2019届高考数学二轮复习 大题分层练（打包8套）文.zip

1大题分层练(一)三角、数列、概率统计、立体几何(A 组)1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos = , · =3.(1)求△ABC 的面积.(2)若 c=1,求 a 的值.【解析】(1)cos A=2cos2 -1=2× -1= ,又 A∈(0,π),sin A=(255)2 35= ,而 · =| |·| |·cos A= bc=3,所以 bc=5,45 35所以△ABC 的面积为: bcsin A= ×5× =2.12 12 45(2)由(1)知 bc=5,而 c=1,所以 b=5,所以 a= = =2 .25+1-2×3 52.已知{a n}是等差数列,{b n}是各项均为正数的等比数列,且 b1=a1=1,b3=a4, b1+b2+b3=a3+a4.(1)求数列{a n},{bn}的通项公式.(2)设 cn=anbn,求数列{c n}的前 n 项和 Tn.【解析】(1)设数列{a n}的公差为 d,{bn}的公比为 q,依题意得解得 d=1,q=2,{1+3𝑑=𝑞2,1+𝑞+𝑞2=2+5𝑑,所以 an=1+(n-1)=n,bn=1×2n-1=2n-1.(2)由(1)知 cn=anbn=n·2n-1,则Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1 ①2Tn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n ②①-②得:-T n=1·20+1·21+1·22+…+1·2n-1-n·2n= -n·2n=(1-n)·2n-1.所以 Tn=(n-1)·2n+1.3.天然气是较为安全的燃气之一,它不含一氧化碳,也比空气轻,一旦泄露,立即会向上扩散,不易积累形成爆炸性气体,安全性较高,其优点有:①绿色环保;②经济实惠;③安全可靠;④改善生活. 某市政府为了节约居民天然气,计划在本市试行居民2天然气定额管理,即确定一个居民年用气量的标准,为了确定一个较为合理的标 准,必须先了解全市居民日常用气量的分布情况,现采用抽样调查的方式,获得了 n位居民某年的用气量(单位:立方米),样本统计结果如图表.分组 频数 频率[0,10) 25[10,20) 0.19[20,30) 50[30,40) 0.23[40,50) 0.18[50,60] 5(1)分别求出 n,a,b 的值.(2)若从样本中年均用气量在[50,60](单位:立方米)的 5 位居民中任选 2 人作进一步的调查研究,求年均用气量最多的居民被选中的概率(5 位居民的年均用气量均不相等).【解析】(1 )用气量在[20,30)内的频数是 50,频率是 0.025×10=0.25,则 n= =200.500.25用气量在[0,10)内的频率是 =0.125,则 b= =0.012 5.用气量在[50,60]内的频率是 =0.025,则 a= =0.002 5.5200(2)设 A,B,C,D,E 代表用气量从多到少的 5 位居民,从中任选 2 位 ,总的基本事件为3AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共 10 个;包含 A 的有 AB,AC,AD,AE 共 4 个,所以 P= = .254. 如图(1),五 边形 ABCDE 中,ED=EA,AB∥CD,CD=2AB,∠EDC=150°.如图(2),将△EAD 沿 AD折到△PAD 的位置,得到四棱锥 P-ABCD.点 M 为线段 PC 的中点,且 BM⊥平面 PCD.(1)求证:平面 PAD⊥平面 PCD.(2)若直线 PC 与 AB 所成角的正切值为 ,设 AB=1,求四棱锥 P-ABCD 的体积.【解析】(1)取 PD的中点 N,连接 AN,MN,则 MN∥CD,MN= CD,又因为 AB∥CD,AB= CD,12所以 MN∥AB,MN=AB,则四边形 ABMN 为平行四边形,所以 AN∥BM,又 BM⊥平面 PCD,所以 AN⊥平面 PCD,又因为 AN⊂平面 PAD,所以平面 PAD⊥平面 PCD.(2)取 AD 的中点 O,连接 PO,因为 AN⊥平面 PCD,所以 AN⊥PD,AN⊥CD.