2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题七 概率与统计（课件+教案+练习）（打包6套）理.zip

1第 1 讲 概率、随机变量及其分布列1.(2018·全国Ⅰ卷,理 3)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( A )(A)新农村建设后,种植收入减少(B)新农村建设后,其他收入增加了一倍以上(C)新农村建设后,养殖收入增加了一倍(D)新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析:因为 0.60.5,所以 p=0.6.故选 B.4.(2018·全国Ⅰ卷,理 10)2如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC,直角边 AB,AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( A )(A)p1=p2 (B)p1=p3(C)p2=p3 (D)p1=p2+p3解析:因为 S△ABC = AB·AC,12以 AB 为直径的半圆的面积为π· 2= AB2,12 𝐴𝐵2以 AC 为直径的半圆的面积为π· 2= AC2,12 𝐴𝐶2以 BC 为直径的半圆的面积为π· 2= BC2,12 𝐵𝐶2所以 SⅠ = AB·AC,SⅢ = BC2- AB·AC,12 12SⅡ = AB2+ AC2 - BC2- AB·AC12= AB·AC.12所以 SⅠ =SⅡ .由几何概型概率公式得 p1= ,p2= ,𝑆Ⅰ𝑆总所以 p1=p2.故选 A.1.考查角度(1)统计图表,抽样方法;(2)几何概型,古典概型(常与排列、组合结合考查),互斥、对立事件的概率及独立重复试验恰有 k 次发生的概率;(3)以实际问题为背景,多与统计结合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差等.2.题型及难易度选择题、解答题,难度中低档.(对应学生用书第 53~55 页)3抽样方法【例 1】 (1)(2018·长沙市名校实验班阶段性测试)一个总体由编号分别为01,02,…,29,30 的 30 个个体组成,利用下面的随机数表选取 6 个个体,选取方法是从随机数表的第 1 行第 4 列开始,由左到右依次读取,则选出来的第 6 个个体的编号为 . 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481(2)(2018·广州市测试)已知某区中小学学生人数如图所示.为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中需抽取 20 名学生,则小学与初中共需抽取的学生人数为 .解析:(1)从第 1 行第 4 列开始,满足要求的编号依次为 20,26,24,19,23,03,所以选出来的第 6 个个体的编号为 03.(2)设小学与初中共需抽取的学生人数为 x,依题意可得 = ,解1 2002 700+2 400+1 200得 x=85.答案:(1)03 (2)85(1)简单随机抽样适用于总体个体数较少,具体方法有抽签法、随机数表法;(2)系统抽样适用于总体的个体数较多,特点是等距抽样,即所抽到的数据是以抽样距为公差的等差数列.(3)分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成,特点是按比例,即抽样比= =样 本容量总 体个数.该层样 本数该层 个体数热点训练 1:(1)(2018·全国Ⅲ卷)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 . (2)(2018·南昌市摸底调研)某校高三(2)班现有 64 名学生,随机编号为 0,1,2,…,63,依编号顺序平均分成 8 组,组号依次为 1,2,3,…,8.现用系统抽样方法抽取一个容量为 8 的样本,若在第 1 组中随机抽取的号码为 5,则在第 6 组中抽取的号码为 . 解析:(1)因为客户数量大,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以最合适的抽样方法是分层抽样.(2)依题意,分组间隔为 =8,因为采用系统抽样方法,且在第 1 组中随机抽取的号码为 5,所以在第 6 组中抽取的号码为 5+5×8=45.4答案:(1)分层抽样 (2)45古典概型、几何概型考向 1 古典概型【例 2】 (2018·长沙市、南昌市联合模拟)春节期间,记者在天安门广场随机采访了 6 名外国游客,其中有 2 名游客会说汉语,从这 6 人中任意选取 2 人进行深度采访,则这 2 人中至少有 1 人会说汉语的概率为( )(A) (B) (C) (D)35 45解析:法一 设事件 A“这 2 人中至少有 1 人会说汉语”,则 P( )= = = ,𝐶24𝐶26 25所以 P(A)=1-P( )= .故选 C.35法二 设事件 A“这 2 人中至少有 1 人会说汉语”,则 P(A)= = = .故选 C.35考向 2 几何概型【例 3】 (2018·河北武邑一模)在区间[0,1]上随机取两个数 x 和 y,则 y≥ x- 的概率为12( )(A) (B) (C) (D)16 25 34 14解析:在区间[0,1]上随机选取两个数 x 和 y,对应的区间为边长为 1 的正方形,面积为 1,在此条件下满足 y≥ x- 的区域面积为 1-2× × × = .所以所求概率为 .故选 C.12 12 12 1234 34(1)求古典概型概率的一般步骤:①求出所有基本事件的个数 n,常用的方法有列举法、排列组合法等;②求出事件 A 所包含的基本事件的个数 m;③代入公式 P(A)= 求解.(2)求几何概型概率要寻找构成试验的全部结果所构成的区域和事件发生所构成的区域,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域.5热点训练 2:(1)(2018·济南市模拟)七巧板是一种古老的中国传统智力游戏,被誉为“东方魔板”.如图,这是一个用七巧板拼成的正方形,其中 1 号板与 2 号板为两个全等的等腰直角三角形,3 号板与 5 号板为两个全等的等腰直角三角形,7 号板为一个等腰直角三角形,4 号板为一个正方形,6 号板为一个平行四边形.