2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题三 三角函数与解三角形（课件+教案+练习）（打包6套）文.zip

1第 1 讲 三角函数的图象与性质、三角恒等变换1.(2018·全国Ⅲ卷,文 4)若 sin α= ,则 cos 2α 等于( B )13(A) (B) (C)- (D)-89解析:因为 sin α= ,所以 cos 2α=1-2sin 2α=1-2× 2= .故选 B.2.(2016·全国Ⅱ卷,文 3)函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( A )(A)y=2sin 2x-(B)y=2sin 2x-(C)y=2sin x+(D)y=2sin x+解析:T=2 + =π= 得 ω=2,A=2.2𝜋𝜔当 x= 时,y=2sin π+φ =2,23+φ= +2kπ,k∈Z,φ=- +2kπ,k∈Z.故选 A.2𝜋33.(2018·全国Ⅲ卷,文 6)函数 f(x)= 的最小正周期为( C )(A) (B) (C)π (D)2π2解析:由已知得 f(x)= = = =sin x·cos x= sin 2x,𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥1+(𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥) 2 12所以 f(x)的最小正周期为 T= =π.故选 C.2𝜋24.(2018·全国Ⅰ卷,文 8)已知函数 f(x)=2cos2x-sin2x+2,则( B )(A)f(x)的最小正周期为 π,最大值为 3(B)f(x)的最小正周期为 π,最大值为 4(C)f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 3(D)f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 4解析:因为 f(x)=2cos2x-sin2x+2=1+cos 2x- +2= cos 2x+ ,所以 f(x)的最小正周32 52期为 π,最大值为 4.故选 B.5.(2017·全国Ⅲ卷,文 6)函数 f(x)= sin x+ +cos x- 的最大值为( A )15(A) (B)1 (C) (D)65 35 15解析:f(x)= sin x+ cos x + sin x+ cos x, 1512 32 12f(x)= sin x+ cos x = sin x+ ,6512 65所以 f(x)max= ,故选 A.656.(2018·全国Ⅱ卷,文 10)若 f(x)=cos x-sin x 在[0,a]是减函数,则 a 的最大值是( C )(A) (B) (C) (D)π3𝜋4解析:f(x)=cos x-sin x= cos x+ .2当 x∈[0,a]时,x+ ∈ ,a+ ,所以结合题意可知,a+ ≤π,即 a≤ ,3𝜋4故所求 a 的最大值是 .故选 C.3𝜋47.(2018·全国Ⅱ卷,文 15)已知 tan α- = ,则 tan α= . 5𝜋4 15解析:tan α- =tan α- = = ,5𝜋4 𝑡𝑎𝑛𝛼‒11+𝑡𝑎𝑛𝛼15解得 tan α= .323答案:328.(2017·全国Ⅰ卷,文 15)已知 α∈ 0, ,tan α=2,则 cos α- = . 解析:α∈ 0, ,sin α0,cos α0,因为 tan α=2,所以 =2.𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼sin α=2cos α.sin 2α+cos 2α=1.4cos2α+cos 2α=1,5cos 2α=1,cos α= ,sin α= .255cos α- = (cos α+sin α)= .31010答案:310101.考查角度考查三角函数的图象与性质、三角函数求值(利用三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差三角函数公式、倍角公式等).2.题型及难易度选择题、填空题,试题难度中等.(对应学生用书第 17~19 页)三角函数的图象考向 1 三角函数的图象变换【例 1】 (1)(2018·广东省珠海市九月摸底)已知曲线 C1:y=sin x,C2:y=sin x- ,则下12 12列说法正确的是( )(A)把曲线 C1向左平移 个单位长度,得到曲线 C22𝜋3(B)把曲线 C1向右平移 个单位长度,得到曲线 C22𝜋3(C)把曲线 C1向左平移 个单位长度,得到曲线 C2(D)把曲线 C1向右平移 个单位长度,得到曲线 C2(2)(2018·湖南省两市九月调研)若将函数 f(x)=2sin x+ 的图象向右平移 个单位,再把4所得图象上的点的横坐标扩大到原来的 2 倍,得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)图象的一条对称轴为( )(A)x= (B)x=𝜋12(C)x= (D)x=7𝜋6解析:(1)因为 y=sin x- =sin x-12 12 2𝜋3所以把 C1中的 x 换为 x- 得到 C2,2𝜋3即把 C1向右平移 个单位长度,得到 C2,选 B.2𝜋3(2)将函数 f(x)=2sin x+ 的图象向右平移 个单位得 y=2sin x- + =2sin x- 的图𝜋12象,将 y=2sin x- 图象上的点的横坐标扩大到原来的 2 倍得 g(x)=2sin x- ,𝜋12 12 𝜋12令 x- = +kπ,(k∈Z),12 𝜋12得 x= π+2kπ,k∈Z,k=0 时,x= π.