1、高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 17 第二学期 第十二周 课程内容 1.2.2 组合 排列和组合的综合应用2014-2015学年 高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 17 1、准备知识要点： 分步乘法计数原理，排列数公式的推导过程。 2、本阶段知识要点： 理解组合的概念，能利用计数原理和排列数公式，并能解决简单的实际问题。 （一）组合 1组合：从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个组合. 注：排列与组合都要“
2、从 n 个不同的元素中，任取 m 个元素”，所不同的是排列要“按照 一定的顺序排成一列”，而组合却是不管怎样的顺序“并成一组”.因此排列与元素的顺序有 关，组合与顺序无关，区分它们必须抓住“顺序”这个关键. 比如从 2，3，5 这三个数中，每次取出两个不同的数相除，和每次取出两个数相乘，有 多少种可能的结果？前者每次取出的两个数，与被除数和除数这两个“位置”有关，必须考 虑“顺序”.而后者就不必考虑“顺序”，所以前者是排列问题，后者是组合问题. 2组合数：从 n 个不同元素中，任取 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 m n C 表示
3、。高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 17 3组合数公式：以 n 个不同的元素中取出 m 个元素的组合数由分步乘法记数原理可得 n m N m n m n m n C m m n n n n A A C A C A m n m m m n m n m m m n m n - = + - - - = = = + 且 这里 或 从而 , , )! ( ! ! ! ) 1 ( ) 2 )( 1 ( , L 4组合数的性质 性质 1 m n n m n C C - = (当 n=m 时，规定 0 n C =1) 性质 2 1 1 - + +
4、= m n m n m n C C C 这两个性质都可用两种方法证明.一种是用组合数公式证明，另一种是根据组合定义直接 推出，请同学们自行完成。 性质 1 可用于简化组合数 m n C 的计算，当 2 n m 时，通常不直接计算 m n C ，而是改为计 算 m n n C - ，这样比较方便. 性质 2 用于有关组合数的式子的化简或组合恒等式的证明，应注意它的逆向运用和连续 运用.例如 1 1 1 + + + = + r n r n r n C C C ， m m n m m n m m n C C C + + + + + + = 1 1 1 等。 （二）解排列组合应用题总的原则 1要深入弄
5、清所要解的问题的情景，切实把握住各因素之间的相互关系，而不可分 析不透，就用 m n A 或 m n C 乱套一气。 2弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用 m n A ，反之用 m n C 。 3弄清目标的实现，是分步达到的，还是分类完成的，前者用分步计数原理，后者用 分类计数原理。 事实上，一个复杂问题，往往是分类和分步交织在一起，这就要准确分清哪一步用分步 计数原理，哪一步用分类计数原理。高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 17 4对于较复杂问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是直接解法，一个是间接解 法，前者是指
6、，按照要求，一点一点选出符合要求的方案；后者是指，先按照全局性的要 求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去。 由于这两种途径的优劣因题而异，一般地，一道题目，直接解法很繁琐时，间接解法则 往往简单，反之亦然，所以，平常做题时，这两种训练都要进行。 5特别强调，要一题多解。 这一方面是因为，这几乎是排列组合应用问题最重要的检验方法；另一方面，由于这种 题目通常较难，一般学生畏惧它的错综复杂，而一题多解，从不同角度解剖它，是训练对 这类问题的分析能力的有效手段。 题型一：有关组合数的计算问题 例 1解方程 9 2 18 18 + = x x C C 解： 3 9 9 2 18 9 2 9 2
7、 18 18 = - = + = - + = = + x x x x x x C C x x 解得 或 Q 经检验 x=9 不合题意 原方程解为 x=3高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 17 例 2求证： 1+ 1 1 + n C + 2 2 + n C + + m m n C + = m m n C 1 + + 证明： 原题得证 = + = = + + + + = + + + + = + + + + = + + + + + + + -+ + + + + + + + + + + + + + + + m m n m m n m m n
8、 m m n n n n m m n n n n m m n n n n m m n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C 1 1 4 4 3 3 2 3 3 3 2 2 1 2 2 2 1 1 0 1 2 2 1 1 1 L L L L L 说明：本例在对 1 进行代换以后，连续逆向运用了组合数的性质 2. 题型二：有关组合的应用题 组合应用问题一般分为两类：即无限制条件的组合问题和有限制条件的组合问题。常见 题型有：（1）抽样问题；（2）几何问题；（3）分组问题等。 解组合应用题同解排列应用题一样，常用的基本方法相同，有“直接”和“间接”两种思 路
9、。同样要分清运用分类计数原理，分步计数原理，还是综合运用两个原理，设计好解题 程序。 例 3一个小组共有 10 名同学，其中 4 名是女同学，6 名是男同学.要从小组内选出 3 名 代表，其中至少有一名女同学，求一共有多少种选法？ 解法一 ：选出的 3 名代表不必考虑他们的顺序，属组合问题，优先安排女同学，根据 3 名 代表中女同学的人数进行分类，有下列三种类型： 3 名代表中有一名女同学，2 名男同学的选法的种数是 60 2 6 1 4 = C C 3 名代表中有 2 名女同学，1 名男同学的选法的种数是 36 1 6 2 4 = C C 3 名代表都是女同学的选法的种数是 4 3 4 =