现从这个大正方形内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )(A) (B) (C) (D)18 14 38(2)(2018·江苏卷)某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生,现从中任选 2 名学生去参加活动,则恰好选中 2 名女生的概率为 . 解析:(1)设大正方形的面积为 4S,则 5 号板与 7 号板的面积分别为 S, S,所以从这个大正14 12方形内任取一点,则此点取自阴影部分的概率是 = .故选 C.14𝑆+12𝑆4𝑆(2)设 2 名男生为 a,b,3 名女生为 A,B,C,从中选出 2 人的情况有(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共 10 种,而都是女生的情况有(A,B),(A,C),(B,C),共3 种,故所求概率为 .答案:(1)C (2)离散型随机变量的分布列、均值【例 4】 (2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查.①用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变量 X 的分布列与数学期望;②设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率.解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人.(2)①随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(X=k)= (k=0,1,2,3).所以随机变量 X 的分布列为6X 0 1 2 3P1235 1835随机变量 X 的数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = .1235 1835②设事件 B 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 1 人,睡眠不足的员工有 2 人”;事件 C 为“抽取的 3 人中,睡眠充足的员工有 2 人,睡眠不足的员工有 1 人”,则 A=B∪C,且 B 与 C 互斥,由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故 P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)= .67所以事件 A 发生的概率为 .67(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件,然后综合应用各类求概率的公式求出概率.(2)求随机变量的期望的关键是正确求出随机变量的分布列,若随机变量服从二项分布,则可直接使用公式求解.(3)对于两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差可直接代入相关公式求解;对于一般类型的随机事件的期望与方差需列出概率分布列,用期望、方差公式求解.热点训练 3:(2018·益阳市、湘潭市调研)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1 分,未出线记 0 分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为 , , ,他们出线与未出线是相互独3435立的.(1)求在这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率;(2)记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量 ξ,求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 Eξ.解:(1)记“甲出线”为事件 A,“乙出线”为事件 B,“丙出线”为事件 C,“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件 D,则 P(D)=1-P( )=1- × × = .13 14 252930(2)由题意可得,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,则 P(ξ=0)=P( )= × × = ;13 14 25P(ξ=1)=P(A )+P( B )+P( C)= × × + × × + × × = ;23 14 2513 34 2513 14 351360P(ξ=2)=P(A B )+P(A C)+P( B C)= × × + × × + × × = ;23 34 2523 14 3513 34 357P(ξ=3)=P(ABC)= × × = .23 34 35所以 ξ 的分布列为ξ 0 1 2 3P1360E(ξ)=0× +1× +2× +3× = .1360【例 1】 (2018·辽宁大连八中模拟)若从区间(0,e)(e 为自然对数的底数,e=2.718 28…)内随机选取两个数,则这两个数之积小于 e 的概率为( )(A) (B) (C)1- (D)1-2𝑒 1𝑒 2𝑒 1𝑒解析:由题意,设这两个数分别为 x,y.则 画出可行域如图所示.故概率为 = = .1·𝑒+∫𝑒 1𝑒𝑥𝑑𝑥𝑒2 2𝑒选 A.【例 2】 (2018·浙江卷)设 00),若 ξ 在(80,120)内的概率为 0.8,则任意选取一名学生,该生成绩不高于80 的概率为( )(A)0.05 (B)0.1 (C)0.15 (D)0.2解析:设该生成绩为 X,则 P(X≤80)=P(X≥120)= =0.1,选 B.1‒𝑃(800;当 p∈(0.1,1)时,f'(p)400,故应该对余下的产品作检验.12 分注:第(1)问得分说明①由独立重复试验恰有 k 次发生的概率公式求出 f(p),得 2 分;②对 f(p)正确求导,得 1 分;③求出 f(p)的导函数的零点,得 1 分;④正确讨论 f(p)的单调性,得 1 分;⑤求出 f(p)的最大值点 p0,得 1 分.第(2)问得分说明:①由(1)写出 p 的值,得 1 分;②设出余下的 180 件产品中不合格品的件数 Y,判断出 Y 服从二项分布,得 1 分;③求出 X,Y 的关系式,利用二项分布期望公式求出 EX,得 2 分;④求出检验余下所有产品的总费用,并与 EX 比较,得出结论,得 2 分.【答题启示】(1)解概率、随机变量及其分布列问题,关键是认真读题,确定求概率所使用公式.