选 D.76 76三角函数图象变换中容易出错的地方是沿 x 轴方向的平移和伸缩变换:把函数 f(x)=sin ωx 的图象向右(左)平移 φ 个单位长度,得到函数 g(x)=sin ω(x-φ)(g(x)=sin ω(x+φ))的图象,把函数 f(x)=sin ω 1x 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍 01 称为缩小为原来的 ,得到函数 g(x)=sin(ω 1ω 2x)的图象.1𝜔2 1𝜔2考向 2 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式【例 2】 (1)(2018·湖北省 5 月冲刺卷)已知函数 f(x)=Asin(ωx+θ)(A0,ω0,|θ|0,ω0,|φ|0,ω0,|φ|0,ω0,|φ|0)个单位后,得到 y=g(x)为偶函数,则 m 的最小值为( )(A) (B) (C) (D)𝜋12(2)(2018·河北石家庄二中八月模拟)已知 f(x)=sin2x+sin xcos x+2sin x+ cos x+ .①当 x∈ , 时,求 f(x)的值域;𝜋12②若函数 f(x)的图象向右平移 个单位后,所得图象恰与函数 g(x)的图象关于直线 x= 对称,求函数 g(x)的单调递增区间.(1)解析:y=sin x·sin x+8= sin2x+ sin xcos x12= += sin 2x- + ,12 14将 y= sin 2x- + 的图象沿 x 轴向右平移 m(m0)个单位后,得到 g(x)= sin 2x-2m- +12 14 12的图象,14因为 g(x)= sin 2x-2m- + 为偶函数,12 14所以 2m+ = +kπ,k∈Z,即 m= + ,k∈Z,即正数 m 的最小值为 .故选 D.(2)解:①f(x)=sin 2x+sin x cos x+2sin x+ cos x+= + sin 2x+sin 2x+12= + (sin 2x-cos 2x)+cos 2x1212= (sin 2x+cos 2x)+12 12= sin 2x+ + ,12由 x∈ , ,得 ≤2x+ ≤ π,𝜋12 54所以- ≤sin 2x+ ≤1,0≤f(x)≤ ,即 f(x)在 , 上的值域是 0, .𝜋12②函数 f(x)的图象向右平移 个单位后得到 h(x)的图象,则 h(x)=f x- = sin 2x+ ,129设点 P(x,y)是 g(x)图象上任意一点,则点 P 关于直线 x= 对称的点 Q -x,y 在 h(x)的图象上,所以 g(x)=h -x = sin -2x +2𝜋3 12= sin 2x+ + .12所以当- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z),即- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z)时,g(x)单调递增,𝜋12所以 g(x)的单调递增区间是 - +kπ, +kπ (k∈Z).𝜋12三角函数的主要性质为奇偶性、周期性、单调性和最值.(1)y=sin(ωx+φ)为奇函数的充要条件是 φ=kπ(k∈Z)、为偶函数的充要条件是 φ=kπ+ (k∈Z),函数 y=cos(ωx+φ)为奇函数的充要条件是 φ=kπ+ (k∈Z)、为偶函数的充要条件是 φ=kπ(k∈Z);(2)函数y=sin(ωx+φ),y=cos(ωx+φ)的最小正周期为 ,函数 y=tan(ωx+φ)的最小正周期 T=2𝜋|𝜔|;(3)确定 y=sin(ωx+φ),y=cos(ωx+φ)的单调性时首先化 ω 为正值,然后把 ωx+φ看作整体,利用 y=sin x,y=cos x 的单调区间,得出关于 ωx+φ 的不等式,解不等式即得所求函数的单调区间;(4)确定函数 y=sin(ωx+φ)的值域时,一定要准确求出 ωx+φ 的取值范围,结合函数 y=sin x 的单调性得出所求的值域.热点训练 2:(1)(2018·广东广州市海珠区一模)设函数 f(x)=cos 2x- ,则下列结论错误的是( )(A)f(x)的一个周期为-π(B)y=f(x)的图象关于直线 x= 对称2𝜋3(C)f x+ 的一个零点为 x=-(D)f(x)在区间 上单调递减[𝜋3,𝜋2]10(2)(2018·安徽宿州第三次质检)将函数 y=2sin -x cos +x -1 的图象向左平移 φ(φ0)个单位,所得的图象恰好关于原点对称,则 φ 的最小值为( )(A) (B) (C) (D)𝜋24 𝜋12(3)(2018·山东青岛二模)已知向量 a= cos x,- ,b=( sin x,cos 2x),x∈R,设函数 f(x)12 3=a·b.