1、1必备三 解题陷阱妙破“陷阱”,顾名思义,是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一 混淆概念理解概念抓本质例 1 若 z=sin- + i 是纯虚数,则 tan 的值为 . 35(cos -45) ( - 4)易错分析 本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求 tan
2、 的值为( - 4)多个,从而错解.答案 -7正确解析 由纯虚数的概念,可知 sin -35=0,cos -45 0, 由,得 sin= ,故 cos= = = ,而由,可得 cos ,故 cos=- ,所35 1-sin2 1-(35)2 45 45 45以 tan= =- ,则 tan = = =-7.sincos 34 ( - 4)tan -tan 41+tan tan 4 -34-11+(-34)1跳出陷阱 在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训1.已知向量 a=(2,1),b=(,1),R,设 a
3、与 b 的夹角为 .若 为锐角,则 的取值范围是 .2陷阱二 错用结论公式定理要记准例 2 将函数 g(x)=4sinxcosx 的图象向左平移 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标伸长 6到原来的 2 倍(纵坐标不变),得到函数 f(x)的图象,则 f = . ( 4)易错分析 该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案 6+ 22正确解析 将函数 g(x)=4sinxcosx=2sin2x 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 y=2sin2 6=2sin 的图象,将该函数的图
4、象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后所(x+ 6) (2x+ 3)得图象对应的函数解析式为f(x)=2sin =2sin .(122x+ 3) (x+ 3)所以 f =2sin =2 sin cos +cos sin =2 = .( 4) ( 4+ 3) 4 3 4 3 (2212+ 2232) 6+ 22跳出陷阱 三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.跟踪集训2.(2018 宿迁剑桥国际学校高三月考)已知函数 f(x)=sin -cos +2cos2x.(2x+ 6) (2x+ 3)(1)求 f 的值;(12)(2)求
5、函数 f(x)的单调区间;(3)函数 f(x)的图象可由 y=sinx 的图象如何变换得来?请详细说明.陷阱三 忽视验证特例情况要谨记例 3 已知椭圆 + =1 的半焦距为 c,曲线 上的任一点(x,y)(x0)到定点 F(1,0)的距离比该点y29x28到 y 轴的距离大 c.(1)求曲线 的方程;3(2)直线 l 过点 F,交曲线 于 A,B 两点,过 A,B 分别作曲线 的切线交于点 P,判断 是不是PFAB定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析 直线 l 过点 F 交曲线 于 A,B 两点,由于思维定势,经常只考虑直线 l 的方程为 y=k(x-1),k0 的
6、情况,从而漏掉了过点 F 的直线 l 与 x 轴垂直这一特殊情况,导致错解.正确解析 (1)因为椭圆 + =1 的半焦距为 c,y29x28所以 c= =1,9-8因为曲线 上的任一点(x,y)(x0)到定点 F(1,0)的距离比该点到 y 轴的距离大 1,所以曲线 上的任一点(x,y)(x0)到定点 F(1,0)的距离等于该点到直线 x=-1 的距离.根据抛物线的定义,知曲线 的轨迹为抛物线.设曲线 的方程为 y2=2px(p0),所以 =1,解得 p=2,所以曲线 的方程为 y2=4x.p2(2) 为定值.证明如下:PFAB当过点 F 的直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 x=
7、1,根据抛物线的对称性知,点 P 在 x 轴上,所以 PFAB,所以 =0.PFAB当过点 F 的直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y=k(x-1),k0,由 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,y=k(x-1),y2=4x 所以 =-(2k 2+4)2-4k2k2=16k2+160,设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP),y10,y20),得 y=2 ,y= ,所以过点 A 的切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1),即 y= + ;x1x 1x1 xx1 x1由 y2=4x(yb0)与直线 l:x=m(mR).四点(3,1),(3,-1),(-x