本题可能由于读不懂题意或公式使用错误而失分;(2)导数作为研究函数的常用工具,它与概率综合成为高考命题新趋势,本题在对 f(p)求导时,常因式子复杂而计算错误而失分.(3)期望与方差的性质若 Y=aX+b,其中 a,b 是常数,X 是随机变量,则①E(aX+b)=aE(X)+b.②D(aX+b)=a 2D(X).(4)若离散型随机变量 X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)=np(1-p).专题七 概率与统计第 1讲 概率、随机变量及其分布列高考导航热点突破备选例题阅卷评析高考导航 演真题 · 明备考真题体验1.(2018·全国 Ⅰ 卷 ,理 3)某地区经过一年的新农村建设 ,农村的经济收入增加了一倍 ,实现翻番 .为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况 ,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例 ,得到如下饼图 :则下面结论中不正确的是 ( )(A)新农村建设后 ,种植收入减少(B)新农村建设后 ,其他收入增加了一倍以上(C)新农村建设后 ,养殖收入增加了一倍(D)新农村建设后 ,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半AC3.(2018·全国 Ⅲ 卷 ,理 8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p,各成员的支付方式相互独立 ,设 X为该群体的 10位成员中使用移动支付的人数 , DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则 p等于 ( )(A)0.7 (B)0.6 (C)0.4 (D)0.3B4.(2018·全国 Ⅰ 卷 ,理 10)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成 ,三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边 BC,直角边 AB,AC.△ABC 的三边所围成的区域记为 Ⅰ, 黑色部分记为 Ⅱ, 其余部分记为Ⅲ. 在整个图形中随机取一点 ,此点取自 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ 的概率分别记为 p1,p2,p3,则 ()(A)p1=p2 (B)p1=p3(C)p2=p3 (D)p1=p2+p3A考情分析1.考查角度(1)统计图表 ,抽样方法 ;(2)几何概型 ,古典概型 (常与排列、组合结合考查 ),互斥、对立事件的概率及独立重复试验恰有 k次发生的概率 ;(3)以实际问题为背景 ,多与统计结合考查离散型随机变量的分布列、均值、方差等 .2.题型及难易度选择题、解答题 ,难度中低档 .热点突破 剖典例 · 促迁移热点一 抽样方法【 例 1】 (1)(2018·长沙市名校实验班阶段性测试 )一个总体由编号分别为01,02,…,29,30 的 30个个体组成 ,利用下面的随机数表选取 6个个体 ,选取方法是从随机数表的第 1行第 4列开始 ,由左到右依次读取 ,则选出来的第 6个个体的编号为 . 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481解析 :(1)从第 1行第 4列开始 ,满足要求的编号依次为 20,26,24,19,23,03,所以选出来的第 6个个体的编号为 03.答案 :(1)03(2)(2018·广州市测试 )已知某区中小学学生人数如图所示 .为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向 ,拟采用分层抽样的方法来进行调查 .若高中需抽取 20名学生 ,则小学与初中共需抽取的学生人数为 . 答案 :(2)85方法技巧(1)简单随机抽样适用于总体个体数较少 ,具体方法有抽签法、随机数表法 ;(2)系统抽样适用于总体的个体数较多 ,特点是等距抽样 ,即所抽到的数据是以抽样距为公差的等差数列 .热点训练 1:(1)(2018·全国 Ⅲ 卷 )某公司有大量客户 ,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 .为了解客户的评价 ,该公司准备进行抽样调查 ,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样 ,则最合适的抽样方法是 . 解析 :(1)因为客户数量大 ,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异 ,所以最合适的抽样方法是分层抽样 .答案 :(1)分层抽样(2)(2018·南昌市摸底调研 )某校高三 (2)班 现 有 64名学生 ,随机 编 号 为 0,1, 2,…,63, 依 编 号 顺 序平均分成 8组 ,组 号依次 为 1,2,3,…,8. 现 用系 统 抽 样方法抽取一个容量 为 8的 样 本 ,若在第 1组 中随机抽取的号 码为 5,则 在第 6组中抽取的号 码为 . 答案 :(2)45热点二 古典概型、几何概型方法技巧(1)求古典概型概率的一般步骤 :① 求出所有基本事件的个数 n,常用的方法有列举法、排列组合法等 ;② 求出事件 A所包含的基本事件的个数 m;③ 代入公式 P(A)= 求解 .(2)求几何概型概率要寻找构成试验的全部结果所构成的区域和事件发生所构成的区域 ,有时需要设出变量 ,在坐标系中表示所需要的区域 .答案 :(1)C(2)(2018·江苏卷 )某兴趣小组有 2名男生和 3名女生 ,现从中任选 2名学生去参加活动 ,则恰好选中 2名女生的概率为 . 解析 :(2)设 2名男生为 a,b,3名女生为 A,B,C,从中选出 2人的情况有 (a,b), (a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共 10种 ,而都是女生的情况有 (A,B),(A,C),(B,C),共 3种 ,故所求概率为 .答案 :(2)热点三 离散型随机变量的分布列、均值【 例 4】 (2018·天津卷 )已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7人 ,进行睡眠时间的调查 .(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人 ?