由 ED=EA 即 PD=PA 及 N 为 PD 的中点,可得△PAD 为等边三角形,所以∠PDA=60°,PO⊥AD,又∠EDC=150°,所以∠CDA=90°,所以 CD⊥AD,所以 CD⊥ 平面 PAD,CD⊂平面 ABCD,所以平面 PAD⊥平面 ABCD.所以 AD=平面 PAD∩平面 ABCD,4PO⊂平面 PAD,PO⊥AD,所以 PO⊥平面 ABCD,所以 PO 是四棱锥 P-ABCD 的高.因为 AB∥CD,所以∠PCD 为直线 PC 与 AB 所成的角,由(1)可得∠PDC=90°,所以 tan∠ PCD= = ,12所以 CD=2PD,由 AB=1,可知 CD=2,PA=AD=AB=1,则 VP-ABCD= PO·S 四边形 ABCD= .1大题分层练(七)解 析几何、函数与导数(C 组)1.已知函数 f(x)= ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).(1)若曲线 y=f(x)在 x=1和 x=3处的切线互相平行,求 a的值.(2)求 f(x)的单调区间.(3)设 g(x)=x2-2x,若对任意 x1∈(0,2],均 存在 x2∈(0,2] ,使得 f(x1)0).2𝑥(1)由题意知 f′(1)=f′(3),即 a-(2a+1)+2=3a-(2a+1)+ ,解得 a= .23 23(2)f′(x)= (x0).①当 a≤0 时,因为 x0,所以 ax-10;在区间(2,+∞)上,f′(x)2,在区间(0,2)和 上,f′(x)0;在区间 上,1𝑎 (2,1𝑎)f′(x) 时,00;在区间 上,12 1𝑎 (0,1𝑎) (1𝑎,2)f′( x)ln 2-1,故 ln 2-1 时,f(x)在 上单调递增;在 上单调递减,故 f(x)max=12 (0,1𝑎] [1𝑎,2]f =-2- -2ln a.12𝑎由 a 可知 ln aln ln =-1,所以 2ln a-2,即-2ln aln 2-1.2.如图,已知椭圆 C: +y2=1(a1)的上顶点为 A,右焦点为 F,直线 AF与圆 M:x2+y2-6x-𝑥2𝑎22y+7=0相切.(1)求椭圆 C的方程.(2)若不过点 A的动直线 l与椭圆 C相交于 P,Q两点,且 · =0,求证:直 线 l过定点,并求出该定点 N的坐标.【解析】(1)将圆 M的一般方程 x2+y2-6x-2y+7=0化为标准方程为(x-3) 2+(y-1)2=3,圆 M的圆心坐标为 M(3,1),半径 r= .由 A(0,1),F(c,0)(c= )得直线 AF: +y=1,即3 𝑎2-1 𝑥𝑐x+cy-c=0.由直线 AF与圆 M相切,得 = .3所以 c= 或 c=- (舍去). 所以 a= ,所以椭圆 C的方程为 +y2=1.2 3𝑥23(2)由 · =0,知 AP⊥AQ,从而直线 AP与坐标轴不垂直,3由 A(0,1)可设直线 AP的方程为 y=kx+1,直线 AQ的方程为 y=- x+1(k≠0),1𝑘将 y=kx+1代入椭圆 C的方程 +y2=1并整理得:(1+3k 2)x2+6kx=0,解得 x=0或 x=-,因此 P的坐标为 ,(- 6𝑘1+3𝑘2,- 6𝑘21+3𝑘2+1)即 .(- 6𝑘1+3𝑘2,1-3𝑘21+3𝑘2)将上式中的 k换成- ,得 Q .所以直线 l的方程为 y=1𝑘 ( 6𝑘𝑘2+3,𝑘2-3𝑘2+3)+ ,𝑘2-3𝑘2+3-1-3𝑘21+3𝑘26𝑘𝑘2+3+ 6𝑘1+3𝑘2(𝑥- 6𝑘𝑘2+3)𝑘2-3𝑘2+3化简得直线 l的方程为 y= x- .因此直线 l过定点 N .𝑘2-14𝑘 12 (0,-12)1大题分层练(三)三角、数列、概率统计、立体几何(C 组)1.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(2a-b)·cos C=c·cos B.(1)求角 C 的大小.(2)若 c=2,△ABC 的面积为 ,求该三角形的周长.【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理知 = = =2R,又因为(2a-b)·cos C=c·cos B,所以 2sin Acos C=sin Bcos C+cos Bsin C,即 2sin Acos C=sin A.