1、1,1.1 实数,一.实数与实数的绝对值 二.常用的实数集微积分学主要是在实数范围内研究函数，所以我们先复习一下有关实数的基本知识。实数由有理数和无理数两部分组成。有理数包括零、整数、分数。有理数总可以表示为分数p/q的形式，也可以表示为整数、有限小数或无限循环小数的一种。无理数只能表示为无限不循环小数。,2,实数与数轴上的点,数轴：具备了原点、方向和单位长度的直线。 (直线上取一点O表示实数0,叫原点;取一点U表示正数1,OU就是长度单位;从O到U的方向规定为正向,反之UO方向为负向.) 数轴上的的点恰好与全体实数形成一一对应的关系。我们可以把数轴看成是实数的直观图形(几何模型),即一个实数
2、可以理解为数轴上的一个点。 有理数、无理数都具有稠密性,而实数不仅具有稠密性,而且具有连续性。,3,实数的绝对值,定义：设a为一个实数，定义a的绝对值(记为|a|)为：,若a、b为两个实数，则由以上定义可知,绝对值的几何意义： |a |表示点a与原点0的距离； |a-b |表示点a与点b之间的距离。,4,利用绝对值的几何意义解题,5,利用绝对值的几何意义解题,6,绝对值有下列基本性质：,7,绝对值有下列基本性质：,8,绝对值有下列基本性质：(续）,9,常用实数集,全体实数的集合记为R，全体自然数的集合记为N，全体整数的集合记为Z，全体有理数的集合记为Q 。其它常见的实数集合有区间I： 闭区间：
3、a,b=x| axb 开区间：(a,b)=x| axb 半开区间：(a,b=x| ax b, a,b)=x| a xb 注：以上a,b均满足a、bR,且ab;又当a、b中有一个为时,称无穷区间;显然R=(- ,+ )。,10,无穷区间,(-,b=x| - xb=x| xb (-,b)=x| - xb=x| xb a, ,+ )=x| a x + =x| a x (a, ,+ )=x| a x + =x| a x R=(- , + )= x| - x + ,11,邻域,目的：考虑某点x0附近的所有点构成的集合 定义：设为某个正数，称开区间（ x0 ， x0 ）为点x0的邻域。 注：邻域是开区间；
4、邻域是考虑某点附近点的集合，故一般不会很大；邻域的中心： x0 ；邻域的半径：0 例：|x-5|0.5 以点x0 5为中心，以0.5为半径的邻域，即（4.5，5.5）,12,空心领域,邻域U(x0,)： U(x0,)(x0-, x0+),简记为U(x0)。 空心邻域U0(x0,)： U0(x0,) (x0-, x0+)x0 左、右（半）邻域：U-(x0) (x0-, x0) U+(x0) (x0, x0+) 注：领域，左、右邻域均为开区间。 例：0|x-1|2 以点x0 1为中心，以2为半径的空心邻域，即,13,区间、邻域示意图,闭区间a,b,开区间(a,b),无穷区间(a,+),无穷区间(-
5、,b),邻域,空心邻域,14,1.2 函数的概念,一.常量与变量 二.函数概念及其表示 三.分段函数 四. 定义域的求法 微积分是研究函数变化规律的学科，故我们先关注一下研究过程中的常量与变量。 常量:在过程进行中始终保持一定的数值 变量:在过程进行中可以取不同的数值 例如:密闭容器内的气体加热,气体的体积和气体的分子个数保持一定,是常量;气体的温度和压力是变量. 常量与变量是相对而言的，并非确定不变的。 所谓函数关系是指几个变量之间的某种确定的特殊联系方式。,15,函数关系引例,引例1,圆面积,引例2,自由落体运动,引例3,引例4,16,函数的概念,定义 设x和y是两个变量, D是一个给定的
6、非空实数集，若对于每个数xD, 按照一定对应法则f 总有唯一确定的数值y和它对应，则称f 是定义在D上一个的函数，记作y=f (x) 。称D是函数f 的定义域，称x为自变量，y为因变量。 当x0D，称f (x0)为函数在x0处的函数值;函数值的全体组成实数集:Z=y| y=f (x), xD称其为函数的值域。又定义域D常记为Df ,当定义域为区间时，则称为定义区间。 由于通常是通过函数值f (x)的变化来研究函数f的性质的，故习惯上也称f (x)或y是x的函数。,17,函数概念的注解,1：要求定义域D为非空集合。若D为空集，则按照规则找不到与之相对应的y值。,2:函数的实质为定义域D上的对应规
7、则f。由于通常是通过函数值f (x)的变化来研究函数f的性质的，故习惯上也称f (x)或y是x的函数。,3：由f确定的y值，必须是唯一的,4:当定义域和对应规则确定后，函数关系随之确定,18,函数的两要素,因变量,对应法则f,定义域与对应法则.,自变量,判定下面各组中两函数是否相同？,不相同,相 同,相 同,19,函数的表示法,常用的函数表示法主要有三种：公式法(引例1、2)，图示法(引例3)，表格法(引例4)。 各种表示法各有其特点： 图示法使函数的变化表现得较直观，表格法(如各种函数表、经济统计报表)便于求函数值，而公式法便于运算和分析，故在学习研究数学理论上用得最多。 另外有用语言定义的
