1、初一数学轴反射与轴对称图形、线段的垂直平分线湘教版【本讲教育信息】一. 教学内容：轴反射与轴对称图形、线段的垂直平分线三角形、三角形的内角和二. 本周教学目标1. 认识现实生活中的轴对称图形、轴反射、轴对称。2. 会找出简单轴对称图形的对称轴，了解轴对称和轴对称图形的联系与区别。3. 掌握线段的垂直平分线的定义，探索轴对称的性质，了解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质，并运用此性质解决有关问题。4. 掌握线段的垂直平分线的性质，并学会运用线段的垂直平分线的性质解决相应问题。5. 理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念；掌握三角形中线、角平分线、高的概念，并画出三角形的三条中线、三条
2、角平分线、三条高。6. 掌握三角形的三边关系，即“三角形任何两边之和大于第三边” “三角形任何两边之差小于第三边。 ”掌握三角形内角和等于 180及其他关于角的性质，并学会运用。三. 重点、难点：重点：轴对称图形、轴对称的概念、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形的三种重要线段、三边关系的应用、三角形内角和定理的证明、三角形内角和定理及推论的应用、三角形外角的性质、外角和定理。难点：找对称轴，判断轴对称图形，作已知图形的对称图形，三角形三种重要线段的作用，利用三边关系解题，利用三角形内角、外角性质解题。四. 本周知识要点：1. 轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能
3、互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。2. 轴反射：把图形沿着直线翻折并将图形“复印”下来，得到的图形就叫作该图形关于直线作了轴反射；原图形叫原像；反射后的图形叫作原图形在这个轴反射下的像。3. 轴对称：如果一个图形关于某一条直线作轴反射，能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形轴对称。这条直线也叫作对称轴。互相重合的两个点，其中一点叫作另一个点关于这条直线的对称点。4. 轴反射不改变图形的形状与大小。5. 垂直平分线的定义：把垂直且平分一条线段的直线叫这条线段的垂直平分线。6. 轴对称的基本性质：如果两点 A、A 关于直线 l 对称，则 l 是线段 AA的垂直平
4、分线。如果 l 是线段 AA的垂直平分线，则点 A、A 关于直线 l 对称。7. 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。8. 线段的垂直平分线的判定：到线段的两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。9. 三角形的概念及表示方法：概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形，组成三角形的线段叫三角形的边，相邻两边的公共端点叫三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫三角形的内角，用“”表示三角形，顶点是 A、B、C 的三角形记作“ABC ”。10. 三角形的三种重要线段：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角
5、形的角平分线。三角形角平分线的画法：三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线。画中线时，只需连结顶点及对边的中点即可。从三角形一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高。高线的画法可用定义来画。11. 三角形三边关系及推论：定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。定理及推论的作用：a. 可判断以 a、b、c 为边能否构成三角形，判断方法有两种。当 ab c，bca，cab 都成立时，能组成三角形。当|ab| c|ab| 时，可构成三角形。b. 当已知两边时，可确定第三边长度的范围|两边之差|第三边两边之和12.
