1、1若a，b，c是空间的一个基底，向量 mab，nab，则向量 a，b，c 中与m，n 可以构成空间向量另一个基底的向量是_ 答案：c2O、A、B 、 C 为空间四点，且向量 、 、 不能构成空间的一个基底，则OA OB OC _答案：O、A、B、C 四点共面3下列说法正确的是_任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底单位正交基底中的基向量模为 1，且互相垂直不共面且模为 1 的三个向量可构成空间的单位正交基底答案：4已知平行六面体 ABCDA 1B1C1D1，则以下等式中，不正确的是_ D1B D1D D1A1 D1C1 D1B D1C1 BB1 C
2、B D1B D1A1 A1B1 A1A D1B D1C1 C1D DB 答案：一、填空题1下列命题中的真命题有_空间中的任何一个向量都可用 a、b、c 表示；空间中的任何一个向量都可用基向量 a、b、c 表示；空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示解析：共面向量定理指出，平面内任一向量都可以用平面内不共线的两个向量线性表示，而命题中缺少“不共线”这一重要条件，故为假命题空间向量基本定理告诉我们空间中任一向量都可用不共面的三个向量线性表示中没有强调“不共面” ，故为假命题两命题为真命题答案：2已知e 1，e 2，e 3为空间的一个基底，若a
3、e 1e 2e 3， be 1e 2e 3，c e 1e 2e 3，de 12e 23e 3，且 d a b c，则、 分别为_解析：由题意，a、b、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对，使 d a b c.d(e 1e 2e 3) (e1e 2e 3)( e1e 2e 3)() e1( )e 2( )e3.又de 12e 23e 3，Error!Error!答案： 、1、52 123若向量 ， ， 的起点和终点 M，A，B，C 互不重合且无三点共线，则能使MA MB MC 向量 ， ， 成为空间向量的一组基底的关系是_MA MB MC OM 13OA 13O
4、B 13OC MA MB MC OM OA OB OC 2 MA MB MC 解析：对于，由于结论 x y z (xyz1)M ，A，B，C 四点共OM OA OB OC 面知， ， ， 共面；对于 ，易知 ， ， 共面，故只有中 ， ， 不MA MB MC MA MB MC MA MB MC 共面答案：4设 a，b，c 是三个不共面向量，现从ab，ab，ac，bc，abc 中选出一个使其与 a、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为_答案：5在空间平移ABC 到ABC，连结对应顶点，设a， b， c，M 是 BC的中点，N 是 BC 的中点，若以a，b，c为基AA AB AC 底表示
5、向量 ，则 _.MN MN 答案： a126a，b，c构成一个基底，则 是 px 1ay 1bz 1c 与 qx 2ay 2bz 2c 共x1x2 y1y2 z1z2线的_条件答案：充分不必要7已知平行六面体 OABCO ABC中， a， ， b， c，D 是四OA OO OC 边形 OABC 的中心，则可用 a，b，c 表示 _.OD 解析：结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a、b、c 表示 .仔细观察会发现 与 、 是共面向量，故它们三者之间具有线性关OD OD OA OC 系，即可得到答案答案： a c12 128.已知正方体 ABCDAB CD中，E
6、是底面 ABCD的中心，a ，b ，c ， x aybzc，则 x，y，z 的值分别为12AA 12AB 13AD AE x_ ，y _ ，z_.解析：由题意知 ， ， 为不共面向量，而AA AB AD ( )AE AA A E AA 12A B A D AA 12AB 12AD 2ab c，32x2，y1，z .32答案：2 1 32二、解答题9.如图所示，空间四边形 OABC 中，G 、H 分别是ABC、OBC 的重心，D 为 BC 的中点，设 a， b， c.试用向量 a、b、c 表示向量 .OA OB OC GH 解： ，GH OH OG 又 ( ) (bc )，OH 23OD 23
7、12OB OC 13 ( )OG OA AG OA 23AD OA 23 12AB AC a ( )a (bc2a)13OB OA OC OA 13 (abc) ，13 (bc) (abc ) a.GH 13 13 1310已知 PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，G 为PDC 的重心， i， j ， k，试用基底i，j ，k 表示 、 、 .AB AD AP PG BG AG 解：如图所示，设 E 为 CD 中点，则 ( )PG 23PE 23 12PC PD (ijkjk) i j k.13 13 23 23 ki i j kBG BP PG 13 23 23 i j k.23
8、 23 13 i( i j k)AG AB BG 23 23 13 i j k.13 23 1311.如图所示，平行六面体 OABCO ABC，且 a， b， c，用OA OC OO a，b，c 表示如下向量：(1) 、 、 ；OB O B AC (2) (G、H 分别是侧面 BBCC 和 OABC的中心) GH 解：(1) abc， OB OB BB OA OC OO O B O O OB O O c ababc， OA OC AC AC CC AB AO AA OC AA OA bca.(2) ( ) ( ) (abcb)GH GO OH OG OH 12OB OC 12OB OO 12 (abcc) (cb)12 12高考试题库