①求 f(x)的最小正周期;②求函数 f(x)的单调递减区间;③求 f(x)在 0, 上的最大值和最小值.(1)解析:f(x)=cos 2x- 的周期为 T=kπ,k∈Z,所以 A 对,不符合题意;当 x= 时,2x- =π,cos π=-1,所以 B 对,不符合题意;2𝜋3f x+ =cos 2x+π- =cos 2x+ ,2𝜋3当 x=- 时,f x+ =1;所以 x=- 不是 f x+ 的零点.所以 C 错,符合题意;x∈ 时,2x- ∈ ,y=cos x 在 上递减,所以 D 对,不符合题意.故选 C.[𝜋3,𝜋2](2)解析:由于 sin -x =sin - +x =cos +x ,故三角函数的解析式即y=2cos2 +x -1=cos +2x ,令 cos +2x =0 可得 +2x=kπ+ (k∈Z),则 x= + (k∈Z),𝜋12取 k=0 可得 x= ,即函数图象与 x 轴正半轴的第一个交点坐标为 P ,0 ,𝜋12 𝜋12函数图象如图所示,数形结合可知 φ 的最小值为 .故选 B.𝜋1211(3)解:f(x)= cos x,- ·( sin x,cos 2x)12 3= cos xsin x- cos 2x312= sin 2x- cos 2x12=cos sin 2x-sin cos 2x=sin 2x- .①f(x)的最小正周期为 T= =π,2𝜋2即函数 f(x)的最小正周期为 π.② +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z,𝜋6 3𝜋2得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,5𝜋6所以 f(x)的单调递减区间是 +kπ, +kπ ,k∈Z.5𝜋6③因为 0≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ .5𝜋6由正弦函数的性质,当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 1.当 2x- =- ,即 x=0 时,f(0)=- ,12当 2x- = π,即 x= 时,f = ,56 12所以 f(x)的最小值为- .12因此,f(x)在 0, 上的最大值是 1,最小值是- .12利用三角恒等变换求值12【例 4】 (1)(2018·湖南两市九月调研)已知 sin α= ,则 cos (π+2α)等于( )25(A) (B)- (C) (D)-1725 1725(2)(2018·吉林省百校联盟联考)已知 cos +α =3sin α+ ,则 tan +α 等于( )7𝜋6 𝜋12(A)4-2 (B)2 -43 3(C)4-4 (D)4 -43 3解析:(1)因为 sin α= ,25所以 cos(π+2α)=-cos 2α=- 1-2sin2α=2× 2-1=- ,故选 D.25 1725(2)由题意可得-sin α=-3sin α+ ,即 sin α+ - =3sin α+ + ,𝜋12𝜋12 𝜋12𝜋12展开得sin α+ cos -cos α+ sin 𝜋12 𝜋12 𝜋12 𝜋12=3sin α+ cos +3cos α+ sin ,𝜋12 𝜋12 𝜋12 𝜋12整理可得 tan α+ =-2tan =-2tan - =-2× =2 -4.选 B.𝜋12 𝜋12 3(1)利用三角恒等变换求值中使用的知识点:任意角三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,以及上述公式的变形.(2)利用三角恒等变换求值的基本思路:变换函数名称、变换角、整体代入等.热点训练 3:(1)(2018·河北武邑中学调研)下列式子结果为 的是( )3①tan 25°+tan 35°+ tan 25°tan 35°;②2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 365°);③ ;④ .1+𝑡𝑎𝑛15°1‒𝑡𝑎𝑛15°(A)①② (B)③ (C)①②③ (D)②③④(2)(2018·安徽安庆一中高考热身)已知 tan(α+β)= ,tan β- = ,则 的值25 14 𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼‒𝑠𝑖𝑛𝛼13为 ; (3)(2018·河南最后一模)已知 x∈ 0, ,tan x= ,则 = . 