函数的例子？生：细胞分裂；银行储蓄；早晨跑步锻炼时速度与时间的关系；师：很好，生活中，数学无处不在，用好数学，将会给我们带来很大的方便。今天，我们就来看一个利用数学为我们服务的例子。2、新课（用幻灯片展示例题）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：1）每天回报 40 元；2）第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；3）第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问：你会选择哪一种投资方案？（让学生充分讨论）教师提示：1） 、考虑回报量，除了要考虑每天的回报量之外，还得考虑
3、什么？（回报的累积值） 。2） 、本题中涉及哪些数量关系？如何利用函数描述这些数量关系？教师引导学生分析其中的数量关系，思考应当选择怎样的函数模型来描述；由学生自己根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式，教师在数量关系的分析、函数模型的选择上作适当的指导。设问：根据所列的表格中提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？教师引导学生观察表格中三个方案的数量变化情况，对“增加量”进行比较，体会“直线增长” 、 “指数爆炸”等；让学生通过观察，说出自己的发现，并进行交流。利用计算机作出函数图象，引导学生根据三个方案的不同变化趋势，描述三个方案的特点，
4、为方案的选择提供依据。通过自主活动，使学生认识到怎样选择才是正确的。综合学生的分析意见，教师总结：选择最佳方案，除了要考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。由上面的分析可见：投资 8 天以下（不含 8 天） ，应选择第一种投资方案；投资 810 天，应选择第二种方案；投资 11 天（含 11 天）以上，则应选择第三种方案。设问：若有人给你这么一个建议：投资前 8 天用第一种方案，第 9 天到第 10 天用第二种方案，投资第 11 天开始用第三种方案。你觉得这建议如何？3） 、 （幻灯片展示例题 2）设问：本题中涉及了哪几类函数模型？实质是什么？教师引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖
5、励模型的选择影响，使学生明确问题的实质就是要比较三个函数的增长情况。让学生分组讨论：对每一个奖励模型的奖金总额是否超过 5 万元，以及奖励比例是否超过 25%进行分析，由各小组代表陈述讨论结果。教师根据学生讨论的结果作出总结，并利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较，写出完整的解题过程。3、小结：一般地，对指数函数、幂函数和对数函数，在（0，+）上，尽管指数函数 y=ax(a1)、对数函数 y=logax(a1)和幂函数 y=xa(a0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着 x 的增大，指数函数 y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函
6、数 y=xa(a0)，而对数函数y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个 x0，当 xx0 时，就有 logaxxaax。第二课时1、复习引入通过上节课的学习，我们已经知道，应用数学函数模型能为我们解决实际问题提供很大的帮助， 。我们不仅要应用好数学模型，我们更应该在面对实际问题时，能通过自己建立函数模型来解决问题。2、新课1、 （用幻灯片展示例题 3）教师引导学生读图，弄懂题意，由学生写出解题过程。课堂练习：P 128 第 1、3 题。小结：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，提高读图能力非常重要。分段函数也是刻画现实问题的一个重要的函数模型。2、
7、 （展示例题 4）教师引导学生根据收集到的数据，作出散点图，通过观察图象判定问题所适合的函数模型，利用计算机的数据拟合功能得出具体的函数解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数应用的一个基本过程。课堂练习：P 123 第 1 题。教师小结指出：用已知的函数模型来刻画实际问题时，由于实际问题的条件与得出已知函数模型的条件会有所不同，所以，必须对模型进行修正。3、 （用幻灯片展示例题 5）让学生集体讨论，寻求相应的函数模型，并作出解答。教师小结：所收集到的数据中，规律性很明显的问题，可直接找出与之对应的函数模型进行解答。4、 （用幻灯片展示例题 6）观察散点图，教师引导学生分析，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况，可考虑用 y=abx 这一函数模型来近似刻画这一地区未成年男性体重 y 与身高 x 的函数关系。课堂练习：P 133 B 组第 3 题。小结：应用函数模型解决实际问题的基本过程： 确定函数模型； 利用数据表格，函数图象讨论模型； 体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型增长的含义。作业：P 127 第 4、5 题高 考试题库