8、2a2y2b22 ,0),( , )中有三个点在椭圆 C 上,剩余一个点在直线 l 上.2 3 3(1)求椭圆 C 的方程;(2)若动点 P 在直线 l 上,过 P 作直线交椭圆 C 于 M,N 两点,使得 PM=PN,再过点 P 作直线 lMN.证明:直线 l过定点,并求出该定点的坐标.陷阱四 讨论漏解参数标准要恰当例 4 已知函数 f(x)=lnx-ax+ -1(aR).1-ax(1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当 0a0,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递增.当 010,1a所以当 x(0,1)时,g(x)0,此时 f(x)0,函数 f
9、(x)单调递增;(1,1a-1)当 x 时,g(x)0,此时 f(x)0,a1).(1)求函数 f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;(2)求函数 f(x)的单调递增区间;(3)若存在 x1,x2-1,1,使得|f(x 1)-f(x2)|e-1(e 是自然对数的底数),求实数 a 的取值范围.陷阱五 条件遗漏细心审题不遗漏6例 5 在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=8,b=10,ABC 的面积为 20 ,则3ABC 中最大角的正切值是 . 易错分析 本题易忽视锐角三角形这一条件.答案 533解析 由题意得 20 = 810sinCsinC= C= 或 C
10、= (舍),由余弦定理得,c 2=82+102-312 32 3 232810 =84,12因为 a=8,b=10,所以 a20易错分析 该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数.8答案 6正确解析 由可得,f(1-x)+f(1+x)=0,即 f(x)的图象关于点(1,0)对称;由可得 f(x-1)=f(-x-1),即 f(x)的图象关于直线 x=-1 对称.如图,根据先作出函数 f(x)在-1,1上的图象,然后作出其关于直线 x=-1 对称的图象,则得函数f(x)在-3,-1上的图象,再作其关于(1,0)对称的图象,则得函数 f(x)在-3,3上的图象,最后
11、作出函数g(x)的图象.由图象可知两函数的图象在-3,3上有 6 个交点.跳出陷阱 该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、对称性、周期性与单调性等.9跟踪集训7.(2018 江苏南通阶段检测)设函数 f(x)是定义域为 R,周期为 2 的周期函数,且当 x-1,1时,f(x)=1-x2,函数 g(x)= 则函数 f(x)和 g(x)的图象在区间-5,10内交点的个数为 . lg|x|,x 0,1,x=0, 陷阱八 推理跳步步骤过程要合理例 8 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-
12、A1B1C1D1中,E,F 分别为 DD1,DB 的中点.(1)求证:EF平面 ABC1D1.(2)求证:EFB 1C.易错分析 证明立体几何中平行和垂直问题时,易出现的问题是对判定定理的条件书写不完整导致推理不严密或者使用课本上没有的、但是是正确的命题作为推理条件.正确证明 (1)如图,连接 BD1,在DD 1B 中,E,F 分别为 DD1,DB 的中点,则 EFD 1B.因为 EFD 1B,D1B平面 ABC1D1,EF平面 ABC1D1,所以 EF平面 ABC1D1.(2)因为立体图形 ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以 AB平面 BCC1B1,又 B1C平面 BCC1B1,所以
13、B1CAB.又因为 B1CBC 1,AB,BC1平面 ABC1D1,ABBC 1=B,所以 B1C平面 ABC1D1.因为 BD1平面 ABC1D1,所以 B1CBD 1.又因为 EFBD 1,所以 EFB 1C.跳出陷阱 证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归,通过恰当地转化达到最终目的.解这类问题时要注意推理要严谨,使用定理时要找足条件,不要用没有证明的结论作为推理条件,同时书写要规范.10跟踪集训8.(2018 江苏海安高级中学阶段检测)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 A1ACC1是边长为 2 的菱形,A 1AC=60.在平面 ABC 中,AB=2 ,BC=4,M 为