解 :(1)由已知 ,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3∶2∶2, 由于采用分层抽样的方法从中抽取 7人 ,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3人 ,2人 ,2人 .(2)若抽出的 7人中有 4人睡眠不足 ,3人睡眠充足 ,现从这 7人中随机抽取 3人做进一步的身体 检查 .① 用 X表示抽取的 3人中睡眠不足的员工人数 ,求随机变量 X的分布列与数学期望 ;② 设 A为事件 “抽取的 3人中 ,既有睡眠充足的员工 ,也有睡眠不足的员工 ”,求事件 A发生的概率 .方法技巧(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件 ,然后综合应用各类求概率的公式求出概率 .(2)求随机变量的期望的关键是正确求出随机变量的分布列 ,若随机变量服从二项分布 ,则可直接使用公式求解 .(3)对于两点分布、二项分布、超几何分布的期望、方差可直接代入相关公式求解 ;对于一般类型的随机事件的期望与方差需列出概率分布列 ,用期望、方差公式求解 .(2)记在这次选拔赛中 ,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量 ξ, 求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 Eξ.1第 1 讲 概率、随机变量及其分布列(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号抽样方法 1,5古典概型 2,3,6,11,12几何概型 4,7,9离散型随机变量的分布列 8,11,12正态分布 10一、选择题1.(2018·福州市质检)为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( C )(A)简单随机抽样 (B)按性别分层抽样(C)按年龄段分层抽样 (D)系统抽样解析:根据题意及分层抽样的特点,最合理的抽样方法是按年龄段分层抽样.故选 C.2.(2018·武汉市四月调研)一张储蓄卡的密码共由 6 位数字组成,每位数字都可以是 0～9中的任意一个.某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,如果任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率为( C )(A) (B) (C) (D)25 310解析:按 1 次按对的概率为 ,按 2 次按对的概率为 = ,9×1𝐴210110由互斥事件的概率公式得所求的概率为 P= + = .故选 C.3.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( D )(A) (B) (C) (D)78解析:法一 4 位同学,每位同学都可以选周六、周日参加活动,每位同学有 2 种选法,根据乘法原理,共有 24=16 种方法.其中周六、周日都有同学参加活动的方法有 + =14 种.𝐶14𝐴22则所求概率为 P= = .故选 D.141678法二 4 位同学任选周六、周日的基本事件数为 24,都选择同一天活动为 2 种,则所求事件的概率为 1- = .故选 D.2247824.勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理,其证明方法有几百种之多.著名的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图,在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到的正方形 ABDE 是由 4 个全等的直角三角形和中间的一个小正方形 CFGH 组成的.若 Rt△ABC 的三边长构成等差数列,则在正方形 ABDE 内任取一点,此点取自小正方形 CFGH 内的概率为( C )(A) (B) (C) (D)2549解析:法一 由于 Rt△ABC 的三边长成等差数列,所以 2b=a+c,又 a2+b2=c2,于是(2b-c)2+b2=c2,故 = , = .大正方形 ABDE 的面积为 c2,小正方形 CFGH 的面积为(b-a) 2,在正方形𝑏𝑐45𝑎𝑐35ABDE 内任取一点,此点取自小正方形 CFGH 内的概率为 =( - )2= .故选 C.(𝑏‒𝑎)2𝑐2 𝑏𝑐𝑎𝑐法二 由于 Rt△ABC 的三边长成等差数列,不妨设 a=3,b=4,c=5,于是大正方形 ABDE 的面积为 c2=25,小正方形 CFGH 的面积为(b-a) 2=1,所以在正方形 ABDE 内任取一点,此点取自小正方形 CFGH 内的概率为 .故选 C.5.某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做视力检查.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号.已知从 33～48 这 16 个数中抽到的数是 39,则在 1～16中随机抽到的数是( B )(A)5 (B)7(C)11 (D)13解析:把 800 名学生平均分成 50 组,每组 16 人,各小组抽到的数构成一个公差为 16 的等差数列,39 在第 3 组,所以第 1 组抽到的数为 39- 32=7.故选 B.6.(2018·湖北武汉高三调研)将一枚质地均匀的骰子投两次,得到的点数依次记为 a 和 b,则方程 ax2+bx+1=0 有实数解的概率是( C )(A) (B) (C) (D)12 1936解析:若方程 ax2+bx+1=0 有实根,则必有 Δ=b 2-4a≥0,若 a=1,则 b=2,3,4,5,6;若 a=2,则 b=3,4,5,6;若 a=3,则 b=4,5,6;若 a=4,则 b=4,5,6;若 a=5,则 b=5,6;若 a=6,则 b=5,6,所以事件“方程 ax2+bx+1=0 有实根.”包含基本事件共 5+4+3+3+2+2=19,所以事件的概率为 .1936故选 C.7.(2018·河北省“五个一名校联盟”二次考试)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个3点,则落在阴影部分(曲线 C 的方程为 x2-y=0)的点的个数约为( B )(A)3 333 (B)6 667(C)7 500 (D)7 854解析:题图中阴影部分的面积为 (1-x2)dx=(x- )| = ,正方形的面积为 1,设落在阴影部∫10 1023分的点的个数为 n,由几何概型的概率计算公式可知, = ,n≈6 667.