因为 00,所以 cos C= .12又 0N 时,总有 1 008,所以存在 N≥1 008,使得当 nN 时,总有 ,所以 N 的最小值为 1 008.|𝑆𝑛-12|3.某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业,在一个开学季内,每售出 1 盒该产品获利润 30 元,未售出的产品,每盒亏损 10 元.根据历史资料,得到开学季市场需求量的频率分布直方图,如图所示.该同学为这个开学季购进了 160 盒该产品,以 x(单位:盒,100≤x≤200)表示这个开学季内的市场需求量,y(单位:元)表示这个开学季内经销该产品的利润.(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量 x 的平均数.(2)将 y 表示为 x 的函数.(3)根据直方图估计利润 y 不少于 4 000 元的概率.3【解析】(1)由频率分布直方图得:需求量为[100,120)的频率=0.005×20=0.1,需求量为[120,140)的频率=0.01×20=0.2,需求量为[140,160)的频率=0.015×20=0.3,需求量为[160,180)的频率=0.012 5×20=0.25,需求量为[180,200]的频率=0.007 5×20=0.15.则平均数 =110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153.𝑥(2)因为每售出 1 盒该产品获利润 30 元,未售出的产品,每盒亏损 10 元,所以当100≤x≤160 时,y=30x-10×(160-x)=40x-1 600;当 160x≤200 时,y=160×30=4 800,所以 y={40𝑥-1 600,100≤𝑥≤160,4 800,160𝑥≤200, (3)因为利润不少于 4 000 元 ,所以 40x-1600≥4 000,解得 x≥140.所以由(1)知利润不少于 4 000 元的概率 P=1-0.3=0.7.4.如图,PA⊥平面 ABCD,矩形 ABCD 的边长 AB=1,BC=2,E 为 BC 的中点.(1)证明:PE⊥DE.(2)如果异面直线 AE 与 PD 所成的角的大小为 ,求 PA 的长 及点 A到平面 PED 的距离.【解析】(1)连接 AE,由 AB=BE=1,得 AE= ,同理得,DE= ,AE2+DE2=4=AD2,由勾股定理得∠AED=90°,DE⊥AE,因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥DE.又因为 PA∩AE= A,所以 DE⊥平面 PAE,4所以 PE⊥DE.(2)取 PA 的中点 M,AD 的中点 N,连接 MC,NC,MN,AC.所以 NC∥AE,MN∥PD,所以∠MNC 的大小等于异面直线 PD 与 AE 所成的角或其补角的大小,即∠MNC= 或 (或者由观察可知,∠MNC= ,不需分类讨论 ).𝜋3设 PA=x,则 NC= ,MN= ,MC= .2若∠MNC= ,由 cos∠MNC= =- ,得 PA=2.12所以 VA-PDE=VP-DAE= × × × ×2= .1312 2 2 23在 Rt△PED 中,PE= ,DE= ,所以 S△PED = × × = .所以点 A 到平面 PED 的距612 2 6 3离为 = .233若∠MNC= ,由 cos∠MNC= = ,显然不适合 题意.𝜋3 12综上所述,PA=2,点 A 到平面 PED 的距离为 .1大题分层练(二)三角、数列、概率统计、立体几何(B 组)1.在平面四边形 ABCD 中,AB⊥BC,AB=2,BD= ,∠BCD=2∠ABD,△ABD 的面积为 2.(1)求 AD 的长.(2)求△CBD 的面积.【解析】(1)由已知 S△ABD = AB·BD·sin∠ABD= ×2× sin∠ABD=2,所以12 12 5sin∠ABD= ,又∠ABD∈ ,所以 cos∠ABD= ,在△ABD 中,由余弦定理得:255AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=5,所以 AD= .