1、2011-2012 学年高一数学必修 1（人教版）同步练习第三章第一节函数与方程一. 教学内容：函数与方程二. 考纲要求5、函数与方程（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。6、函数模型及其应用（1）指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。（2）函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。【典型例题】（一）函数与方程部分例 1、求函数 6x7y3的零点。分析：函数 的零点，就是
2、方程 06x73的实数根。解析： )6x()(33)3x(2)1(61x)(2解 073即 0)3x(2x，函数 6y3的零点为 3，1，2。点评：求三次函数的零点关键是因式分解，而三次函数是容易进行分解因式的或者是已经分解好的。例 2、若函数 axy2的定义域是一切实数，求实数 a 的取值范围。分析： cba)x(f恒大于等于零的条件是0cba或解析：a0对一切实数 x，不等式a1x20 恒成立。0a14)(0a2解得 点评：这是与定义域有关的逆向思维问题，即先知道了函数的定义域然后求字母范围，最后转化为含字母系数的一元二次不等式恒成立的问题。例 3、借助计算机或计算器用二分法求函数 x2l
3、n)(f在区间（2，3）内的零点。 （精确到 0.1）分析：使用计算器或计算机，最好使用几何画板软件，画出函数图象，数形结合，用二分法去求函数零点的近似值，同时注意精确度要求。解析：利用计算机作出函数 f(x)的图象如图所示。 43.0)(f7.)(f， ，取区间（2，3）的中点5.2x1，则 16.0)(f，函数 f(x)的零点 0x（2，2.5） ，再取区间（2，2.5）的中点 125.x，则 87.(f，则 x（2.125，2.5） ，同理 （2.3125，2.5） ， 0x（2.3125，2.4062） ，0（2.3125，2.3593） ，由于|2.35932.3125|=0.046
4、80）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 2 份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由。剖析：本题主要考查运用函数知识解决实际问题的能力，考查分析问题的能力和数学思维能力。解析：（1）f(0)=1 表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样。（2）函数 )x(f应该满足的条件和具有的性质是：1)0(f； 2)(f；在 )0， 上， )x(f单调递减，且 1)x(f0。（3）设仅清洗一次，残留的农药量为 21a，清洗两次后，残留的农药量为222 )a4(6a1f则 222221 )a(8)4(6af 。于是当 时， 1f；当 a时， 1f；当 0时， 2。因
5、此当 a时，清洗两次后残留的农药量较少；当 2时，两种清洗方法具有相同的效果；当 时，一次清洗残留的农药量较少。点悟：本题充分体现了数学建模思想，在解题思维中蕴含着分类讨论思想以及灵活应用比较法。例 4、 （2004 湖南）如图所示，已知曲线 )0x(yC31： 与曲线 x32yC： （ 0）交于点O、A。直线 x=t（00，当 x=0.1 时，W 有最小值，即总费用最省。答：当 CE=CF=0.1 米时，总费用最省。 14 分例 4、 （2005 天津，20） （12 分）某人在一山坡 P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米） ，塔所在的山高 OB=220（米） ，OA
6、=200 （米） ，图中所示的山坡可视为直线 l，且点 P 在直线 l 上，l 与水平地面的夹角为 ， 21tan。试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角 BPC 最大（不计此人的身高）？剖析：本题考查根据实际问题建立函数关系并应用解析几何和代数的方法解决实际问题的能力。解析：如图所示，建立平面直角坐标系，则 A（200，0） ，B（0，220） ，C（0，300） 。直线 l 的方程为 tan)20x(y，则 20xy设点 P 的坐标为（x，y） ，则)(P，由经过两点的直线的斜率公式 x2640x20k83PBPC由直线 PC 到直线 PB 的夹角的公式得 x264081k1CtanPCB)0(28x6401x2要使 tanBPC 达到最大，只须28x641达到最小。由均值不等式0628x6401当且仅当时上式取得等号。故当 x=320 时，tanBPC 最大，这时，点 P 的纵坐标 y 为6023y。由实际问题知， 2BPC，所以 tanBPC 最大时，BPC 最大。故当此人距水平地面 60 米高时，观看铁塔的视角BPC 最大。例 5、 （2005 北京春，19） （13 分）经过长期观测得到，在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量