故选 B.𝑛10 000二、填空题8.(2018·浙江杭州模拟)随机变量 ξ 的分布列为ξ -1 0 1 2P x y若 E(ξ)= ,则 x+y= ,D(ξ)= . 13解析:因为 E(ξ)= ,13所以由随机变量 ξ 的分布列,知{𝑥+13+16+𝑦=1,‒𝑥+16+2𝑦=13,所以 x+y= ,x= ,y= ,12 29D(ξ)=(-1- )2× +(0- )2× +(1- )2× +(2- )2× = .13 13 13 13 16 13 29答案: 129.甲、乙两人约定上午 7:00 至 8:00 之间到某站乘公共汽车,在这段时间内有 3 班公共汽车,它们开车时刻分别为 7:20,7:40,8:00,如果他们约定,见车就乘,则甲、乙同乘一车的概率为 .解析:设甲到达该站的时刻为 x,乙到达该站的时刻为 y,则 7≤x≤8, 7≤y≤8,即甲、乙两人到达该站的时刻(x,y)所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大(单位)正方形.将三班车到站的时刻在图形中画出,则甲、乙两人要想乘同一班车,必须满足4或 或{7134)= . 解析:由题意结合正态分布的性质可知 P(2≤X≤4)=0.3,则 P(X4)= =0.2.答案:0.2三、解答题11.(2018·山西省六校第四次联考)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 20 件产品作为样本.称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],…, (510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)在上述抽取的 20 件产品中任取 2 件,设 X 为取到重量超过 505 克的产品件数,求 X=2 的概率;(2)从上述 20 件产品中任取 2 件产品,设 Y 为取到重量超过 505 克的产品件数.求 Y 的分布列与期望.5解:(1)由频率分布直方图可知,重量超过 505 克的产品件数是20×(0.05×5+0.01×5)=6,所以 P(X=2)= = .(2)Y 的所有可能取值为 0,1,2,由(1)知重量超过 505 克的产品有 6 件.P(Y=0)= = ,𝐶214𝐶220P(Y=1)= = ,4295P(Y=2)= = ,所以 Y 的分布列为Y 0 1 2P91190 338E(Y)=0× +1× +2× = .4295 579512.(2018·洛阳市统考)甲、乙两家外卖公司,其送餐员的日工资方案如下:甲公司,底薪 80元,每单送餐员抽成 4 元;乙公司,无底薪,40 单以内(含 40 单)的部分送餐员每单抽成 6 元,超出 40 单的部分送餐员每单抽成 7 元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同,现从这两家公司各随机选取一名送餐员,并分别记录其 50 天的送餐单数,得到如下频数表:甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 10 15 10 10 5乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数 38 39 40 41 42天数 5 10 10 20 5(1)现从记录甲公司的 50 天送餐单数中随机抽取 3 天的送餐单数,求这 3 天送餐单数都不小于 40 的概率.(2)若将频率视为概率,回答下列两个问题:①记乙公司送餐员日工资为 X(单位:元),求 X 的分布列和数学期 望 E(X);②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员,如果仅从日工资的角度考虑,请利用所学的统计学知识为小王作出选择,并说明理由.解:(1)记抽取的 3 天送餐单数都不小于 40 为事件 M,则 P(M)= = .𝐶325𝐶350(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为 a,6当 a=38 时,X=38×6=228,当 a=39 时,X=39×6=234,当 a=40 时,X=40×6=240,当 a=41 时,X=40×6+1×7=247,当 a=42 时,X=40×6+2×7=254.所以 X 的所有可能取值为 228,234,240,247,254.故 X 的分布列为X 228 234 240 247 254P110 110所以 E(X)=228× +234× +240× +247× +254× =241.8.15 15 25②依题意,甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2+39×0.3+40×0.2+41×0.2+42×0.1=39.7,所以甲公司送餐员的日平均工资为 80+4×39.7=238.8 元.由①得乙公司送餐员的日平均工资为 241.8 元.因为 238.8241.8,所以推荐小王去乙公司应聘.1第 2 讲 统计案例1.(2018·全国Ⅱ卷,理 18)如图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型.根据 2000 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,…,17)建立模型①: =-＾𝑦30.4+13.5t;根据 2010 年至 2016 年的数据(时间变量 t 的值依次为 1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.解:(1)利用模型①,可得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 =-30.4+13.5×19=226.1(亿元).利用模型②,可得该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下:①从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y=-30.4+13.5t 上下,这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型=99+17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.