1、综合能力测试题一时间 120 分钟，满分 150 分一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题有 4 个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1 “ab”是“直线 yx 2 与圆(xa) 2(yb) 22 相切”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件答案 A解析 圆心(a，b)，半径 r ，若 ab，则圆心( a，b )到直线 yx2 的距离 dr.2直线与圆相切，若直线与圆相切则 ，此时 ab 或 ab4，是充|a b 2|2 2分不必要条件，故应选 A.2设命题甲为“点 P 的坐标适合方程 F(x，y)
2、0” ；命题乙为：“点 P 在曲线 C 上；命题丙为：“点 Q 的坐标不适合方程 F(x，y )0” ；命题丁为：“点 Q 不在曲线 C 上” ，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么( )A丙是丁的充分条件，但不是丁的必要条件B丙是丁的必要条件，但不是丁的充分条件C丙是丁的充要条件D丙既不是丁的充分条件，也不是丁的必要条件答案 A解析 由已知条件，得“乙甲” ，即“点 P 在曲线 C 上，则点 P 的坐标适合方程F(x， y)0” ，它的逆否命题是：“若点 P 的坐标不适合方程 F(x，y )0，则点 P 不在曲线C 上” ，即 “丙丁” 3给出下列关于互不相同的直线 m，l，n 和平面
3、 ， 的四个命题： m，lA ，点 Am，则 l 与 m 不共面；m，l 是异面直线，l，m，且 nl ，nm，则 n；若 l，m ， ，则 lm ；若 l，m，lmA ，l ，m ，则 .其中为假命题的是( )A B C D答案 C解析 逐一验证由异面直线的判定定理得 l 与 m 为异面直线，故正确由线面垂直的判定定理知正确l 可能与 m 相交或异面，故错误由线面垂直的判定定理得 ，故正确，故选 C.4设 P 为双曲线 x2 1 上的一点，F 1，F 2 是该双曲线的两个焦点，若y212|PF1| PF2|3 2，则 PF1F2 的面积为( )A6 B12 3C12 D243答案 B解析 |
4、PF 1|PF 2|32，又有|PF 1| PF2|2，|PF 1| 6，| PF2|4，又|F 1F2|2c2 ，13(2 )26 2 42，F 1PF290，13SPF 1F2 6412.125.已知以 F1( 2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x y40 有且仅有一个交点，3则椭圆的长轴长为( )A3 B2 2 6C2 D47 2答案 C解析 由题意 c2，焦点在 x 轴上，故该椭圆方程为 1，与x2a2 y2a2 4x y 40 联立方程组，令 0，解得 a .3 76设抛物线的顶点在原点，其焦点 F 在 y 轴上，又抛物线的点 P(k，2)与点 F 的距离为 4，则 k
5、等于 ( )A4 B4 或4C2 D2 或 2答案 B解析 由题设条件可设抛物线方程为 x22py (p0)，又点 P 在抛物线上，则k24p，|PF| 4 24，即 p4，k4.p27设集合 M( x，y)| x2y 21，xR ，yR ，N ( x，y)|x 2y0，则集合MN 中元素的个数为( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个答案 B8若 PO平面 ABC，O 为垂足， ABC 90 ，BAC 30，BC5，PAPBPC10，则 PO 的长等于( )A5 B5 3C10 D10 3答案 B9已知圆 x2y 21，点 A(1,0)，ABC 内接于圆，且 BAC60，当 BC 在圆上
6、运动时，BC 中点的轨迹方程是 ( )Ax 2y 2 Bx 2y 212 14Cx 2 y2 (xb，则 3a3b1”的否命题为_答案 若 ab，则 3a3 b1解析 “ab”的否命题是“ab” ， “3a3b1”的否命题是“3 a3 b1” 原命题的否命题是“若 ab，则 3a3 b1” 14如果过两点 A(a,0)和 B(0，a)的直线与抛物线 yx 22x3 没有交点，那么实数 a的取值范围是_答案 (， )134解析 过 A、 B 两点的直线为： xya 与抛物线 yx 22x3 联立得x2xa30，因为直线 x 与抛物线没有交点，则方程无解即 14(a3)a 和条件 q： 0，请选取
7、适当12x2 3x 1的实数 a 的值，分别利用所给的两个条件作为 A，B 构造命题：若 A 则 B.使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题解析 已知条件 p 即 5x1 a，x .1 a5 1 a5已知条件 q 即 2x23x 10 ，x 1.12令 a4，则 p 即 x1，此时必有 pq 成立，反之不然，故可以选取的一个实35数是 a4，A 为 p，B 为 q，对应的命题是“若 A 则 B”由以上过程可知，这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题19(本小题满分 12 分)设命题 p：函数 f(x)lg(ax 2x a)的定义域为 R；命题
8、 q：116不等式 0 对任意116 116实数 x 均成立a2，所以命题 p 为真命题a2.命题 q 为真命题 1 对一切正实数 x 均成立，由于2x 1 1x 2xx(r(2x 1) 1) 22x 1 1x0，所以 1，所以 12，所以 0，y0)，则 ( x，y )( x，y) x 2y 23 ，PF1 PF2 3 3 54联立Error! 解得 Error!Error! P (1， )32(2)显然 k0 不满足题设条件可设直线 l 的方程为 ykx2，设 A(x1，y 1)，B(x2，y 2)联立 Error!x 24( kx2) 24，(14k 2)x2 16kx120，x 1x2
9、 ，x 1x 2 ，121 4k2 16k1 4k2由 (16k) 24(14k 2)120,16k23(1 4k 2)0,4k230，得 k2 .34又AOB 为锐角，cos AOB0， 0，OA OB x 1x2y 1y20.OA OB 又 y1y2(kx 12)(kx 22) k 2x1x22k(x 1x 2)4，x 1x2y 1y2(1k 2)x1x22k(x 1x 2)4(1 k 2) 2k( )4121 4k2 16k1 4k2 4 0，0 .AP SD AP SD |AP |SD | 105异面直线 AP 与 SD 所成角的大小为 arccos .105(3)设平面 SCD 的法向量为 n(x，y ，z )，则Error! Error!C(1,2,0) ， (1,2，1) ，SC (0,2，1)SD Error! ，取 y1，则 z2，x 0，n(0,1,2)，n 0 (0,1,2)(0， ， )n|n| 15 55 255P 到平面 SCD 的距离 d 等于 在 n0 上的射影长，PC d| |cos|PC PC |PC n0|n0| n0|(0,1,0) (0， ， )| .PC 55 255 55