8、函数。如“y为不超过x的最大整数”，通常记为y=x.,20,分段函数,分段函数：用公式表示函数时，有时需要在定义域的不同范围内分别用不同的解析式来表示该函数完整的对应规则。,例：,注意：分段函数在其整个定义域上是一个函数,而不是几个函数！分段函数的定义域为各分段的子定义域的并集,21,分段函数,例：,22,分段函数应用示例(纳税),我国于2008年3月1日发布中国人民共和国个人所得税法规定（前4级）,其中应纳税所得额为月收入减2000元,每一种工资额都应有唯一交纳税额.,那么，收入与个人所得税间的函数关系为：,23,定义域求法,约定：如未特别指明,函数定义域Df即为能使函数表达式有意义的自变量
9、一切可取(实数)值范围。,解,要使,有意义，必须有,例1：,的定义域,求函数,例2:,的定义域Df ,求函数,解：要使上式有意义，须使：x 5 且 x -1故： Df =(-,-1)(-1,5,24,分段函数求定义域示例,例3,解,故f(x+3)的定义域为：-3,-1,25,总结,5：有限个函数经四则运算而得到函数，其定义域是这有限个函数定义域的交集。,26,练习,27,练习答案,1: 0,12:Df =(0,1)(1,4,28,几个特殊函数：符号函数,29,几个特殊函数：取整函数,取整函数 y=x x表示不超过x的最大整数,阶梯曲线,30,几个特殊函数：狄利克雷函数,31,几个特殊函数：取最
10、值函数,32,1.3 函数的基本性质,一.单调性 二.有界性 三.奇偶性 四.周期性,33,函数的单调性,单调减少,单调增加,设函数 f (x)在D上有定义.如果对于区间 I ( I D )内的任意两点x1、x2 ,当 x1 f (x2) )则称函数f (x)在区间 I 内是(严格)单调的函数。 通常,可将单调性细分为单调递增()和单调递减()。,34,函数的有界性,设函数 f (x)在D上有定义.如果存在一正数M,使不等式 | f (x)|M 对任一xD都成立,则称f (x)在D上有界;如果这样的M不存在，则称f (x)在D上无界。,有界,无界,35,函数的上界和下界,1：if f(x)M,
11、 then f(x)在D上有上界； 2： if f(x)M, then f(x)在D上有下界 3： f(x)在D上有界 iff f(x)在D上既有上界又有下界 例：y=sin(x)在（，）上有界 思考：y=x2是有界还是无界？ 分析：有界性必须指明区间 y=xsin(x)在（0,）上是有界或无界？,36,练习,37,函数的奇偶性,设定义域D关于原点对称，若xD,有f (-x) = f (x)成立,则称f (x)在D上为偶函数;若xD,有f (-x) = -f(x)成立,则称f (x)在D上为奇函数.,偶函数(关于y轴对称),奇函数(关于原点对称),38,函数奇偶性示例,如:(1),奇函数,(2
12、),偶函数,(3),既是偶函数又是奇函数,(4),既非偶函数又非奇函数,39,分段函数的奇偶性,故f(x)是R上的奇函数。,40,练习,41,函数的周期性,设函数f (x)的定义域为D,若存在一个不为零的数l,使得对任一xD,恒有( xl )D,且f (xl)= f (x)都成立，则称f (x)是D上的周期函数， l 称f (x)的周期。 注意：通常说周期函数的周期是常指其最小正周期.,42,作业,习题一：1(2)(4)，2(2)(4)，5(1)(4)(6)，13(3)(4),43,1.4 复合函数与反函数,一.复合函数 二.反函数复合函数与反函数本身就是普通的函数,在这里加上前缀修饰词“复合
13、”、“反”,是强调它们与其它一些函数的关系。,44,复合函数,45,复合函数定义的注解,1：不是任何两个函数都能构成复合函数。,2: 只要Df Zg ，适当限制x的范围，f和g就能构成复合函数。,3: 复合函数也可由两个以上的函数经过复合构成。,46,4：分解复合函数,47,课堂练习,3：函数y = f (x)的定义域为 -1，1 ，则f (x+1/2) + f (x-1/2)的定义域是什么？,48,练习答案,49,反函数,定义：设函数y=f (x)的定义域为D, 值域为Z, 若yZ, 在D 中都有满足 f (x)=y的唯一确定的值x和它对应,则x是y的函数,记为 x = (y)(或x = f
14、 -1 (y), 并称x = (y) (或x = f -1 (y) )是y=f (x) 的反函数,而原来的函数 y=f(x) 称为直接函数. 习惯上,自变量用x表示,因变量用y表示, 所以y=f (x)的反函数记为: y = (x) ( 或 y = f -1 (x).,50,反函数与直接函数关系,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,51,求反函数示例,解:,52,求反函数示例,解:,53,求反函数示例,54,课堂练习,55,练习答案,56,1.5 初等函数,一.基本初等函数 二.初等函数初等函数是微积分研究的主要对象之一，我们必须对它们有较清楚的认识。究竟那些函数是初等函数？它们有那些性质