34解析:(1)对于①,tan 25°+tan 35°+ tan 25°tan 35°3=tan(25°+35°)(1-tan 25°tan 35°)+ tan 25°tan 35°3= - tan 25°tan 35°+ tan 25°tan 35°3 3 3= ;3对于②,2(sin 35°cos 25°+cos 35°cos 65°)=2(sin 35°cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin 60°= ;3对于③, = =tan 60°= ;1+𝑡𝑎𝑛15°1‒𝑡𝑎𝑛15° 3对于④, = × = ×tan = ,122𝑡𝑎𝑛𝜋61‒𝑡𝑎𝑛2𝜋612所以结果为 的是①②③.3故选 C.(2)因为 = =𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼‒𝑠𝑖𝑛𝛼1+𝑡𝑎𝑛𝛼1‒𝑡𝑎𝑛𝛼=tan α+ ,且 tan α+ =tan (α+β)- β-= ,将 tan(α+β)= ,tan β- = 代入可得25 14= = .𝑐𝑜𝑠𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼‒𝑠𝑖𝑛𝛼(3)因为 x∈ 0, ,tan x= ,𝜋2 3414所以 sin x= .35又 = =2sin x,2𝑠𝑖𝑛𝑥(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)1+𝑐𝑜𝑠𝑥所以 = .65答案:(1)C (2) (3)65【例 1】 (1)(2018·福建厦门二检)函数 f(x)=cos(2x+φ)(00,函数 g(t)为增函数,因此函数 g(t)的最大值为 t=-1 或 t= 时的函数值,结合 g(-1)=00,|φ|0,ω0,|φ| 的图象时,在列表过程中,列出了部分数据如表:ωx+φ 0𝜋2π 2πx𝜋3 7𝜋12f(x) 3 -1(1)请根据上表求 f(x)的解析式;(2)将 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再向下平移 1 个单位得到 y=g(x)的图象,若 g θ+𝜋12=- (θ 为锐角),求 f(θ)的值.65解:(1)B= =1,所以 A= =2,3‒12 3‒(‒1)2又 所以18所以 f(x)=2sin 2x- +1.(2)g(x)=2sin 2 x+ - +1-1=2sin 2x,𝜋12因为 g θ+ =2sin 2θ+ =- ,65所以 cos 2θ=- ,35又 θ 为锐角,所以 sin 2θ= ,45所以 f(θ)=2sin 2θ- +1=2 sin 2θcos -cos 2θsin +1=2 × - - × +1= .45 35 12 8+435专题三 三角函数与解三角形第 1讲 三角函数的图象与性质、三角恒等变换高考导航热点突破备选例题真题体验高考导航 演真题 · 明备考B2.(2016·全国 Ⅱ 卷 ,文 3)函数 y=Asin(ωx+ ) 的部分图象如图所示 ,则 ( )ACB4.(2018·全国 Ⅰ 卷 ,文 8)已知函数 f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 ( )(A)f(x)的最小正周期为 π, 最大值为 3(B)f(x)的最小正周期为 π, 最大值为 4(C)f(x)的最小正周期为 2π, 最大值为 3(D)f(x)的最小正周期为 2π, 最大值为 4A C 考情分析1.考查角度考查三角函数的图象与性质、三角函数求值 (利用三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差三角函数公式、倍角公式等 ).2.题型及难易度选择题、填空题 ,试题难度中等 .热点突破 剖典例 · 促迁移热点一 三角函数的图象方法技巧方法技巧热点二 三角函数的性质1第 1 讲 三角函数的图象与性质、三角恒等变换(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号三角函数图象 4,5,9三角函数性质 1,6,7,8,10,11三角恒等变换 2,3,12一、选择题1.(2018·广西桂林市一模)下列函数中,最小正周期为 π,且图象关于原点对称的函数是( A )(A)y=cos(2x+ ) (B)y=sin(2x+ )𝜋2(C)y=sin 2x+cos 2x (D)y=sin x+cos x解析:对于选项 A,y=-sin 2x,T= =π,且图象关于原点对称.故选 A.2.(2018·河北石家庄二中八月模拟)已知 sin(x+ )= ,则 sin 4x-2cos 3xsin x 等于( B )13(A) (B)- (C) (D)-79 79 429 429解析:由 sin 4x=sin (3x+x)=sin 3xcos x+cos 3xsin x 可得sin 4x-2cos 3xsin x=sin 3xcos x-cos 3xsin x=sin 2x=-cos [2(x+ )]=2sin2(x+ )-1=- .79故选 B.3.(2018·河北武邑中学调研)以角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,角 θ 终边过点 P(2,4),则 tan(θ+ )等于( A )(A)-3 (B)- (C) (D)313 13解析:由三角函数定义可得 tan θ= =2.