②从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型①得到的预测值226.1 亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.2.(2016·全国Ⅲ卷,理 18)如图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.2(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明;(2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01),预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据: yi=9.32, tiyi=40.17,7∑𝑖=1 7∑𝑖=1=0.55, ≈2.646.7∑𝑖=1(𝑦𝑖‒𝑦)2 7参考公式:相关系数 r= ,𝑛∑𝑖=1(𝑡𝑖‒𝑡)(𝑦𝑖‒𝑦)𝑛∑𝑖=1(𝑡𝑖‒𝑡)2𝑛∑𝑖=1(𝑦𝑖‒𝑦)2回归方程 = + t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 = , = - .𝑛∑𝑖=1(𝑡𝑖‒𝑡)(𝑦𝑖‒𝑦)𝑛∑𝑖=1(𝑡𝑖‒𝑡)2 ＾𝑏𝑡解:(1)由已知条件知,=4, (ti- )2=28, =0.55,7∑𝑖=1 7∑𝑖=1(𝑦𝑖‒𝑦)2(ti- )(yi- )= tiyi- yi=40.17-4×9.32=2.89,7∑𝑖=1 7∑𝑖=1r≈ ≈0.99.2.890.55×2×2.646因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当大,从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系.(2)由 = ≈1.331 及(1)得= = ≈0.103.2.8928= - ≈1.331-0.103×4≈0.92.＾𝑏𝑡所以,y 关于 t 的回归方程为 =0.92+0.10t.将 2016 年对应的 t=9 代入回归方程得3=0.92+0.10×9=1.82.所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.82 亿吨.3.(2017·全国Ⅰ卷,理 19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(μ,σ 2).(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求 P(X≥1)及 X 的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.①试说明上述监控生产过程方法的合理性;②下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 = xi=9.97,s= = ≈0.212,其中 xi为抽取的11616∑𝑖=1 11616∑𝑖=1(𝑥𝑖‒𝑥)2 116(16∑𝑖=1𝑥2𝑖‒16𝑥2)第 i 个零件的尺寸,i=1,2,…,16.用样本平均数 作为 μ 的估计值 ,用样本标准差 s 作为 σ 的估计值 ,利用估计值判断是＾𝜇 ＾𝜎否需对当天的生产过程进行检查?剔除( -3 , +3 )之外的数据,用剩下的数据估计 μ 和＾𝜇 ＾𝜎＾𝜇 ＾𝜎σ(精确到 0.01).附:若随机变量 Z 服从正态分布 N(μ,σ 2),则 P(μ-3σ0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较高,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪运行台数受周光照量 X 限制,并有如下关系:周光照量 X/小时 3070光照控制仪运行台数 3 2 1对商家来说,若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪产生的周利润为 3 000 元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损 1 000 元.若商家安装了 3 台光照控制仪,求商家在过去 50 周的周总利润的平均值.相关系数公式:r= ,参考数据: ≈0.55, ≈0.95.0.3 0.9解:(1)由已知数据可得 = =5, = =4.2+4+5+6+85 3+4+4+4+556因为 (xi- )(yi- )=(-3)×(-1)+0+0+0+3×1=6,5∑𝑖=1= =2 ,5∑𝑖=1(𝑥𝑖‒𝑥)2 (‒3)2+(‒1)2+02+12+32 5= = ,5∑𝑖=1(𝑦𝑖‒𝑦)2所以相关系数 r= = = ≈0.95.5∑𝑖=1(𝑥𝑖‒𝑥)(𝑦𝑖‒𝑦)5∑𝑖=1(𝑥𝑖‒𝑥)2 5∑𝑖=1(𝑦𝑖‒𝑦)2 625×20.9因为|r|0.75,所以可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系.(2)由条件可得在过去 50 周里,当 X70 时,共有 10 周,此时只有 1 台光照控制仪运行,每周的周总利润为 1×3 000-2×1 000=1 000(元).当 50≤X≤70 时,共有 35 周,此时有 2 台光照控制仪运行,每周的周总利润为 2×3 000-1×1 000=5 000(元).当 300 时,表明两个变量正相关;当 r ,𝑠21𝑠22所以种植彩椒比较好.独立性检验【例 3】 (2018·江西九校联考)进入高三,同学们的学习越来越紧张,学生休息和锻炼的时间也减少了.学校为了提高学生的学习效率,鼓励学生加强体育锻炼.某中学高三(3)班有学生 50 人.现调查该班学生每周平均体育锻炼时间的情况,得到如下频率分布直方图.其中数据的分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].(1)求学生周平均体育锻炼时间的中位数(保留 3 位有效数字);(2)从每周平均体育锻炼时间在[0,4]的学生中,随机抽取 2 人进行调查,求此 2 人的每周平均体育锻炼时间都超过 2 小时的概率;(3)现全班学生中有 40%是女生,其中 3 个女生的每周平均体育锻炼时间不超过 4 小时.若每周平均体育锻炼时间超过 4 小时称为经常锻炼,问:有没有 90%的把握说明,是否经常锻炼与性别有关?