(2)由 AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD= ,𝜋2所以 sin∠CBD=cos∠ABD= ,又∠BCD=2∠ABD,sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD= ,45∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π- -2∠ABD= -∠ABD=∠CBD,𝜋2所以△CBD 为等腰三角形,即 CB=CD,在△CBD 中,由正弦定理得: =𝐵𝐷𝑠𝑖𝑛∠𝐵𝐶𝐷,𝐶𝐷𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐵𝐷所以 CD= = = ,542S△CBD = CB·CD·sin∠BCD= × × × = .12 12545445582.在各项均为正数的等比数列{a n}中,a 1a3=64,a2+a5=72,数列{b n}的前 n 项和 Sn满足 Sn=.𝑛2+𝑛2(1)求数列{a n},{bn}的通项公式.(2)设 cn= ,求数列{c n}的前 n 项和 Tn.【解析】(1)设数列{a n}的公比为 q,因为 a1a3=64,a2+a5=72,所以(a 1q)2=64,a1q(1+q3)=72,所以 q=2,a1=4,所以数列{a n}的通项公式为 an=4×2n-1=2n+1.当 n=1 时,b 1=S1=1,当 n≥2 时,b n=Sn-Sn-1= - =n.𝑛2+𝑛2综上可得:b n=n.(2)cn= = = - .1𝑛所以 Tn= + +…+(12-13) (1𝑛- 1𝑛+1)=1- = .𝑛𝑛+13.某中学举行了一次“中国诗词大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100分)作为样本(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).(1)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x,y 的值.(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“中国谜语大会”,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率.3【解析】(1)由题意可知,样本容量 n= =50,y= =0.004,x= 三0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.(2)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5,分数在[ 90,100]内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2.抽取的 2 名 学生的所有情况有 21种,分别为:(a 1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4), (a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).其中 2 名学生的分数都不在[90,100]内的情况有 10 种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5).所以所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率 P=1- = .11214.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 AD 上的点,点 F 为边 CD 的中点,AB=AE= AD=4,现将△ABE23沿 BE边折至△PBE 位置,且平面 PBE⊥平面 BCDE.(1)求证:平面 PBE⊥平面 PEF.(2)求四棱锥 P-BCFE的体积.【解析】(1)在 Rt△DEF 中,因为 ED=DF,所以∠DEF=45°.