𝑦𝑥所以 tan(θ+ )= = =-3.选 A.𝑡𝑎𝑛𝜃+11‒𝑡𝑎𝑛𝜃2+11‒24.(2018·江西省六校联考)设 ω0,函数 y=sin(ωx+ )-1 的图象向左平移 个单位后与2𝜋32原图象重合,则 ω 的最小值是( D )(A) (B) (C) (D)323 43 32解析:因为图象向左平移 个单位后与原图象重合,2𝜋3所以 是一个周期的整数倍,2𝜋3即 = ·k,ω=3k,k∈Z.2𝜋3 2𝜋𝜔ω 的最小值是 3.选 D.5.(2018·辽宁葫芦岛二模)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,00,0 ,1415 23 2𝜋3 12 5𝜋4即 ω0,ω0,| |0,ω0,| |0,ω0,| | )的部分图象如图所示.(1)求 f(x)的解析式;(2)方程 f(x)= 在[0, ]上的两解分别为 x1,x2,求 sin (x1+x2),32cos (x1-x2)的值.解:(1)由图象可知 A=2,T= - =π,7𝜋6因为 T= ,所以 ω=2,因为 f(x)的图象过点( ,2),即 2sin(2× +)=2, + =2kπ+ (k∈Z),即 =2kπ+ (k∈Z),又因为| | ,所以 = ,7所以 f(x)=2sin(2x+ ).(2)因为 f(x)的图象在 y 轴右侧的第一个波峰的横坐标为 ,图象 f(x)= 在[0, ]上的两解 x1,x2关于直线 x= 对称,32所以 x1+x2= ,所以 sin (x1+x2)= ,因为 cos (x1-x2)=cos(2x1- )=sin(2x1+ ),f(x1)=2sin(2x1+ )= ,32所以 cos (x1-x2)= .341第 2讲 解三角形1.(2018·全国Ⅱ卷,文 7)在△ABC 中,cos = ,BC=1,AC=5,则 AB等于( A )55(A)4 (B) (C) (D)22 5解析:因为 cos = ,所以 cos C=2cos2 -1=2× 2-1=- .35在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=52+12-2×5×1× - =32,所以 AB= =4 .故选 A.2.(2018·全国Ⅲ卷,文 11)△ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为,则 C等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:因为 S= absin C= =12 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝐶4= abcos C,12所以 sin C=cos C,即 tan C=1.因为 C∈(0,π),所以 C= .故选 C.3.(2017·全国Ⅰ卷,文 11)△ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则 C 等于( B )2(A) (B) (C) (D)𝜋12解析:△ABC 中,A+B+C=π,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C).因为 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,cos Asin C+sin Asin C=0,因为 sin C0,所以 sin A+cos A=0.所以 tan A=-1,2又因为 A∈(0,π),所以 A= ,3𝜋4由正弦定理得 = ,所以 = ,sin C= ,C 为锐角,2𝑠𝑖𝑛𝐶 12所以 C= ,故选 B.4.(2017·全国Ⅱ卷,文 16)△ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C+ccos A,则 B= . 解析:因为 2bcos B=acos C+ccos A,所以由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,因为 sin B≠0,所以 cos B= ,B∈(0,π),12所以 B= .答案:5.(2016·全国Ⅱ卷,文 15)△ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos 45C= ,a=1,则 b= . 解析:由题 sin A= ,sin C= ,35 1213sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= × + ×35 45= .6365则由 = 得 b= = = .𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴636535 2113答案:21136.(2014·全国Ⅰ卷,文 16)如图,为测量山高 MN,选择 A和另一座山的山顶 C为测量观测点.