10、C高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 17 所以 3 名代表中至少有 1 名女同学的选法的种数是 3 4 1 6 2 4 2 6 1 4 C C C C C + + =60+36+4=100 解法二：排除不合条件的选法的种数，间接求得结果： 10 名同学中选 3 名代表的选法种数是 120 3 10 = C 3 名代表都是男同学的选法的种数是 20 3 6 = C 所以 3 名代表中至少有一名女同学的选法的种数是 3 6 3 10 C C - =12020=100 答：3 名代表中至少有 1 名女同学的选法有 100 种. 例 4某班
11、有 22 名男生，挑选 6 人组成排球队，在以下条件限制下，求各有多少种挑选 方法. （1）甲必须参加 （2）乙不能参加 （3）甲不参加而乙必须参加 （4）甲、乙都参加 （5）甲、乙都不参加 （6）甲、乙至少有一人参加 （7）甲、乙至多有一人参加 解：组队选队员无顺序要求，所以是组合问题. （1）解一：直接方法 因为 1 人必须参加，所以问题归结为从 21 人中选 5 人，共有 5 21 C =20349 种 解二：间接方法 6 21 6 22 C C - =20349 种高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 17 （2）解一：直接方法
12、 因为 1 人不能参加，所以问题转化为，由 21 人选 6 人，共有 6 21 C =54264 种 解二：间接方法 从不加限制的选法中，减去有 1 人一定参加的选法数，共有 5 21 6 22 C C - =54264 （3）直接解法 因为 1 人不参加，另一人一定参加，问题转化为从 20 人里选 5 人，共有 5 20 C =15504 （4）直接解法 因为 2 人一定入选，问题转化为 20 人中选 4 人，共有 4 20 C =4845 种 （5）直接解法 二人不参加，所以从 20 人中选 6 人 共有 6 20 C =38760 种 注：此题不可借用（4）的结论，用间接方法，从 6 2
13、2 C 中减去 4 20 C .因为去掉两人都参加 的组合数，并非两人都不参加的组合数，要注意，对“都是”的否定是“不都是”. （6）直接方法 有甲无乙，有 5 20 C 有乙无甲，有 5 20 C 同时有甲乙：有 4 20 C 所以共有 2 5 20 C + 4 20 C =35853 解二：间接方法 至少一人参加的反面是 2 人都不参加，借用（5）的结论，共有 6 22 C 6 20 C =35853 种高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 17 （7）间接解法较易 至多一人参加的反面是 2 人都参加 6 22 C 4 20 C =
14、69768 种 例 5四面体的一个顶点为 A，从其它顶点与棱的中点取 3 个点，使它们与点 A 共面，有 多少种不同的取法？ 解：如图，M1，M2，M3，M4，M5，M6 分别为四面体 ABCD 各棱中点 在三个侧面上除去 A 点，均有三个中点，二个顶点，共 5 个点，从中任取 3 个都与 点 A 共面，有 3 5 3C 种； 由平面性质的推论 2，（M1，D，M6），（M1，B，M4），（M3，C，M5）均与 A 共面，有 3 个，由加法原理， （种） 33 3 3 3 5 C N 题型三：分配问题 前面已对一些常见的排列组合问题，如有相邻要求的排列问题，有不相邻要求的排列问 题，某些元素必
15、须在或不在指定位置的排列组合问题予以分析.下面对分配问题加以讨论. 把一些元素，分给另一些元素来接受。这是排列组合应用问题中，一类难度较大的问 题。因为问题涉及到两类元素：被分配元素和接受单位，而我们所学的排列组合是对一类 元素做排列或组合的。 D M6 C M1 M2 M3 B A M4 M5 高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 17 事实上，任何排列问题，都可以看做面对两类元素。 例如把 10 个人做全排列，可以理解为，在 10 个人旁也有序号为a 1, a 2,a 10 的 10 把椅子.每把坐一个人，那么有多少种坐法？不是出
16、现了两类元素了吗？一类是人，一类是 椅子。这样一来，对眼花缭乱的常见的分配问题，不难归结为以下“方法结构”： （1）每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题. 方法是 m n A 这里 nm，其中的 m 是“接受单位”的个数，谁是“接受单位”，不要管它在生活中原 来的意义，n 若大于、等于 m，个数为 m 的一类元素就是“接受单位”，于是方法还可以简 化到 少 多 A ，这里的“多”只需“少” 例 68 名大学生分配给 9 个工厂，每个工厂至多接受一名大学生，问有多少种分配方 案？ 例 79 名大学生分配给 8 个工厂，每个工厂至多接受一名大学生，问有多少种分配方 案？ 两例解答相同，都是
17、 8 9 A =362880 种 （2）各“接受单位”的接受数目不限，并且全部元素要分完的问题。记“被分配元素”数为 n，“接受单位”数为 m，这里的“被分配元素”“接受单位”都指实际意义，则分配方案数为 m n 。高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十二周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 17 例 8有 5 名高中毕业生投考大学，有三所大学可供选择，每人只能填一个志愿，有多少 种报名方案？ 解：每人都有 3 种选择 共有 33333=3 5 种 说明：这类问题，对于被分配元素，因为没有固定数目的分组要求，所以不宜用排列组合 数公式去计算（反而繁锁）. （3）分组问题 平
18、均分组分组后各组元素个数都相等. 严格非平均分组分组后各组元素个数都不相等. 不严格非平均分组分组后若干组元素个数相同，若干组元素个数不相同. 例 9把 4 人（1）分成两组，每组 2 人，有多少种分法？（2）分成第一，第二两个小 组，有多少种分法？（3）分成第一，第二两个小组，每组轮流担任不同的工作，有多少 种分法？ 分析：记 4 人为 a，b，c，d 考察所有分组情况： （1）分两组，每组不冠名（不可辨型） 先选 2 人 后选 2 人 分组方法数 ab cd cd ab 算一种 ac bd bd ac 算一种 ad bc bc ad 算一种 以上 6 种分组方法中，每 2 2 A 只能算一种.