在 Rt△ABE 中,因为 AE=AB,所以∠AEB=45°,所以∠BEF=90°,则 EF⊥BE.4因为平面 PBE⊥平面 BCDE,且平面 PBE∩平 面 BCDE=BE,所以 EF⊥平面 PBE,因为 EF⊂平面 PEF,所以平面 PBE⊥平面 PEF.(2)过点 P 作 PO⊥BE 于点 O,因为 PO⊂平面 PBE,平面 PBE⊥平面 BCDE 且平面 PBE∩平面 BCDE=BE,所以 PO⊥平面 BCDE,所以四棱锥 P-BCFE 的高 h=PO=2 .2S 四边形 BCFE=S 矩形 ABCD-S△ABE -S △DEF =6×4- ×4×4- ×2×2=14,12则 VP-BCFE= S 四边形 BCFE·h= ×14×2 = .13 13 228231大题分层练(五)解析几何、函数与导数(A 组)1.在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 C的顶点是原点,以 x轴为对称轴,且经过点 P(1,2).(1)求抛物线 C的方程.(2)设点 A,B在抛物线 C上,直线 PA,PB分别与 y轴交于点 M,N,|PM|=|PN|.求直线 AB的斜率.【解析】(1)依题意,设抛物线 C的方程为 y2=ax(a≠0).由抛物线 C经过点 P(1,2),得 a=4,所以抛物线 C的方程为 y2=4x.(2)由题意作出图象如图所示.因为|PM|=|PN|,所以∠PMN=∠PNM,所以∠1=∠2,所以直线 PA与 PB的倾斜角互补,所以 kPA+kPB=0.依题意,直线 AP的斜率存在且不为零,设直线 AP的方程为 y-2=k(x-1)(k≠0),将其代入抛物线 C的方程,整理得 k2x2-2(k2-2k+2)x+k2-4k+4=0.设 A(x1,y1),则 1×x1= ,y1=k(x1-1)+2= -2,所以 A𝑘2-4𝑘+4𝑘2 4𝑘.以-k 替换点 A坐标中的 k,得 B .((𝑘+2)2𝑘2 ,-4𝑘-2)所以 kAB= =-1.即直线 AB的斜率为-1.2.已知函数 f(x)=ex-2(a-1)x-b,其 中 e为自然对数的底数.(1)若函数 f(x)在区间[0,1]上是单调函数,试求实数 a的取值范围.(2)已知函数 g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,且 g(1)=0,若函数 g(x)在区间[0,1]上恰有 3个零点,求实数 a的取值范围.【解析】(1)根据题意,函数 f(x)=ex-2(a-1)x-b,其导数为 f′(x) =ex-2(a-1),当函数 f(x)在区间[0,1]上单调递增时,f′(x)=e x-2(a-1)≥0 在区间[0,1]上恒成立,2所以 2(a-1)≤(e x)min=1(其中 x∈[0,1]),解得 a≤ ;当函数 f(x)在区间[0,1]单调递减时,f′(x)=e x-2(a-1)≤0 在区间[0,1]上恒成立,所以 2(a-1)≥(e x)max=e(其中 x∈[0,1]),解得 a≥ +1.综上所述,实数 a的取值范围是𝑒2∪ .(-∞, 32](2)函数 g(x)=ex-(a-1)x2-bx-1,则 g′(x)=e x-2(a-1)x-b,分析可得 f(x)=g′(x).由 g(0)=g(1)=0,知 g(x)在区间(0,1)内恰有一个零点,设该零点为 x0,则 g(x)在区间(0,x 0)内不单调,所以 f(x)在区间(0,x 0)内存在零点 x1,同理,f(x)在区间(x 0,1)内存在 零 点 x2,所以 f(x)在区间(0,1)内恰有两个零点.由(1)知,当 a≤ 时,f( x)在区间[0,1]上单调递增,故 f(x)在区间(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当 a≥ +1时,f(x)在区间[0,1]上单调递减,故 f(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意;所以 0,f(1)=e-2a+2-b0.由 g(1)=0,得 a+b=e,所以 f = +1-(a+b)= +1-e0,f(1)=2-a0,所以 e-1a2.综上所 述,实数 a的取值范围为(e-1,2).1大题分层练(八)解析几何、函数与导数(D 组)1.