1、15.2 线段的垂直平分线专题一 线段垂直平分线知识的应用1.如图， ABC 中， D 为 BC 的中点， E、 F 分别是 AB、 AC 上的点，且 DE DF，求证： BE+CF EF2. ABC 中， A=90,AB=AC,D、 E、 F 分别在 AB， AC， BC 上，且 AD=AE， CD 为 EF 的中垂线，求证 BF=2AD.3.已知，如图所示， DE AB， DF AC，垂足分别为 E， F， DE=DF求证： AD 垂直平分EF合作学习小组的两位同学在证明以上结论时的过程如下：学生甲：因为 DE=DF，所以点 D 在线段 EF 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点
2、，在这条线段的垂直平分线上） ，所以 AD 垂直平分 EF学生乙：因为 DE AB， DF AC，所以在 Rt ADE 和 Rt ADF 中， DE=DF， AD=AD，所以 Rt ADERt ADF（HL）,所以 AE=AF（全等三角形的对应边相等） ，所以 A 点在线段 EF的垂直平分线上，又因为 DE=DF，所以点 D 在线段 EF 的垂直平分线上，所以 AD 垂直平分EF分析两位同学的证明过程，指出谁对谁错，并说明错误的原因 专题二 作图与实际问题4.如图， A、 B、 C 三点表示三个镇的地理位置，随着乡镇工业的发展需要，现三镇联合建造一所变电站,要求变电站到三镇的距离相等,请你作出
3、变电站的位置（用 P 点表示） ，并说明你的理由.MAB C5.A、 B 两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点 A 的坐标是（2，2） ，点 B 的坐标是（ 7，3） （1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点 C，使 C 点到 A、 B 两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标（2）若在公路边建一游乐场 P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场 P 的位置，并求出它的坐标6.如图所示，一辆汽车在笔直的公路 AB 上由 A 向 B 行驶， M， N 分别是位于公路 AB 两侧的村
4、庄（1）设汽车行驶到公路 AB 上点 P 的位置时，距离村庄 M 最近，行驶到点 Q 的位置时，距离村庄 N 最近，请在公路 AB 上分别画出 P， Q 的位置（保留作图痕迹） （2）当汽车从 A 出发向 B 行驶时，在公路 AB 的哪一段上距离 M， N 两村都越来越近？在哪一段上距村庄 N 越来越近，而离村庄 M 越来越远（分别用文字表述你的结果，不必证明）？（3）在公路 AB 上是否存在这样一点 H，使汽车行驶到该点时，与村庄 M， N的距离相等？如果存在，请在图中 AB 上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明） ；如果不存在，请简要说明理由【知识要点】1.垂直并且平分一条线段的直线叫做这
5、条线段的垂直平分线.2.线段的垂直平分线上的点与线段两端点距离相等,与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.3.线段的垂直平分线可以看作到线段的两个端点距离相等的所有点的集合.【温馨提示】1.某条线段的垂直平分线是直线,不是线段或射线.2.注意区分线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.【方法技巧】1.在证明某条直线是一条线段的垂直平分线时,可证明该直线垂直且平分这条线段,即根据定义证明,也可以证明直线上有不同的两点到这条线段的两个端点距离相等.2.解与线段的垂直平分线有关的问题时,常先利用线段垂直平分线的性质将条件转化,再结合其他知识解决问题.参考答案1.证明:延长 ED 至 M 点
6、,使 DM=ED，连接 MC， MF，则 F 在线段 EM 的垂直平分线上, EF=FM，又 BD=CD,DE=DM, BDE= CDM, BDE CDM（SAS） ， BE=CM，在 CFM 中, CF+CMMF， BE+CFEF.2.证明:连 DE， DF，作 DG BC 于 G. DC 为 EF 的中垂线, DE=DF,CE=CF.DC EF,1=2.又 A=90, DA AC， DG BC, DA=DG.又 DE=DF,Rt ADERt GDF（HL）, GF=AE.又 AE=AD, AD=DG=GF. A=90,AB=AC, B=45.在 BDG 中 B=45, DGB=90, BD
7、G=45. DG=BG, DG=BG=GF, DG= 21BF,AD= BF,即 BF=2AD.3.学生乙的证明过程正确；学生甲的证明有错误学生甲在解题过程中，过点 D 的直线有无数条，它们不都是 EF 的垂直平分线，所以在上述解题过程中，仅仅由 D 在 EF 的垂直平分线上就推得 AD 垂直平分 EF 是不正确的产生错误的原因是对垂直平分线的判定定理理解不透，而实际上要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上，根据两点确定一条直线解决问题4.解:连接 AB、 AC,作 AB 和 AC 的垂直平分线,交点即为 P 点.理由:连结 PA、 PB、 PC,
8、 P 点是边 AB、 AC 的垂直平分线, PA=PB,PB=PC, PA=PB=PC.5.（1）存在满足条件的点 C,如图所示（2）作点 A 关于 x 轴对称的点 A（2，2） ，连接 AB ，与x 轴的交点即为所求的点 P 设 AB 所在直线的解析式为： y=kx+b，把（2，2）和（7，3）代入得： ，解得： ， y=x4，当 y=0 时， x=4，所以交点 P 的坐标为（4，0） 6.（1）作法：过点 M 作 AB 的垂线，垂足为点 P，点P 即为所求；过点 N 作 AB 的垂线，垂足为点 Q，点 Q 即为所求，如图（2）当汽车从 A 向 B 行驶时，在 AP这段路上，离两个村庄都越来越近，在 PQ 上行驶时，离 M 越来越远，离 N 越来越近（3）如图，连结 MN，作 MN 的垂直平分线交 AB 于点 H，点 H 离村庄 M， N 的距离相等PAB C