附:K 2=P(K2≥k 0) 0.100 0.050 0.010 0.0019k0 2.706 3.841 6.635 10.828解:(1)设中位数为 a,因为前三组的频率和为(0.02+0.03+0.11)×2=0.323.841.100×(65×15‒10×10)275×25×75×25所以有 95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”.可线性化的非线性回归分析11【例 4】 某品牌汽车旗下的 4S 店以“四位一体”(整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈)为核心的模式经营,4S 店为了了解该品牌的 A,B,C 三种车型的质量问题,从出售时间 5 年以上的该三种车型的汽车中各随机抽取 100 辆进行跟踪调查,发现各车型在一年内需要维修的车辆如表(1)所示.(1)该 4S 店从所有的跟踪服务的 A,B,C 三种车型的汽车中用分层抽样的方法抽取 10 个样本做进一步调查,求分别抽取的 A,B,C 三种车型的汽车辆数;(2)该品牌汽车研发中心针对 A,B,C 三种车型在维修中反映的主要问题研发了一种辅助产品,4S 店需要对研发中心研发的辅助产品进行合理定价,该产品在试营时的数据如散点图和表(2)所示.根据散点图判断,y 与 x 和 z 与 x 哪一对具有的线性相关性较强(给出判断即可,不必说明理由)?并根据你的判断结果及数据,求 y 关于 x 的回归方程(方程中的系数均保留两位小数).表(1)车型 A B C维修频数 20 40 40表(2)定价 x/(百元/件) 10 20 30 40 50 60年销量 y/件 1 150 643 424 262 165 86z=2ln y 14.1 12.9 12.1 11.1 10.2 8.9参考数据: (xi- )(yi- )=-34 580, (xi- )(zi- )=-175.5, (yi- )2=776 6∑𝑖=1 6∑𝑖=1 6∑𝑖=1840, (yi- )(zi- )=3 465.2.6∑𝑖=1参考公式:对于一组数据(x 1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回归方程 = x+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为= = , = - .𝑛∑𝑖=1(𝑥𝑖‒𝑥)(𝑦𝑖‒𝑦)𝑛∑𝑖=1(𝑥𝑖‒𝑥)2 ＾𝑏𝑥解:(1)抽取的 A 车型的汽车辆数为 ×10=2,抽取的 B 车型的汽车辆数为 ×10=4,12抽取的 C 车型的汽车辆数为 ×10=4,故抽取的 A,B,C 三种车型的汽车辆数分别为 2,4,4.(2)由散点图可知,z 与 x 具有的线性相关性较强.由题设知 = =35,10+20+30+40+50+606= =11.55,= =- ≈-0.10,175.51 750所以 = - ≈15.05,＾𝑏𝑥所以 = x+ =15.05-0.10x.又 z=2ln y,所以 y 关于 x 的回归方程为 = .解非线性回归分析问题,首先观察散点图,挑出与散点图拟合得最好的函数,然后采用适当的变量置换把问题转化为线性回归分析问题.热点训练 3:(2018 广州综合测试)某地 1~10 岁男童年龄 xi(单位:岁)与身高的中位数 yi(单位:cm)(i=1,2,…,10)如表:x/岁 1 2 3 4 5y/cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3x/岁 6 7 8 9 10y/cm 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.13𝑥 𝑦(xi- )210∑𝑖=1 𝑥(yi- )210∑𝑖=1 𝑦(xi- )(yi- )10∑𝑖=1 𝑥 𝑦5.5 112.45 82.50 3 947.71 566.85(1)求 y 关于 x 的线性回归方程(回归方程系数精确到 0.01);(2)某同学认为,y=px 2+qx+r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程模型,他求得的回归方程是 =-0.30x2+10.17x+68.07.经调查,该地 11 岁男童身高的中位数为 145.3 cm.与(1)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好?附:回归方程 = + x 中的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = , = -.＾𝑏𝑥解:(1) = = ≈6.87,= - =112.45-6.87×5.5≈74.67,＾𝑏𝑥所以 y 关于 x 的线性回归方程为 =6.87x+74.67,(2)若回归方程为 =6.87x+74.67,则当 x=11 时, =150.24.若回归方程为 =-0.30x2+10.17x+68.07,则当 x=11 时, =143.64.|143.64-145.3|=1.662),那么在消费者对该产品的心理价的范围内,销售单价定为多少时,网店才能获得最大利润?(注:利润=销售收入-成本)参考数据: xiyi=392, =502.5.5∑𝑖=1参考公式:回归方程 = x+ ,其中 = ,= - .＾𝑏𝑥解:(1)因为 = ×(9+9.5+10+10.5+11)=10,15= ×(11+10+8+6+5)=8,15所以 = =-3.2,则 =8-(-3.2)×10=40.所以 y 关于 x 的回归方程为 =-3.2x+40.(2)由已知得利润 L=(x-a)(-3.2x+40)=-3.2x2+(40+3.2a)x-40a,x∈[7,9],该二次函数图象的对称轴方程为 x= = .40+3.2𝑎2×3.2因为 a2,所以 .当 9,即 a 时,函数在区间[7,9]上单调递增,所以当 x=9 时,L 取得最大值;当 时,该产品的销售单价为 9 元时,网店能获得最大利润;当 26.635,所以有 99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.(2)根据题中图和表可知,设备改造后产品的合格率约为 = ,设备改造前产品的合格率1922002425约为 = ,即设备改造后产品的合格率更高,因此,设备改造后性能更好.1722004350(3)用频率估计概率,1 000 件产品中大约有 960 件合格品,40 件不合格品,则 180×960-100×40=168 800,所以该企业大约获利 168 800 元.