15、？我们先从最简单的基本初等函数谈起吧。,57,基本初等函数,常数函数： y = C (C是常数) 幂函数： y = x (是常数) 指数函数： y = ax (a是常数且a0,a1) 特别: y = ex 对数函数： y = logax (a是常数且a0,a1) 特别: y = lnx 三角函数： y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx y=secx y=cscx 反三角函数：y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx y=arcsecx y=arccscx 以上六类16种函数称为基本初等函数。 思考(那些是基本初等函数?)： y=2x, y
16、=sin3x, y=3x, u=lnv, s=5, y=1/x。,58,幂函数,59,指数函数,60,对数函数,61,正弦函数,62,余弦函数,63,正切函数,64,余切函数,65,正割函数,66,余割函数,67,反正弦函数,68,反余弦函数,69,反正切函数,70,反余切函数,y = arccotx,71,初等函数与简单函数,初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数. 简单函数：基本初等函数、或由基本初等函数只经过有限次的四则运算构成的函数。 初等函数是高等数学的主要研究对象，我们应该非常熟悉它们，要求能正确将它们分解还原为基本初等函数
17、或简单函数。 常见的非初等函数有分段函数、隐函数、用参数式确定的函数，以及用积分和级数表示的函数等。,72,初等函数分解示例,分解下列复合函数：,(1),(2),(3),(4),73,幂指函数,设y=f (x)g(x) (其中f (x), g(x)均为x的函数,且f (x) 0.) ,称y为幂指函数. 问题：幂指函数是初等函数吗？ 回答：由于幂指函数可变形为复合函数 y = f (x)g(x) =e g(x)lnf (x)故当 g(x) 和 f (x)都是初等函数时, y=f (x)g(x) 也是初等函数，如y=xx=exlnx. (x0)。,74,1.6 简单的经济函数,一. 总成本函数、总
18、收入函数和总利润函数 二. 需求函数与供给函数在经济领域里，成本、收入、利润应该是几个最基本的概念，而需求律和供给律也是经济学研究的基本规律，在这里我们仅站在数学的角度上对它们进行初步的描述和研究。,75,总成本,总成本函数: (总成本常可看成是产量的函数)C=C(Q)=C0+C1(Q) 其中：Q为产量，C为总成本， C0为固定成本，C1为可变成本 简化的线性模型：C = C0 + C1 * Q,76,总收益(总收入),总收益函数：(收益与产品的数量、价格有关)R = R(Q) = p * Q 其中：Q为销售量，R为总收益 p为销售单价,77,收入,成本,利润三者关系与总利润函数,总利润：L
19、= R C 其中：L为总利润。在理想的生产状态下(产量=销量=Q)，则： 总利润函数：L = L(Q) = R(Q) - C(Q),78,需求与供给,需求函数：(研究需求量(销售量)与价格的关系)Qd = fd(p) 一般为减函数 其中：p为价格，Qd为需求量。 线性需求模型：Qd=a - bp 供给函数：(研究供给量(产量)与价格的关系)Qs = fs(p) 一般为增函数 其中：p为价格，Qd为需求量。 线性供给模型：Qs= - c + dp 均衡价格p0 ：fd(p0) = fs(p0)。,79,经济应用示例,例1：生产某商品的总成本是 C(q)=500+2q。求生产50件商品时的总成本和
20、平均成本 解：成本 C(50)=500+250= 600 平均成本,例2：某商品的成本函数与收入函数分别为C=21+5q , R=8q,求该商品的盈亏平衡点 解：盈亏平衡点即使利润为零的产量值。故L(q)=R - C=8q - (21+5q)=3q - 21=0即q=7.,80,经济应用示例,例3：已知生产某种产品的总成本为 C(q)502q0.1q2， 该产品的需求函数为q402p。 试求产量q为10时的总利润和平均利润. 解：总收益函数R(q)=pq=(20-q/2)q=20q-q2/2总利润函数L(q)=R(q)-C(q)=-0.6q2+18q-50平均利润函数L(q)/q产量q为10时,总利润L(10)=70平均利润7.,81,作业,习题一：19， 22 ，24(2)(4)(5)，29,