从 A点测得 M点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从 C点测得∠MCA=60°,已知山高 BC=100 m,则山高 MN= m. 3解析:Rt△ABC 中,∠CAB=45°,BC=100 m,所以 AB=100 m,AC=100 m,2因为∠MAC=75°,∠ACM=60°,所以∠AMC=180°-75°-60°=45°,△MAC 中,根据正弦定理= ,𝐴𝐶𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝑀𝐶𝐴𝑀𝑠𝑖𝑛∠𝑀𝐶𝐴所以 = ,1002𝑠𝑖𝑛45° 𝐴𝑀𝑠𝑖𝑛60°所以 AM=100 × × =100 (m).2 3Rt△MNA 中,∠MAN=60°,sin 60°= ,𝑀𝑁𝐴𝑀所以 MN=AM·sin 60°=100 × =150(m).3答案:1507.(2014·全国Ⅱ卷,文 17)四边形 ABCD的内角 A与 C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求 C和 BD;(2)求四边形 ABCD的面积.解:(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C,①BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C.②由①②得 cos C= ,故 C=60°,BD= .12 7(2)四边形 ABCD的面积S= AB·DAsin A+ BC·CDsin C12 124= ×1×2+ ×3×2 sin 60°12 12=2 .31.考查角度考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用,考查利用解三角形知识解决实际问题以及某些平面图形的计算问题.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有,难中易三种题型均有.(对应学生用书第 20~22页)正余弦定理、三角形面积公式的应用考向 1 解一般三角形【例 1】 (1)(2018·湖南省永州市一模)在△ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C的对边,若2sin B=sin A+sin C,cos B= ,且 S△ABC =6,则 b等于( )35(A)2 (B)3 (C)4 (D)5(2)(2018·超级全能生全国联考)已知△ABC 中,AC=4 ,BC=4,∠ABC= .2①求角 A和△ABC 的面积;②若 CD为 AB上的中线,求 CD2.(1)解析:因为 2sin B=sin A+sin C,所以 2b=a+c,因为 cos B= ,35所以 = ,𝑎2+𝑐2‒𝑏22𝑎𝑐 35即 = = -1= ,(𝑎+𝑐)2‒2𝑎𝑐‒𝑏22𝑎𝑐 35所以 ac= b2,1516所以 S△ABC = acsin B= × b2× =6,12 12 1516 45所以 b2=16,所以 b=4.故选 C.(2)解:①由 = ,得 sin∠BAC= ,125又 BC0,所以 c=3,故△ABC 面积为 bcsin A= .12 332法二 由正弦定理,得 = ,7𝑠𝑖𝑛𝜋3 2𝑠𝑖𝑛𝐵从而 sin B= .217又由 ab知 AB,所以 cos B= ,277故 sin C=sin (A+B)10=sin B+=sin B cos +cos B sin = ,32114所以△ABC 的面积为 absin C= .12 332解三角形与三角函数的综合考向 1 三角函数方法求三角形中的最值和范围【例 4】 (1)(2018·安徽江南十校二模)在△ABC 中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 A是 B和 C的等差中项, · 0,a= ,则△ABC 周长的取值范围是( )(A) , (B) ,(C) , (D) ,(2)(2018·福建厦门二检)等边△ABC 的边长为 1,点 P在其外接圆劣弧 AB上,则 S△PAB +S△PBC的最大值为 . 解析:(1)因为 A是 B和 C的等差中项,所以 2A=B+C,所以 A= ,又 · 0,则 cos(π-B)0,从而 B ,所以 0,若 f(x)的最小正周期为 4π.(1)求函数 f(x)的单调递增区间;(2)锐角三角形 ABC中,(2a-c)cos B=bcos C,求 f(A)的取值范围.