过椭圆 C: + =1(ab0)右焦点 F(1,0)的直线与 椭圆 C交于 A,B两点,自 A,B向直线𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2x=5作垂线,垂足分别为 A1,B1,且 = .|𝐴𝐴1||𝐴𝐹| 5(1)求椭圆 C的方程.(2)记△AFA 1,△FA 1B1,△BFB 1的面积分别为 S1,S2,S3,证明: 是定值,并求出该定值.【解析】(1)设 A(x,y),则|AA 1|=|5-x|,|AF|= ,由 = ,得(𝑥-1)2+𝑦2 |𝐴𝐴1||𝐴𝐹| 5+ =1,而 A是椭圆 C上的任一点,所以椭圆 C的 方程为 + =1.𝑥25𝑦24 𝑦24(2)由 题意知,直线 AB的斜率不可以为 0,而可以不存在,所以可设直线 AB的方程为 x=my+1.设 A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4m 2+5)y2+8my-16=0,所以 y1+y2=- ,y1y2=- . ①8𝑚4𝑚2+5 164𝑚2+5由题意得 ,S1= |AA1||y1|= |5-x1||y1|,12S3= |BB1||y2|= |5-x2||y2|,S2= |A1B1|·4=2|y1-y2|,12所以 = ·(5-𝑥1)(5-𝑥2)(-𝑦1𝑦2)(𝑦1-𝑦2)22= ·=- · ,将①代入,化简并计算可得 = ,14所以 是定值,且该定值为 .142.已知函数 f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R).(1)求 f(x)的单 调区间与极值.(2)若函数在区间(1,+∞)上单调递减,求实数 a的取 值范围.【解析】(1)函数 f(x)=ln x-a2x2+ax的定义域为(0,+∞) ,f′(x )= -2a2x+a=-2𝑎2𝑥2+𝑎𝑥+1𝑥= .-(2𝑎𝑥+1)(𝑎𝑥-1)𝑥①当 a=0时,f′(x)= 0,所以 f(x)的单调递增区间为(0,+∞ ),此时 f(x)无极值.1𝑥②当 a0时,令 f′ (x)=0,得 x= 或 x=- (舍去) .12𝑎f(x)的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,所以 f(x)有极大值为 f =-ln a,无极小 值.(1𝑎)③当 a0时,f(x)的单调递减区间为 ,依题意,得 得 a≥1.{1𝑎≤1,𝑎0,③当 a0时,f(x)的单调递减区间为 ,依题意,得 即(- 12𝑎,+∞ ) {-12𝑎≤1,𝑎0, a≤- .综上,实数 a的取值范围 是 ∪[1,+∞).1大题分层练(六)解析几何、函数与导数(B 组)1.已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,且以两焦点为直径的圆的内接正方形面𝑥2𝑎2𝑦2𝑏2积为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程.(2)若直线 l:y=kx+2 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,在 y 轴上是否存在点 D,使直线 AD 与 BD 的斜率之和 kAD+kBD为定值?若存在,求出点 D 坐标及该定值,若不存在,试说明理由.【解析】(1)由已知可得 解得 a2=2,b2=1,c2=1,所求椭圆方程为+y2=1.𝑥22(2)由 得(1+2k 2)x2+8kx+6=0,则 Δ=64k 2-24(1+2k2)=16k2-240,解得 k .设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= ,设存在点 D(0,m),则 kAD= ,kBD= ,所以 kAD+kBD=2= = .6𝑘-4𝑘(2-𝑚)3要使 kAD+kBD为定值,只需 6k-4k(2-m)=6k-8k+4mk=2(2m-1),k 与参数 m 无关,故 2m-1=0,解得 m= ,当 m= 时,k AD+kBD=0.12 12综上所述,存在点 D ,使得 kAD+kBD为定值,且定值为 0.2.已知函数 h(x)=(x-a)ex+a.(1)若 x∈[-1,1],求函 数 h(x)的最小值.