【例 3】 (2018·新余二模)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称,某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度,对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛,满分 100 分(90 分及以上为认知程度高),现从参赛者中抽取了x 人,按年龄分成 5 组(第一组:[20,25),第二组:[25,30),第三组:[30,35),第四组:[35,40),第五组:[40,45]),得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有 6 人.(1)求 x;(2)求抽取的 x 人的年龄的中位数(结果保留整数);(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取 6人,42 人,36 人,24 人,12 人,分别记 1~5 组,从这 5 个按年龄分的组和 5 个按职业分的组中每组各选派 1 人参加知识竞赛代表相应的成绩,年龄组中 1~5 组的成绩分别为93,96,97,94,90,职业组中 1~5 组的成绩分别为 93,98,94,95,90.①分别求 5 个年龄组和 5 个职业组成绩的平均数和方差;②以上述数据为依据,评价 5 个年龄组和 5 个职业组对“一带一路”的认知程度,并谈谈你的感想.解:(1)根据频率分布直方图得第一组频率为0.01×5=0.05,所以 =0.05,所以 x=120.(2)设中位数为 a,则0.01×5+0.07×5+(a-30)×0.06=0.5,解得 a= ≈32,17所以中位数为 32.(3)①5 个年龄组的平均数为= (93+96+97+94+90)=94,15方差为 = [(-1)2+22+32+02+(-4)2]=6,𝑠21155 个职业组的平均数为= (93+98+94+95+90)=94,15方差为 = [(-1)2+42+02+12+(-4)2]=6.8.𝑠2215②评价:从平均数来看两组的认知程度相同,从方差来看年龄组的认知程度更好.感想:“一带一路”是指“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称.它将充分依靠中国与有关国家既有的双多边机制,借助既有的、行之有效的区域合作平台,“一带一路”战略目标是要建立一个政治互信、经济融合、文化包容的利益共同体、命运共同体和责任共同体,是包括欧亚大陆在内的世界各国,构建一个互惠互利的利益、命运和责任共同体.(对应学生用书第 61 页)【典例】 (2018·全国Ⅲ卷,理 18)(12 分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取 40 名工人,将他们随机分成两组,每组 20 人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图,(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由;(2)求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m,并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表:超过 m 不超过 m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?附:K 2= ,P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82818.评分细则:解:(1)第二种生产方式的效率更高.1 分理由如下(写出一种,合理即可):①由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80分钟,用第二种生产方式的工人中,有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.②由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟,用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟.因此第二种生产方式的效率更高.③由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟;用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟,因此第二种生产方式的效率更高.④由茎叶图可知:用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多,关于茎 8 大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多,关于茎 7 大致呈对称分布,又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同,故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高.4 分(由上给出了 4 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.)(2)由茎叶图知 m= =80.6 分79+8122×2 列联表如下:超过 m 不超过 m第一种生产方式 15 5第二种生产方式 5 158 分(3)由于 K2= =106.635,11 分所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.12 分注:第(1)问得分说明:①判断出效率更高的生产方式,得 1 分;②根据茎叶图中的数据分布,分析出效率更高,生产方式的任意一种合理理由均得 3 分.第(2)问得分说明:①由茎叶图中的数据及中位数定义求出中位数,得 2 分;②列出 2×2 列联表,得 2 分,第(3)问得分说明:①用独立性检验公式求出 K2的值,并与 6.635 比较,得 3 分;②得出结论,得 1 分.【答题启示】 19(1)统计中涉及的图形较多,常见的有条形图、扇形图、折线图、茎叶图、频率分布直方图等,要熟练掌握这些图的特点,并能根据图直观进行一些判断或计算.本题常不能根据茎叶图的数据分布特点进行判断、计算而失分.(2)常因概念(中位数)不清而失分.(3)常因计算马虎而失分.