6、 三角形内角和定理及推论：（1）定理：三角形三个内角的和等于 180（2）推论：直角三角形的两个锐角互余（3）三角形按角分类：13. 三角形的外角（1）三角形的一边与相邻的一边的延长线所构成的角叫三角形的外角。（2）三角形外角性质：三角形一个外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。（3）三角形的外角和等于 360。【典型例题】例 1. 看图填空并作图。如图(1)，若四边形 ABCD 和四边形 ABCD沿着直线 l，对折能完全重合，我们说这两个图形关于这条直线对称，也就是说这两个四边形成_，直线 l 叫它们的_，点 B 与点 B叫_，AD _，C_。如图(2)
7、中，该图形是_ ，有_条对称轴，并在图中画出来。如图(3)是条线段，是_ ，有_条对称轴，并在图中画出。分析：着重考查轴对称、轴对称图形的概念，根据概念并观察找到对称轴，注意不遗漏。解：如图(1)的答案。轴对称 对称轴 对称点 AD C如图(2)的答案。轴对称图形 4 条如图所示 l1、l 2、l 3、l 4 四条直线。如图(3)的答案。轴对称图形 2 条 如图所示 l1、l 1 2 条直线。例 2. 如下图作成以 l 为对称轴的与五边形 ABCDE 成轴对称的图形。分析：在作成轴对称的另一图形时，关键要找出原来图形中各点的对应点，也就是关于 l 的对称点 A、B、C、D、E，再把它们依次连结
8、起来。解：作法如下：过 A 点作 l 的垂线，垂足为 O，在 AO 的延长线上截取 OAOA，则 A点就 A 关于 l的对称点。同样方法可作出 B、C、D、E 的对称点 B、C、D 、 E。连结 AB、BC、CD、DE、EA图中五边形 ABCDE为所求作的图形。例 3. 如图所示，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，ABC 和ABD 的周长分别为20cm，14cm，求线段 AE 的长。分析：利用线段的垂直平分线的性质，得到 ADDC，AEEC，则ADBDCDBDBC ，结合三角形的周长便可求出 AE 的长。解：DE 为 AB 的垂直平分线，则 ADDC，AEECABC 的周长为 ABB
9、CAC 20cmABD 的周长为 ABBDADAB BDCDABBC14cmAC20146cm例 4. 如图所示中，在一条河的同一岸边有 A、B 两个村庄，要在河边修一口水井 C，使ACBC 最短，确定 C 点的位置，并说明理由。分析：这是一道综合性较强的实际应用题，可通过转化把 ACBC 变 ACBC，且AC AC，且 A、C、B 三点在一条直线上，这要利用轴对称的性质，作 A 关于河岸 l 的对称点 A。解：作 A 点关于 l 的对称点 A，连结 AB 交 l 于 C，C 点就为所求作的点。理由如下：在 l 上任取一点 C，连结 AC、AC、AC、BC，由轴对称的性质可得：ACAC ACA
10、C在ACB 中，AC BC AB即：ACBCAC BCACBC ACBCACBCAC BC故点 C 到 A、B 的距离和最短说明：说理由时运用三角形的两边之和大于第三边的性质。例 5. 如图ABC，分别作出ACB 的角平分线，AC 边上的中线， BC 边上的高。分析：本题重在考查三角形的三种重要线段：角平分线、中线、高的作图，要紧扣定义。解：作ACB 的平分线，交 AB 于 D，则线段 CD 为 ACB 的角平分线。作 AC 的中点 E，连结 BE，线段 BE 为 AC 边上的中线。过 A 点作 AFBC 交 BC 延长线于 F，则线段 AF 为 BC 边上的高。例 6. 以下列三条线段的长度
11、为已知，判断以它们为边能否组成三角形？2、3 、53x、6x、7x（x0）1、5 、7分析：判断三条线段能否构成三角形，关键看三条线段的长是否满足任意两边之和大于第三边，或任意两边之差小于第三边。但通常不需要一一验证，简便方法将较短两边之和与较长边比较或将最长边与最短边之差与中间线段比较。解：235 ，它们不构成三角形。x0， 3x6x7x ， 它们构成三角形。15 7 ，它们不构成三角形例 7. 已知 c 是ABC 最大边，另二边为 a、b 且 ab4，计算代数式|abc|cba|a c| |cb|的值。分析：此题要先利用三角形两边之和大于第三边，去掉绝对值符号，去绝对值符号时，注意绝对值里