14、 BC 的中点,过 A1,B1,M 三点的平面交 AC 于点 N.3求证:(1)N 为 AC 的中点;(2)AC平面 A1B1MN.陷阱九 转化不当由此及彼要等价例 9 f(x)= x2-2alnx+(a-2)x,aR.12(1)当 a=1 时,求曲线 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)当 aa 恒成立?若存在,求出 a 的f(x2)-f(x1)x2-x1取值范围;若不存在,说明理由.易错分析 该题易出现的问题是直接把 a 转化为函数 f(x)的导数的范围,即 f(x)a,导f(x2)-f(x1)x2-x1致错解.正确解析 f(x)=x- +a-2= (x0).2ax (x-2)(
15、x+a)x(1)当 a=1 时,f(1)=- ,12f(x)= ,f(1)=-2,(x-2)(x+1)x所以所求的切线方程为 y- =-2(x-1),(-12)即 4x+2y-3=0.(2)当-a=2,即 a=-2 时,f(x)= 0,f(x)在(0,+)上单调递增.(x-2)2x当 02 时,f(x)0;-a2,即 a-a 时,f(x)0;当 2a 恒成立,知 f(x2)-ax2f(x1)-ax1恒成立.f(x2)-f(x1)x2-x1令 g(x)=f(x)-ax= x2-2alnx-2x,12则函数 g(x)在(0,+)上单调递增,所以 g(x)=x- -20,即 2ax 2-2x=(x-
16、1)2-1 在(0,+)上恒成2ax立,因为(x-1) 2-1 在(0,+)上的最小值为-1,所以 a- ,12故存在这样的实数 a 满足题意,其取值范围为 .(-, -12跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如本题中的第(3)问中的“ ”,其几何意义是曲线上两点f(x2)-f(x1)x2-x1(x1,f(x1)与(x 2,f(x2)连线的斜率,但若直接利用导数的几何意义将该直线的斜率转化为函数图象上某点处的切线斜率,则求解较为复杂,故应该通过代数式的等价变换,将原问题转化为函数 g(x)=f(x)-ax的单调性问题进
17、行求解.跟踪集训9.(2018 江苏楚水实验学校等三校联考)已知函数 f(x)=x- ,g(x)=2alnx.bx(1)若 b=0,函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象相切,求 a 的值;(2)若 a0,b=-1,函数 F(x)=xf(x)+g(x)满足对任意 x1,x2(0,1(x 1x 2),都有|F(x 1)-F(x2)| -12且 2解析 因为 为锐角,所以 00 且 1,2 +15 2+1 2 +15 2+1所以 解得2 +10,2 +1 5 2+1, -12, 2,所以 的取值范围是 . | -12且 2陷阱二 错用结论公式定理要记准跟踪集训2.解析 (1)f(x)=sin
18、-cos +2cos2x(2x+ 6) (2x+ 3)= sin2x+ cos2x- cos2x+ sin2x+cos2x+132 12 12 32= sin2x+cos2x+1=2sin +1,3 (2x+ 6)f =2sin = +1.(12) (212+ 6) 3(2)令 2k- 2x+ 2k+ (kZ),解得 k- xk+ (kZ);令 2 6 2 3 62k+ 2x+ 2k+ (kZ),解得 k+ xk+ (kZ). 2 6 32 6 23f(x)的单调递增区间为 (kZ),k - 3,k + 6f(x)的单调递减区间为 (kZ).k + 6,k +23(3)变换步骤:(答案不唯一)
19、y=sinxy=sin2xy=sin(2x+ 6)15y=2sin(2x+ 6)y=2sin +1.(2x+ 6)陷阱三 忽视验证特例情况要谨记跟踪集训3.解析 (1)由题意有 3 个点在椭圆 C 上,根据椭圆的对称性,则点(3,1),(3,-1)一定在椭圆 C 上,即+ =1(ab0),9a21b2若点(-2 ,0)在椭圆 C 上,则点(-2 ,0)必为椭圆 C 的左顶点,而 32 ,则点(-2 ,0)一定不在椭2 2 2 2圆 C 上,故点( , )在椭圆 C 上,点(-2 ,0)在直线 l 上,3 3 2所以 + =1,联立可解得 a2=12,b2=4,3a23b2所以椭圆 C 的方程为
20、 + =1.x212y24(2)证明:由(1)可得直线 l 的方程为 x=-2 ,2设 P(-2 ,y0),y0 ,2 (-233,233)当 y00 时,设 M(x1,y1),N(x2,y2),显然 x1x 2,联立 则 + =0,即 =- ,x2112+y214=1,x2212+y224=1, x21-x2212y21-y224 y1-y2x1-x2 13 x1+x2y1+y2又 PM=PN,即点 P 为线段 MN 的中点,故直线 MN 的斜率为- = ,13 -22y0 223y0又直线 lMN,所以直线 l的方程为 y-y0=- (x+2 ),即 y=- ,3y022 2 3y022(
