1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(十四)合情推理(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.(2015厦门高二检测)定义 A*B，B*C，C*D，D*A 的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的(A)，(B)所对应的运算结果可能是( )A.B*D，A*D B.B*D，A*CC.B*C，A*D D.C*D，A*D【解析】选 B.由(1)(2)(3)(4)图得 A 表示|，B 表示，C 表示，D 表示，故图(A)(B)表示 B*D 和
2、A*C.2.给出下列三个类比结论：类比 axay=ax+y，则有 axay=ax-y；类比 loga(xy)=logax+logay，则有 sin(+)=sinsin；类比(a+b) 2=a2+2ab+b2，则有(a+b) 2=a2+2ab+b2.其中结论正确的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 C.根据指数的运算法则知 axay=ax-y，故正确；根据三角函数的运算法则知：sin(+)sinsin，不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2ab+b2，正确.【补偿训练】若数列a n(nN *)是等差数列，则有数列 bn=(nN *)也是等差数列.类比上述性质，相应
3、地有，若数列c n(nN *)是等比数列，且 cn0，则数列 dn= (nN *)也是等比数列.【解析】由等差、等比数列的性质易知，等差数列、等比数列在运算上具有相似性.等差与等比类比是和与积、倍与乘方、商与开方的类比.由此猜想 dn=.答案：3.设 n 棱柱有 f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数 f(n+1)等于( )A.f(n)+n+1 B.f(n)+nC.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2【解析】选 C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n 条侧棱可作 n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间
4、重复计算了，所以共有 n(n-3)2 个对角面，所以可得 f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)2-n(n-3)2=n-1，故 f(n+1)=f(n)+n-1.4.(2015北京高二检测)设 0 ，已知 a1=2cos，a n+1= ，猜想an=( )A.2cos B.2cos C.2cos D.2sin【解析】选 B.因为 a1=2cos，a2= =2 =2cos ，a3= =2 =2cos ，猜想 an=2cos .【一题多解】验 n=1 时，排除 A，C，D.5.(2015吉林高二检测)设ABC 的三边长分别为 a，b，c，ABC 的面积为S，内切圆半径为 r，则 r= ；类比
5、这个结论可知：四面体 P-ABC 的四个面的面积分别为 S1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为 r，四面体 P-ABC 的体积为V，则 r=( )A. B.C. D.【解析】选 C.ABC 的三条边长 a，b，c 类比到四面体 P-ABC 的四个面面积S1，S 2，S 3，S 4，将三角形面积公式中系数 类比到三棱锥体积公式中系数 ，从而可知选 C.来源:学优高考网 gkstk【补偿训练】在 RtABC 中，若C=90，AC=b，BC=a，则ABC 外接圆半径r= .运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径 R= .【解题指南】解题时题设条件若
6、是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体.【解析】(构造法)通过类比可得 R= .证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为 a，b，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是 ，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.答案：二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构第 n 个图中有 个原子，有 个化学键.【解析】第 1，2，3 个图中分别有原子：6 个、62-2 个、63-22 个，所以第 n 个图中有 6n-(n-1)2=4n+2 个原子；第 1，2，3 个图中
7、分别有化学键：6 个，62-1 个，63-2 个，所以第 n 个图中有 6n-(n-1)=5n+1 个化学键.答案：4n+2 5n+17.类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列a n是等和数列，且 a1=2，公和为 5，那么 a18= ，这个数列的前 n 项和 Sn的计算公式为 .【解析】定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.由上述定义，得 an=故 a18=3.从而 Sn=答案：3 S n=8.如图 1，小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延长一倍得到新正方形
8、A1B1C1D1，再把正方形 A1B1C1D1的各边延长一倍得到正方形 A2B2C2D2(如图 2)，如此进行下去，正方形 AnBnCnDn的面积为 .(用含有 n 的式子表示，n 为正整数)【解题指南】根据三角形的面积公式，知每一次延长一倍后，得到的一个直角三角形的面积和延长前的正方形的面积相等，即每一次延长一倍后，得到的图形是延长前的正方形的面积的 5 倍，从而解答.【解析】如题干图 1，已知小正方形 ABCD 的面积为 1，则把它的各边延长一倍后，AA 1B1的面积是 1，新正方形 A1B1C1D1的面积是 5，从而正方形 A2B2C2D2的面积为 55=25=52，正方形 AnBnCn