12、面是负数的，去绝对值符号要变成原数的相反数。解：abc，且 ca，cb原式abc（abc）（ca）（cb）abcabccacbabab 4，原式4例 8. 如图所示，在ABC 中，A ：ABC：ACB3：4：5 ，BD、CE 分别是边AC、AB 上的高，BD 、CE 交于 H，求BHC 的度数。分析：由已知，A：ABC ：ACB3：4 ：5，则设成A 3x ，ABC4x，ACB 5x，建立方程，求出 x，而BHC 在BHC 中，要先求出 DBC、ECB。解：设A(3x)，ABC (4x)，ACB(5x)3x4x5x180 （三角形内角和定理）x15ABC 60，ACB75BD 为 AC 边上的
13、高BDC90，DBC 907515（直角三角形两锐角互余）同理：ECB90 6030在BHC 中，BHC 1801530135（三角形内角和定理）例 9. 如图所示。求证：A 1B 1C 1A 1D1C1AB CDE180分析：第 1 个图形不规则，结合问题形式，添加辅助线，将不规则图形变成三角形，则可得证题思路。第 2 个图形是正五角星，要证 ABCDE180，则要利用三角形内角和定理，外角的性质结合起来证明。证明方法不唯一。证明：（1）延长 C1D1 交 A1B1 于 E1在A 1D1E1 中，A 1D1C1A 1A 1E1D1在E 1B1C1 中，A 1E1D1B 1C 1A 1D1C1
14、A 1B 1C 1（2）如图中，1CE（三角形一个外角等于与它不相邻的内角和）同理可证2BDA1 2180 （三角形内角和定理）AC EBD180（等量代换）即：AB C DE180【模拟试题】 （答题时间：40 分钟）一. 填空：1. 汉字“木，大”都是轴对称图形，再写出四个这样的汉字来，_、_、_、_。2. 轴对称图形的对称轴的条数至少有_条。3. 正方形有_条对称轴，圆有_条对称轴。4. ABC 与 DEF 关于直线 l 成轴对称，则点 A 与_是对称点，AB _，C_。5. 线段垂直平分线上的点到_距离相等。6. 如果一图形关于某一条直线对称，那么连结相对应的对称点的线段的_是该图形的
15、对称轴。7. 如图所示，在ABC 中，AB 的垂直平分线交 AC、AB 于 D、E ，如果AC5cm ，BC 4cm，那么BDC 的周长为_。8. 有木条 4 根，长度分别为 12cm、10cm 、8cm、4cm，选其中三根能组成三角形的组数为_组。9. 如图所示，在 ABC 中，B40，C50，BADDAEEAC，则线段AD 是三角形_的角平分线，线段 AE 是三角形_的角平分线，DAE _度，ADE_度，AED_ 度。10. 已知 A、B 、C 三点不共线，线段 AB4，BC3，那么线段 AC 的长度的取值范围为_。11. 在ABC 中，A BBC，A3C，则B_，C _。12. 一个三角
16、形的三个外角的度数之比为 2：3 ：4，则与之对应的三个内角的度数之比为_。二. 作图题：1. 把下图补成以 l 为对称轴的轴对称图形。2. 作出下列ABC 的 AB 边的高，并在ABC 内作一点 O 到点 A、点 B、点 C 的距离相等。三. 解答题：1. 在 RtABC 中，C 90 ，AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 BC 于 D，CAD20 ，则B 为多少度？2. 三边各不相等的三角形，其中两边分别是 6 和 10，第三边长为偶数，求三角形的周长。3. 如图所示在ABC 中，ADBC，AE 是BAC 的平分线，已知C42，B74 ，求AED 、DAE。【试题答案】一. 填空：1.
17、 口 田 十 日 （答案多样）2. 1 3 4 无数4. 点 D DE F5. 线段两端点6. 垂直平分线7. 9cm 8. 39. BAE DAC 30 70 8010. 1 AC711. 60 3012. 5： 3：1二. 作图题：略。三. 解答题：1. 解：AB 的垂直平分线交 AB 于 E，交 BC 于 DADBD，DABB又CAD20，C90所以CABB90即CAD DAB B 902B 9020B35答：B 为 35 度。2. 解：设第三边长为 C，则 106C106即 4C 16，因为 C 为偶数，所以 C 可取 6、8 、10、12、14 ，又因为三边各不相等，所以 C 只能取 8、12 、14，故周长为 24、28、30 。3. 解：BAC180 427464AED 324274DAE 907416答：AED、DAE 的大小分别为 74、16。
