1、hVH【新课教学过程（一） 】3.2.2 函数模型的应用举例教学过程设计第一课时 已知函数模型解实际问题例 1、一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示。（1）求略中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s km 与时间 t h 的函数解析式，并作出相应的图象。解：（1）阴影部分的面积为 501 + 801 + 901 + 751 + 651 = 360，阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360km。（2）根据上图，有 ，5024,018(1)293,746
2、5(4)9,5ttstttt这个函数的图象如右图所示。小结：由函数图象，可以形象直观地研究推断函数关系，可以定性地研究变量之间的变化趋势，是近年来常见的应用题的一种题型，其出发点是函数的图象，处理问题的基本方法就是数形结合。练习 1：向高为 H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（ ）(A) (B) (C) (D)练习 2：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。（）写出图一表示的市场售价与时间的
3、函数关系式 ；)(tfp写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 ；gQ（）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/10 2，时间单位：天）例 2、人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在 1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： ，其中 t 表示经过的时间，y 0 表示 t = 0 时的人口数，r 表示人rtey0口的年平均增长率。下表是 1950 1959 年我国的人口数据资料：年份来源:高$ 考试(题库 1950 1951 1952 1953
4、1954 1955 1956 19571958来源:高 $考 试(题库1959人数/万人 55196 56300 57482 58796 6026661456来源: 高 考试!题库62828 64562 65994 67207（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001） ，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；（2）如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到 13 亿？解：（1）设 19511959 年的人口增长率分别为 r1，r 2，r 9。由，可得 1951 年的人口增长率 。596(
5、)530r0.同理可得 ， ， ， ， ，2.13.029r4.5r7r60.23r， ， ，70.r8r918于是，19511959 年期间，我国人口的年均增长率为 。129().1rr来源:s t#.Com令 ，则我国在 19501959 年期间的人口增长模型为05196y。0.2,teN根据上表的数据作出散点图，并作出函数的图象（如图）：0.21596,ty可以看出，所得模型与 19501959 年的实际人口数据基本吻合。（2）将 y = 130000 代入 ，得 。0.21596tye38.76所以，如果按上表的增长趋势，那么大约在 1950 年后的第 39 年（即 1989 年）我国
6、的人口就已达到 13 亿。小结：已知函数模型解实际问题主要有两类：（1）已知函数解析式形式，只须求待定系数，较易；（2）根据题目所给条件，能够列出两个变量、之间的关系式，从而得出函数解析式，这类题目的关键是审清题意，弄清常量、变量诸元素之间的关系。归纳：解函数应用题的步骤：解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后再用相应的数学知识去解决，基本程序如下：1、阅读、审题：要做到简缩问题，删掉将要语句，深入理解关键字句；为便于数据处理，最好运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系。2、建模：将问题简单化、符号化，尽量借鉴标准形式，建立数学关系式。3、合理求解纯
7、数学问题。4、解释并回答实际问题。练习：P104，1、2。作业：P107，习题 3.2，A 组：2、3、4。教学反思：第二课时 函数拟合问题例 1、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是5 元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润。解：由上表，销售单价每增加 1 元，日均销售量就减少 40 桶。设在进价基础上增加 x元后，日均销售利润为 y 元，在此情况下的日均销售量为 480 40
8、(x 1) = 520 40x（桶） 。由于 x 0，且 520 40x 0，即 0 x 13，于是可得。2(524)45,013y x所以，当 x = 6.5 时，y 有最大值。所以，只需将销售单价定为 11.5 元，就可获得最大的利润。练习 1：（P106）某公司生产某种产品的固定成本为 150 万元，而每件产品的可变成本为 2500 元，每件产品的售价为 3500 元。（1）分别求出总成本 y1（单位：万元） ，单位成本 y2（单位：万元） ，销售总收入y3（单位：万元） ，总利润 y4（单位：万元）与总产量 x（单位：件）的函数解析式；（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益作出
9、简单分析。练习 2：某工厂生产一种机器的固定成本为 5000 元，且每生产 100 台需要增加投入2500 元。对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年 500 台。已知销售收入函数为： ，其中 x 是产品售出的数量， 。2150)(xH 50x（1）若 x 为年产量，y 为利润，求 y = f (x) 的解析式；（2）当年产量为何值时，工厂的年利润最大，其最大值是多少？例 2、某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.0
10、2 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05（1）根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重 y kg 与身高 x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式。（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏重，低于 0.8 倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为 175 cm，体重为 78 kg 的在校男生的体重是否正常？解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图。根据点的分布特征，可考虑以 作为刻画这个地xyab区未成年男性的体重与身高关系的函数模型。如果取其中的两组数据（70，7.90） ，
11、 （160，47.25） ，代入 得： ，解得 a2，b1.02。这xyab7016.9425ab样，我们就得到一个函数模型： 。.xy将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系。（2）将 x = 175 代入 ，得 ，21.0xy1752.063.98y由于 ，所以，这个男生偏胖。来源:高考试题库 !ST7863.9练习 3：18 世纪 70 年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离（天文单位）如下表：行星1（金星） 2（地球） 3（火星）4（？）5（
12、木星） 6（土星）7（？）距离 0.7 1.0 1.6 5.2 10.0他研究行星排列规律后估测在火星和土星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你用函数的模型推测谷神星离太阳的平均距离，在土星外面是什么星？继续推测它与太阳的平均距离。练习 4：某地区今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数分别为 52，61，68。为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 ，乙选择了模型 ，其2yaxbcxypqr中 y 为患病人数， x 为月份数， a，b，c ，p，q，r 都是常数。结果 4 月，5 月，6 月份的患病人数分别为 74，78，83，你认为谁选择的模型较好？小结：有许多实际问题，只是采集了两个变量相应的一些离散数据，一般采用函数拟合的方法进行研究，即先画散点图，再选出拟合函数，并进行检验。作业：P120，习题 3.2，A 组，1、5、6。教学反思：高(考试-题#库
