1、1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球自主学习学习目标1在复习圆柱、圆锥概念的基础上了解圆台和球的概念，并认识由这些几何体组成的简单组合体2会用旋转的方法定义圆柱、圆锥、圆台和球会用集合的观点定义球3理解这几种几何体的轴截面的概念和它在解决几何体时的重要作用，提高动手操作能力自学导引1圆柱、圆锥、圆台(1)_、_、_可以看作分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体(2)旋转轴叫做所围成的几何体的_；在轴上的这条边 (或它的长度)叫做这个几何体的_；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的_
2、；不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的_，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的_2球(1)球面可以看作一个半圆绕着_所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，叫做_(2)球面也可以看作空间中到一个定点的距离等于_的点的集合(3)球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的_；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的_(4)在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的_3组合体由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做_对点讲练知识点一 圆柱、圆锥、圆台的有关概念例 1 下列命题中正确的是( )A直角三角形绕一边旋转得到的旋转体
3、是圆锥B夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D通过圆台侧面上一点，有无数条母线点评 此类题应以圆柱、圆锥、圆台的定义为基础进行判断，同时要结合各种旋转体的结构特征，详细地分析，不可粗心大意此类题在做的时候容易只注意到旋转的问题，而忽视了以什么为旋转轴的问题，旋转轴不同则得到的旋转体也是不同的变式训练 1 下列说法：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的其中正确的是( )A B
4、C D知识点二 旋转体中有关元素的计算问题例 2 圆台侧面的母线长为 2a，母线与轴的夹角为 30，一个底面的半径是另一个底面半径的 2 倍求两底面的半径与两底面面积之和点评 解有关圆台的基本元素问题，一般要画出圆台的轴截面或将圆台还原为圆锥，有关元素之间的关系就体现出来了变式训练 2 已知圆锥的底面半径为 r，高为 h，正方体 ABCDA1B1C1D1 内接于圆锥，求这个长方体的棱长知识点三 球中有关元素的计算问题例 3 球面上有 M、N 两点，在过 M、N 的球的大圆上， 的度数为 90，在过点 M、NMN的球的小圆上， 的度数 120，又点 M、N 两点间的距离为 cm，求球心与小圆圆心
5、的MN 3距离为多少？变式训练 3 设地球的半径为 R，在北纬 45圈上有两个点 A、B，A 在西经 40，B 在东经 50，求 A、B 两点间纬线圈的弧长及球面距离1在解圆台问题时，常将圆台转化为圆锥问题，即化台为锥2圆锥的母线、底面半径、高构成直角三角形，圆台的母线、高、上、下底面半径构成直角梯形解圆锥、圆台问题时，常归结为解此直角三角形或直角梯形3小圆的圆心与球心连线垂直于该小圆所在平面. 课时作业一、选择题1图中的图形折叠后的图形分别是( )A圆柱、圆锥、棱柱 B圆柱、圆锥、棱锥C圆台、球、棱锥 D圆台、圆锥、棱柱2下列命题中不正确的是( )A用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之
6、间的部分是圆台B过球面上两个不同的点，只能作一个大圆C以直角梯形垂直于底的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台D圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面3圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面 )是边长为 5 cm 的正方形 ABCD，则圆柱侧面上从 A 到 C 的最短距离为( )A10 cm B. cm522 4C5 cm D5 cm2 2 14底面半径为 2 且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为( )A B2 C3 D45下图是由哪个平面图形旋转得到的( )题 号 1 2 3 4 5答 案二、填空题6圆台上、下底面面积分别为 25 c
7、m2、64 cm2，高为 12 cm，这个圆台的母线长为_cm.7用不过球心 O 的平面截球 O，截面是一个球的小圆 O1，若球的半径为 4 cm，球心O 与小圆圆心 O1 的距离为 2 cm，则小圆半径为_cm.8下列命题中：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；棱台的各侧棱延长后一定相交于一点；圆台可以看作直角梯形绕与底边垂直的腰所在直线旋转而成的；半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球正确命题的序号为_三、解答题9一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4 cm2 和 25 cm2，求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长10一个圆锥的底面半径为
8、 4，高为 12，在其中有一个高为 x 的内接圆柱(1)用 x 表示圆柱的轴截面面积 S；(2)当 x 为何值时，S 最大【答案解析】自学导引1(1)圆柱 圆锥 圆台 (2)轴 高 底面 侧面 母线2(1)它的直径 球 (2) 定长 (3) 大圆 小圆 (4)球面距离3组合体对点讲练例 1 C A 错误，应为直角三角形绕其一条直角边旋转得到的旋转体是圆锥若绕其斜边旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体B 错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的D 错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线变式训练 1 D 由母线的定义知正确，所以选 D.例 2 解
9、 设圆台上底面半径为 r，则下底面半径为 2r，如图所示， ASO30，在 Rt SOA 中，rSAsin 30，SA2r.在 Rt SOA 中 ， sin 30，2rSASA4r.又 SASAAA，即 4r2r2a，ra.SS 1S 2 r2(2r) 25 r25a 2.圆台上底面半径为 a，下底面半径为 2a，两底面面积之和为 5a2.变式训练 2 解 过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示设圆锥内接正方体的棱长为 x，则在轴截面中，正方体的对角面 A1ACC1 的一组邻边的长分别为 x 和 x.2VA 1C1VMN， .2x2r h xh hx2rh2rx，x .22rh2r 2
10、h即圆锥内接正方体的棱长为 .2rh2r 2h例 3 解 取 MN 的中点 P，连接 OP、O 1P，由已知MON90，MO 1N120 ，又 OMON，O 1MO 1N，可求 OP ，O 1P .32 12OO .22变式训练 3 解 设 45纬线圈的中心为 O1，地球中心为 O，如图所示，则AO 1B4050 90.O 1O圆 O1 所在平面，OO 1O 1A，OO 1O 1B.点 A，B 在北纬 45圈上，OBO 1OAO 145.O 1AO 1BOAcos 45 R.22在 Rt AO1B 中，AO 1BO 1，AB AO1，2AOB 为等边三角形，AOB 60.A，B 两点间纬线圈的
11、弧长为l1 R R，90180 22 24A，B 两点间球面距离为 l2 .60R180 R3课时作业1B 2.B 3.B4A设截面圆半径为 r，由相似三角形的知识可知 ，所以 r1，r2 12所以 Sr 2.5A63 7.217 389解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图)由已知可得上底半径O1A2 cm，下底半径 OB5 cm.又因为腰长为 12 cm，所以高为 AM 122 5 223 (cm)15(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为 l，则由SAO 1 SBO 可得 ，l 12l 25l20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm.10解 根据圆柱和圆锥的图形特征可作出它们的轴截面图(如图所示) ，设圆柱的底面半径为 r，则由三角形相似的性质可知 ，12 x12 r4解得：r4 .x3(1)圆柱的轴截面面积为S2rx2 x x28x，x(0,12)；(4 x3) 23(2)S x28x，x(0,12)，23S (x2 12x) (x6) 224，x(0,12)，23 23当 x6 时，S 最大为 24.