21、x+423)显然直线 l过定点 ;(-423,0)当 y0=0 时,直线 MN 为 x=-2 ,此时直线 l为 x 轴亦过点 .2 (-423,0)综上所述,直线 l过定点,且该定点的坐标为 .(-423,0)陷阱四 讨论漏解参数标准要恰当跟踪集训4.解析 (1)因为函数 f(x)=ax+x2-xlna(a0,a1),所以 f(x)=axlna+2x-lna,f(0)=0,16又因为 f(0)=1,所以函数 f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y=1.(2)由(1)知,f(x)=a xlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna.因为当 a0,a1 时,总有 f(x)在 R 上是增函数
22、,又 f(0)=0,所以不等式 f(x)0 的解集为(0,+),所以函数 f(x)的单调递增区间为(0,+).(3)因为存在 x1,x2-1,1,使得|f(x 1)-f(x2)|e-1 成立,当 x-1,1时,|f(x 1)-f(x2)|f(x) max-f(x)min,所以只要 f(x)max-f(x)mine-1 即可.又因为 x,f(x),f(x)的变化情况如下表所示:x (-,0) 0 (0,+)f(x) - 0 +f(x) 减函数 极小值 增函数所以 f(x)在-1,0)上是减函数,在(0,1上是增函数,所以当 x-1,1时,f(x)的最小值 f(x)min=f(0)=1,f(x)的
23、最大值 f(x)max为 f(-1)和 f(1)中的最大值.因为 f(1)-f(-1)=(a+1-lna)- =a- -2lna,(1a+1+lna) 1a令 g(a)=a- -2lna(a0),1a因为 g(a)=1+ - = 0(当 a=1 时,取“=”),1a22a(1-1a)2所以 g(a)在(0,+)上是增函数.而 g(1)=0,故当 a1 时,g(a)0,即 f(1)f(-1);当 01 时,f(1)-f(0)e-1,即 a-lnae-1,函数 y=a-lna 在(1,+)上是增函数,解得 ae;当 0 ,02,12 32tanA即实数 m 的取值范围是(2,+).陷阱六 推理不当
24、归纳类比要合理跟踪集训6.解析 (1)若 a1,a2,anR,a 1+a2+an=1,则 + + .a21a22 a2n1n(2)证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2,则 f(x)=nx2-2(a1+a2+an)x+ + +a21a22 a2n=nx2-2x+ + + ,a21a22 a2n对一切 xR,恒有 f(x)0,所以 =4-4n( + + )0,a21a22 a2n从而得 + + .a21a22 a2n1n陷阱七 画图不准数化“形”要准确跟踪集训7.答案 15解析 函数 y=f(x),y=g(x),x-5,10的图象的交点个数即为函数 y=f(x)
25、-g(x)在区间-5,10内零点的个数,在同一坐标系中作出函数图象如图,当 x9,10时,f(9)=00,b=-1 时,F(x)=x 2+1+2alnx,F(x)=2x+ 0,所以 F(x)在(0,1上递增.2ax不妨设 00,所以 00),由题意知 x1,x2是 x2+2ax+1=0 的两根,x2+2ax+1x219x 1x2=1,x1+x2=-2a,x2= ,1x12a=-x1- ,1x1G(x1)-G(x2)=G(x1)-G(1x1)=2 .x1-1x1-(x1+1x1)lnx1令 H(x)=2 ,x-1x-(x+1x)lnxH(x)=2 lnx= .(1x2-1) 2(1+x)(1-x
26、)lnxx2当 x 时,H(x)0,所以 H(x)在 上单调递减,H(x)的最小值为 H = ,(0,13 (0,13 (13)20ln3-163即 G(x1)-G(x2)的最小值为 .20ln3-163陷阱十 新定义不明用新定义要明确跟踪集训10.答案 9解析 易知 A(-1,7),B(5,7),所以 =(-6,0),所以 = + =(5-6,7).BA ONOB BA因为 xM=x2+(x 1-x2),所以 xM=5+(-1-5)=5-6.因为点 M(xM,yM)在函数 f(x)的图象上,所以-15-65,解得 01.所以 yM=f(5-6)=(5-6) 2-4(5-6)+2=36 2-36+7,所以 - =(5-6,7)-(5-6,36 2-36+7)=(0,-36 2+36),ONOM所以| - |=|-36 2+36|=36 ,ONOM |-( -12)2+14|当 = 时,| - |取最大值,为 9.12 ONOM所以函数 f(x)=x2-4x+2 在区间-1,5上的“向高”为 9,故填 9.