(2)当 a=3时,若对∀x 1∈[-1,1],∃x 2∈[1,2],使得 h(x1)≥ -2bx2-ae+e+ 成立,求 b 的范围.【解析】(1)h′(x)=(x-a+1)e x,令 h′(x)=0 得 x=a-1.当 a-1≤-1 即 a≤0 时,在[-1,1]上 h′(x)≥0,h(x)递增,h(x)的最小值为 h(-1)=a- .1+𝑎𝑒当-1a-11 即 0a2 时,在 x∈[-1,a-1]上 h′(x)≤0,h(x)为减少的,在 x∈[a-1,1]上h′(x)≥0,h(x)为增加的.所以 h(x)的最小值为 h(a-1)=-ea-1+a.当 a-1≥1 即 a≥2 时,在[-1,1]上 h′(x)≤0,h(x)递减,h(x)的最小值为 h(1)=(1-a)e+a.综上所述,当 a≤0 时 h(x)的最小值为 a- ,当 a≥2 时 h(x)的最小值为(1-a)e+a,当1+𝑎𝑒0a2 时,h(x)最小值为-e a-1+a.(2)令 f(x)=x2-2bx-ae+e+ ,由题可知“对∀x 1∈[-1,1],∃x 2∈[1,2],使得 h(x1)≥ -2bx2-ae+e+ 成立”等价于“f(x)在[1,2]上的最 小值不大于 h(x)在[-1,1]上的最小值”.即 h(x)min≥f(x) min.由(1)可知,当 a=3 时,h(x) min=h(1)=(1-a)e+a=-2e+3.3当 a=3 时,f(x)=x 2-2bx-2e+ =(x-b)2-b2-2e+ ,x∈[1,2],①当 b≤1 时,f(x) min=f(1)=-2b-2e+ ,由-2e+3≥-2b-2e+ 得 b≥ ,与 b≤1 矛盾,舍去.②当 1b2 时,f(x) min=f(b)=-b2-2e+ ,由-2e+3≥-b 2-2e+ 得 b2≥ ,与 1b2 矛盾,舍去.92③当 b≥2 时,f(x) min=f(2)=-4b-2e+ ,由-2e+3≥-4b-2e+ 得 b≥ .综上,b 的取值范围是 .1大题分层练(四)三角、数列、概率统计、立体几何(D 组)1.已知函数 f(x)= sin(ωx+φ)+2sin 2 (ω0,07.879,所以可以在犯错误的概率不超过 0.05的前提下认为市民参加广场活动的项目与性别有关.(2)由表可知,该市市民跳广场舞的男女性别比是 1∶3,所以抽取的四人中只有 1名男性,其余 3名是女性,从中任选两人的所有结果是:(男,女 1),(男,女 2),(男,女 3),(女 1,女 2),(女 1,女 3),(女 2,女 3),其中是一男一女的有 三种.设“这两名管理员是一男一女”为事件 A,则 P(A)= = .12所以这两名管理员是一男一女的概率为 .124.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面为正三角形,E,F,G 分别是 BC,CC1,BB1的中点.(1)若 BC=BB1,求证:BC 1⊥平面 AEG.(2)若 D为 AB的中点,∠CA 1D=45°,四棱锥 C-A1B1BD的体积为 ,求三棱锥 F-AEC的表面4积.【解析】(1)如图,因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直 三棱柱,所以 AE⊥BB 1,又因为 E是正三角形 ABC的边 BC的中点,所以 AE⊥BC,又 BC∩BB 1=B,所以 AE⊥平面 B1BCC1,则 AE⊥BC 1,连接 B1C,因为 BC=BB1,易知四边形 B1BCC1为正方形,则 BC1⊥B 1C,又 GE∥B 1C,则 BC1⊥GE,因为 GE∩AE=E,所以 BC1⊥平面 AEG.(2)因为△ABC 是正三角形,所以 CD⊥AB,又因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 CD⊥AA 1,所以 CD⊥平面 A1ABB1,所以 CD⊥A 1D.设 AB=a,由题意,∠CA 1D=45°,所以 CD=A1D= a,所以 AA1= a,所以 = · a· · a· a= ,𝑉𝐶-𝐴1𝐵1𝐵𝐷13 1232所以 a=2,所以三棱锥 F-AEC的表面积为S= ×1× + ×2× + × × + ×1× = .12 12 12 3 24+112 332+32