解:(1)f(x)= sin 2ωx+ cos 2ωx=sin 2ωx+ ,12因为 f(x)的最小正周期为 4π,所以 ω= ,14所以 f(x)=sin x+ ,12令 2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,12解得 4kπ- ≤x≤4kπ+ ,k∈Z,4𝜋3 2𝜋3所以 f(x)的单调递增区间为 4kπ- ,4kπ+ ,k∈Z.4𝜋3 2𝜋3(2)因为(2a-c)cos B=bcos C,所以(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,整理得 2sin Acos B=sin A,cos B= ,B= ,12因为三角形 ABC是锐角三角形,所以 0A 且 0 -A ,2𝜋3所以 A ,所以 A+ ,12所以 f(A) .6+24从三角恒等变换角度把三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)的形式解决三角函数问题(如求最小正周期、单调区间、最值等),从正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的角度求解出三角形中的元素,结合三角函数的性质解决问题,特别要注意的事项是三角形中角的范围.14【例 1】 (2018·陕西咸阳 5月信息专递)在△ABC 中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且a=bcos C+csin B.(1)求角 B;(2)若 b=2 ,求△ABC 的面积最大值 .2解:(1)由已知和正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B,因为 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以 sin B=cos B,又 0°B180°,解得 B=45°.(2)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B,即(2 )2=a2+c2-2accos 45°,2整理得 a2+c2=8+ ac.2又 a2+c2≥2ac(当且仅当 a=c时取等号),所以 8+ ac≥2ac,即 ac≤4(2+ ),2 2所以 S△ABC = acsin B≤ ×4(2+ )× =2 +2,12 12 2 2故△ABC 面积的最大值为 2 +2.2【例 2】 (2018·江苏南京师大附中考前模拟)如图,A,B,C 三个警亭有直道相通,已知 A在 B的正北方向 6千米处,C 在 B的正东方向 6 千米处.3(1)警员甲从 C出发,沿 CA行至点 P处,此时∠CBP=45°,求 BP的距离;(2)警员甲从 C出发沿 CA前往 A,警员乙从 A出发沿 AB前往 B,两人同时出发,甲的速度为 3千米/小时,乙的速度为 6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达 B后原地等待,直到甲到达 A时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过 9千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长?解:(1)在△ABP 中,AB=6,∠A=60°,∠APB=75°,由正弦定理, = ,𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝑃𝐵𝐵𝑃𝑠𝑖𝑛𝐴即 BP= =6×322+64=123( 6‒ 2)4=3 ( - )3 6 2=(9 -3 )(千米),2 6故 BP的距离是(9 -3 )千米.2 615(2)甲从 C到 A,需要 4小时,乙从 A到 B需要 1小时.设甲、乙之间的距离为 f(t),要保持通话则需要 f(t)≤9.①当 0≤t≤1 时,f(t)= (6𝑡)2+(12‒3𝑡)2‒2·6𝑡(12‒3𝑡)𝑐𝑜𝑠60°=3 ≤9,即 7t2-16t+7≤0,解得 ≤t≤ ,又 t∈[0,1],8‒ 157 8+157所以 ≤t≤1,8‒ 157时长为 小时.15‒17②当 1t≤4 时,f(t)==3 ≤9,即 t2-6t+3≤0,解得 3- ≤t≤3+ ,6 6又 t∈(1,4],所以 1t≤4,时长为 3小时.3+ = (小时).15‒17故两人通过对讲机能保持联系的总时长是 小时.【例 3】 (2018·河南郑州外国语学校第十五次调研)在△ABC 中,角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin A+sin B= sin C.3(1)若 cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,求 sin A+sin B的值;(2)若 c=2,求△ABC 面积的最大值.