1、高考试题库解三角形应用举例第三课时授课类型：新授课教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例 1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的 2 道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激
2、发学生的探索精神。教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学过程.课题导入创设情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。.讲授新课范例讲解例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32 的方向航行 54.0 n mile 后达到海
3、岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行 ,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ,距离精确到 0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角ABC，即可用余弦定理算出 AC 边，再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角CAB。解：在 ABC 中， ABC=180 - 75 + 32 =137 ，根据余弦定理，AC= ABCABCcos22= 1370.54670.54.67113.15根据正弦定理,CABsin = sinsin CAB = C= 15.37si040.3255
4、,所以 CAB =19.0 ,75 - CAB =56.0 答:此船应该沿北偏东 56.1 的方向航行 ,需要航行 113.15n mile例 2、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 10 3m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4，求的大小和建筑物 AE 的高。师：请大家根据题意画出方位图。生：上台板演方位图（上图）教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在 ACD 中，AC=BC=30， AD
5、=DC=10 3，ADC =180 -4，2sin310= )48i(0。因为 sin4 =2sin2 cos2cos2= 23,得 2=30 =15 ，在 RtADE 中，AE=ADsin60 =15答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m解法二：（设方程来求解）设 DE= x，AE=h在 RtACE 中,(10 3+ x) 2 + h =30 2在 Rt ADE 中,x 2+h =(10 )两式相减，得 x=5 3,h=15在 RtACE 中,tan2 = xh10=2=30 , =15 答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE=8，由题
6、意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10 3m在 RtACE 中， sin2= 0x- 在 Rt ADE 中，sin4 = 314, - 得 cos2= 2,2 =30 ,=15 ，AE=ADsin60 =15答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m例 3、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/ 小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建
7、立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船，则 CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB= 75+ 4= 120 (14x) 2= 9 + (10x) -29 10xcos 120化简得 32x 2-30x-27=0，即 x=3,或 x=- 69(舍去)所以 BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为 sinBAC = ABC120sin=53= 14BAC =38 3,或 BAC =141 7（钝角不合题意，舍去） ，38 1+ 45=83 1答：巡逻艇应该沿北偏东 8
8、3 3方向去追，经过 1.4 小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课堂练习课本第 18 页练习.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。 （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。.课后作业1、课本第 23 页练习第 9、10、11 题2、我舰在敌岛 A 南偏西 50相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西 10的方向以 10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰？（角度用反三角函数表示）板书设计高考试题库高考试题库w.k.s.5.u.ck.s.5.u
