1、第三章测评 A(基础过关卷)(时间:90 分钟 满分:100 分)第 卷(选择题 共 50 分)一、选择题(本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,在四面体 ABCD 中,已知= b,=a,=c,则等于( )A.-a+b+cB.a+b+cC.a-b+cD.a-b+c解析:)=-a+ b+c .答案:A2.已知 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是( )A.ac,bc B.ab ,acC.ac, ab D.以上均错解析:因为 c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=
2、2a,所以 ac.又 ab=-22+(-3)0+14=0,所以 ab.答案:C3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,则 cos的值等于 ( )A. B. C. D.解析:设正方体棱长为 1,则|=,|=,而=() =|2+|2+=1+0+0-+0+0=.故 cos=.答案:B4.已知平面 和平面 的法向量分别为 m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则( )A. B.C. 与 相交但不垂直 D.以上都不对解析: n=(-6,-2,10),m=(3,1,-5), n=-2m. mn. 与 平行.答案:B5.已知四边形 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,
3、连接 AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不一定为零的是( )A. B.C. D.解析:建立如图所示的直角坐标系 .设矩形 ABCD 的长、宽分别为 a,b,PA 长为 c,则 A(0,0,0),B(b,0,0),D(0,a,0),C(b,a,0),P(0,0,c).则=( b,a,-c),=(-b,a,0),=(0,-a,0),=(b,0,-c),=(0,a,-c),=(b,0,0),=(0,0,-c),=(-b,0,0). =-b2+a2 不一定为 0.=0,=0,=0.答案:A6.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量两两的夹角均为 60,且|=1,|=2,|
4、=3,则| 等于( )A.5 B.6 C.4 D.8解析:设=a,= b,=c,则= a+b+c,=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=25,因此|=5.答案:A7.在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,E 是 C1D1 的中点,则异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值为( )A.- B.- C. D.解析:如图建立直角坐标系 D-xyz,设 DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E.则=( -1,1,0),若异面直线 DE 与 AC 所成的角为 ,cos =|cos|=.答案:D8.已知 a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为 (
5、 )A. B. C.4 D.8解析:|a|=3,| b|=3,而 ab=4=|a|b|cos, cos=,故 sin=,于是以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为S=|a|b|sin=33.答案:A9.如图,ABCD 为正方形,P 为平面 ABCD 外一点,PDAD,|PD|=|AD|= 2,二面角 P-AD-C 为60,则点 P 到 AB 的距离为( )A.2 B. C.2 D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系 ,则点 A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,1,),=(-2,1,),=(0,2,0),则= 1,所以 P 到 AB 的距离 d=.答案:D10.在正方体 ABCD-A1B
6、1C1D1 中,直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为 ( )A. B.C. D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系 .设正方体的棱长为 1,则 D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1). =(1,0,1),=(1,1,0),=(-1,0,1).设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n=0,n=0.令 x=1,则 n=(1, -1,-1), cos=. 直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的正弦值为. 直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的余弦值为.答案:C第 卷(非选择题 共 50 分)二、填空题(本大题共 5 小题 ,每小题
7、5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)(2b)=-2,则 x= . 解析:c-a=(0,0,1-x ),2b=(2,4,2),由题意得 02+04+(1-x)2=-2,解得 x=2.答案:212.在四面体 OABC 中,=a,=b,=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则= .(用a,b,c 表示) 解析:)=a+b+c.答案:a+b+c13.若平面 的一个法向量为 n=(3,3,0),直线 l 的一个方向向量为 b=(1,1,1),则 l 与 所成角的余弦值为 . 解析: cos=
8、, l 与 所成角的余弦值为.答案:14.如图,AB=AC=BD=1,AB 平面 M,AC平面 M,BDAB,BD 与平面 M 成 30角,则 C,D 间的距离等于 . 解析:| 2=|2=|2+|2+|2+2+2+2=1+1+1+0+0+211cos 120=2.故|=.答案:15.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1 上的点,如果 B1E平面ABF,则 CE 与 DF 的和的值为 . 解析:以 D1A1,D1C1,D1D 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 ,设 CE=x,DF=y,则易知 E(x,1,1),B1(1,1,0),F(0
9、,0,1-y),B(1, 1,1), =(x-1,0,1), =(1,1,y). B1E平面 ABF, =(1,1,y)(x-1,0,1)=0x+y=1.答案:1三、解答题(本大题共 4 小题 ,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6 分) 已知向量 a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点 A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|;(2)在直线 AB 上,是否存在一点 E,使得b?(O 为原点)解:(1)2a+b=(2,-6,4)+( -2,1,1)=(0,-5,5),故|2a+b| =5.(2)+t=(-3,-1,4)+t(1,-1
10、,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t),若b,则b =0,所以-2( -3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得 t=,因此存在点 E,使得b,此时 E 点坐标为 E.17.(6 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA 1=4,点 D 是 AB 的中点.求证:(1)ACBC 1;(2)AC1平面 CDB1.证明: 直三棱柱 ABC-A1B1C1 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,且 C1C 垂直底面. AC,BC,C1C 两两垂直.如图,以 C 为坐标原点,分别以 CA,CB,CC1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角
11、坐标系.则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D.(1)=(-3, 0,0),=(0,-4,4), =0, ACBC 1.(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,则 E(0,2,2), =(-3,0,4), . DEAC 1. DE平面 CDB1,AC1平面 CDB1, AC1平面 CDB1.18.(6 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA平面 ABC,BAC=90,D,E,F 分别是棱 AB,BC,CP 的中点,AB=AC=1,PA=2.(1)求直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值;(2)求点 P 到平面
12、 DEF 的距离.解:(1)如图,以 A 为原点,AB,AC,AP 所在的直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 Axyz.由 AB=AC=1,PA=2,得 A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),D,E,F,则.设平面 DEF 的法向量 n=(x,y,z),则解得取 z=1,则平面 DEF 的一个法向量 n=(2,0,1).设 PA 与平面 DEF 所成的角为 ,则 sin =,故直线 PA 与平面 DEF 所成角的正弦值为.(2) ,n=(2,0,1), 点 P 到平面 DEF 的距离 d=.19.(7 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知
13、 AB=AC=AA1=,BC=4,点 A1 在底面 ABC 的投影是线段BC 的中点 O.(1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE平面 BB1C1C,并求出 AE 的长;(2)求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值.解:(1)连接 AO,在AOA 1 中,作 OEAA 1 于点 E. AA1BB 1, OEBB 1. A1O平面 ABC, A1OBC. AB=AC,OB=OC, AOBC. BC平面 AA1O, BCOE. OE平面 BB1C1C.又 AO=1,AA1=, AE=.(2)如图,分别以 OA,OB,OA1 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2),B1(-1,2,2).由,得点 E 的坐标是.由(1)得平面 BB1C1C 的法向量是.设平面 A1B1C 的法向量 n=(x,y,z),由令 y=1,得 x=2,z=-1,得 n=(2,1,-1).所以 cos=,即平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值是.