解:(1)因为 cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,所以 1-sin2A=sin2B+1-sin2C+sin Asin B,所以 sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B,所以 a2+b2-c2=-ab,所以 cos C= =- ,𝑎2+𝑏2‒𝑐22𝑎𝑏 12又 0Cπ,所以 C= ,2𝜋316sin A+sin B= sin C= sin = .3 32𝜋3 32(2)当 c=2,a+b= c=2 ,3 3所以 cos C= = = -1,𝑎2+𝑏2‒𝑐22𝑎𝑏 (𝑎+𝑏)2‒2𝑎𝑏‒𝑐22𝑎𝑏 4𝑎𝑏所以 sin C= 1‒𝑐𝑜𝑠2𝐶== ,所以 S△ABC = absin C12= ab12= ,12 ‒16+8𝑎𝑏因为 a+b=2 ,3所以 a+b=2 ≥2 ,3 𝑎𝑏即 ab≤3,当且仅当 a=b= 时等号成立 ,3所以 S△ABC = ≤ = ,12 ‒16+8𝑎𝑏 2所以△ABC 面积的最大值为 .2(对应学生用书第 22页)【典例】 (2015·全国Ⅰ卷,文 17)(12分)已知 a,b,c分别是△ABC 内角 A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若 a=b,求 cos B;(2)若 B=90°,且 a= ,求△ABC 的面积.2评分细则:解:(1)由题设及正弦定理可得 b2=2ac.2分又 a=b,所以可得 b=2c,a=2c.4分由余弦定理可得 cos B= = .6分𝑎2+𝑐2‒𝑏22𝑎𝑐 14(2)由(1)知 b2=2ac.因为 B=90°,所以由勾股定理得 a2+c2=b2.8分17故 a2+c2=2ac,得 c=a= ,11分2所以△ABC 的面积为 1.12分【答题启示】(1)解三角形的基本工具是勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换公式,解题中首先要保证知识使用正确.(2)解三角形的基本思想是方程思想,通过(1)中的知识和已知条件得出关于求解目标的方程或者方程组,通过解方程或者方程组求得结果.第 2讲 解三角形高考导航热点突破备选例题阅卷评析真题体验高考导航 演真题 · 明备考ACB解析 :△ABC 中 ,A+B+C=π ,sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C).因为 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,cos Asin C+sin Asin C=0,因为 sin C0,所以 sin A+cos A=0.所以 tan A=-1,4.(2017· 全国 Ⅱ 卷 ,文 16)△ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B= acos C+ccos A,则 B= . 6.(2014· 全国 Ⅰ 卷 ,文 16)如图 ,为测量山高 MN,选择 A和另一座山的山顶 C为测量观测点 .从 A点测得 M点的仰角 ∠ MAN=60°,C 点的仰角 ∠ CAB=45° 以及∠ MAC=75°; 从 C点测得 ∠ MCA=60°, 已知山高 BC=100 m,则山高 MN= m. 答案 :1507.(2014· 全国 Ⅱ 卷 ,文 17)四边形 ABCD的内角 A与 C互补 ,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求 C和 BD;(2)求四边形 ABCD的面积 .考情分析1.考查角度考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用 ,考查利用解三角形知识解决实际问题以及某些平面图形的计算问题 .2.题型及难易度选择题、填空题、解答题均有 ,难中易三种题型均有 .热点突破 剖典例 · 促迁移热点一 正余弦定理、三角形面积公式的应用② 若 CD为 AB上的中线 ,求 CD2.方法技巧(1)正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程 ,据此解三角形的基本思路是根据公式和已知条件得出方程或者方程组 ,通过解方程或者方程组得出未知元素 .(2)已知两个内角和一条边的三角形只能使用正弦定理、已知三边的三角形只能使用余弦定理 (其中已知两边及其夹角的也可使用余弦定理 ),已知两边及一边的对角的既能使用正弦定理也能使用余弦定理 .答案 :(1)C(2)(2018·吉林大学附中四模 )为了在一条河上建一座桥 ,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图 ),要测算两点的距离 ,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC= 50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°, 则可以计算出 A,B两点的距离为 m. 方法技巧把实际问题归入可解三角形中 ,再根据正弦定理、余弦定理得出需要的量 ,解题中准确画出图形是关键一步 .答案 :(1)B (2)(2018·湖南长郡中学二模 )如图 ,在平面四边形 ABCD中 ,∠A=45°,∠B=60°, ∠D=150°,AB=2BC=4, 则四边形 ABCD的面积为 . 方法技巧平面图形中计算包括线段长度、图形面积、角度等 ,基本思想是找出平面图形中的可解三角形 ,通过解三角形计算出相关的元素 ,得出求解目标 .