9、Dn的面积为 5n.答案：5 n三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9.已知：1=1 2；1+3=2 2；1+3+5=3 2；1+3+5+7=4 2，根据以上等式的结构特点，请你归纳一般结论.【解析】注意到各等号左边为若干项奇数的和，且最后一项分别为 1=21-1；3=22-1；5=23-1；7=24-1，又等号右边相应结果分别为：1 2；2 2；3 2；4 2；由此总结出一般结论：1+3+5+7+(2n-1)=n 2.10.如图 1，在三角形 ABC 中，ABAC，若 ADBC，则 AB2=BDBC；若类比该命题，如图 2，三棱锥 A-BCD 中，AD平面 ABC，若 A 点在三角形
10、 BCD 所在平面内的射影为 M，则可以得到什么命题？命题是否是真命题并加以证明.【解析】命题是：三棱锥 A-BCD 中，AD平面 ABC，若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影为 M，则有 =SBCM SBCD ，是一个真命题. 证明如下：在图 2 中，连接 DM，并延长交 BC 于 E，连接 AE，则有DEBC.因为 AD平面 ABC，所以 ADAE.又 AMDE，所以 AE2=EMED.于是 = =SBCM SBCD .(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第 n 个图形由 n 个正方形组成.通过观察可以发现第 10 个
11、图形中火柴棒的根数是( )A.30 B.31 C.32 D.34【解析】选 B.第 1 个图形中有 4 根火柴棒；来源:gkstk.Com第 2 个图形中有 4+3=7 根火柴棒；第 3 个图形中有 4+32=10 根火柴棒；第 10 个图形中有 4+39=31 根火柴棒.2.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，则第 60 个数对是( )A.(7，5) B.(5，7)C.(2，10) D.(10，1)【解析】选 B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第 n 组“整数
12、对”的和为 n+1，且有 n 个“整数对”.这样前 n 组一共有 个“整数对”.注意到 60 .因此第 60 个“整数对”处于第 11 组的第 5 个位置，可得为(5，7).二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3.(2015西安高二检测)对于命题：如果 O 是线段 AB 上一点，则| | +来源:学优高考网| | =0；将它类比到平面的情形是：若 O 是ABC 内一点，有 SOBC +SOCA +SOBA =0；将它类比到空间的情形应该是：若 O 是四面体 ABCD内一点，则有 .【解题指南】根据线性几何中的线段长度、平面几何中平面图形的面积中有关等式的共性，将这个共性引申到立体几何中得
13、到相应的等式或结论.【解析】根据线性几何中的长度、平面几何中平面图形的面积以及立体几何中相应几何体体积的类比特点以及题中等式的特点，得到在立体几何中：若 O 是四面体 ABCD 内一点，则有 VO-BCD +VO-ACD +VO-ABD +VO-ABC =0.答案：V O-BCD +VO-ACD +VO-ABD +VO-ABC =0【拓展延伸】类比推理的常见类型及解题思路类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：线段的长度平面几何中平面图形的面积立体几何中立体图形的体积的类比；等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中
14、两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.4.根据给出的数塔猜测 1234569+7 等于 .19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111123459+6=111111【解析】由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数，即 1111111.答案：1111111三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)5.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为 a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值 a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解
15、题指南】利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明.【解析】类比所得的真命题是：棱长为 a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值 a.证明：设 M 是正四面体 P-ABC 内任一点，M 到面 ABC，面 PAB，面 PAC，面 PBC的距离分别为 d1，d 2，d 3，d 4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：VP-ABC=VM-ABC+VM-PAB+VM-PAC+VM-PBC= SABC (d1+d2+d3+d4)，而 SABC = a2，V P-ABC= a3，故 d1+d2+d3+d4= a(定值).【拓展延伸】类比法的可靠性(1)类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想直到形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法，其结论的可靠程度，依赖于两个研究对象的共有属性.
