1、高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 1 / 18 第二学期 第十四周 课程内容 第一章 计数原理 复习2014-2015学年 高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 3 / 18 本阶段知识要点： 分类加法计数原理、分步乘法计数原理、二项式定理相关公式 排列是高中数学的难点，是进一步学习高等数学概率论的基础，近几年的高考试题 中，有关排列部分的考题主要以选择题、填空题的形式出现。题目背景是数字问题，人或 物的排列问题.题目模式多为有限制条件的“相邻、相离、定位”问题. 有关组合问题的题目背景多以
2、“几何问题，产品的抽样检测问题，集合问题，人或物的 搭配问题”等形式出现.试题模式以“多元问题”居多，大多数需要分类讨论，因此解题方法常 常涉及排除法。试题题型均为选择题、填空题。 在近十年的高考中，除 2000 年未涉及二项式定理考题外，其余各年每年一题，试题 有赋值法在二项展开式中的运用，有求积式、和式的某一项的系数，有求常数项，有求题 中参数等题型。 知识要点 1分类加法计数原理做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第 K（K1，2，,n） 类办法中，有 mk 种不同的方法，则完成这件事共有 N=m1m2mn 种不同的方法. 2分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分 n 个步骤，做第 K
3、（K1，2，,n） 步时，有 mk 种不同的方法，则完成这件事共有 N=m1m2mn 种不同的方法. 3排列，组合的主要公式 （1）排列数公式 公式 1 m n A n（n1）（nm+1）高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 4 / 18 公式 2 m n A )! ( ! m n n - 公式 3 n n A n！= n（n1）21 （2）组合数公式 公式 1 C m n = ! m A m n 公式 2 C m n = ！ ) ( ! ! m n m n - （3）组合数性质 性质 1 m n n m n C C - = 性质 2 1 1
4、- + + = m n m n m n C C C （4）常用的等式 nn!(n1)！n！ )! 1 ( 1 ! 1 )! 1 ( + - = + n n n n m m C m m C 1 + m m C 2 + m n C 1 1 + m n C (1 ) n m 注：以上各等式中，m，nN,且规定 0！1；A 0 n=1;Cn 0 =1 4二项式定理 (a+b) n = n n n r r n r n n n n n b c b a c b a c a c + + + + + - - L L 1 1 0 其中 r n c 叫做二项式系数 5二项展开式的性质 （1）通项公式 r r n r
5、 n r b a C T - + = 1 (r=0,1,2,n) （2）二项式系数最大的项：当 项； 为偶数时，第 1 2 + n n高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 5 / 18 当 项 项和第 为奇数时，第 1 2 1 2 1 + + + n n n （3）各项二项式系数和： n n n r n n n c c c c 2 1 0 = + + + + + L L （4）偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和： 1 5 3 1 4 2 0 2 - = + + + = + + + n n n n n n n c c c c c c L L
6、 （5）与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. （6）常用等式 k 1 1 - - = k n k n nc c （7）相邻两项二项式系数的比： 1 1 + - = + k k n c c k n k n 一）加法原理和乘法原理的应用 例 1、设集合 A=1，2，5，8，B2，4，5，8，则从集合 B A I 和 B A U 中各取一 个，可以组成多少个不同的二元集合？ 解： B A I 2，5，8， B A U =1，2，4，5，8,有三类办法. 取 2 B AI ,取 a B AU 且 a 2,有 1 4 A 种方法； 取 5 B AI ,取 b B AU 且 b 2，5,有 1 3
7、 A 种方法； 取 8 B AI ,取 c B AU 且 c 2，5，8,有 1 2 A 种方法； 属分“类”问题，所以由加法原理，N 1 4 A 1 3 A 1 2 A =9（个） 二）元素分析法，位置分析法，直接法和间接法的应用 元素分析法从“元素”出发解排列、组合问题的方法叫做元素分析法. 位置分析法从“位置”出发解排列、组合问题的方法叫做位置分析法.高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 6 / 18 直接法从满足附加条件的元素出发解排列、组合问题的方法叫做直接法. 间接法从排列、组合所有可能的总数中减去不合附加条件的排列、组合数，来解排
8、 列、组合问题的方法，叫做间接法. 例 2、在所有无重复数字的三位数里，共有多少个不含数字 0？ 解法 1（元素分析法，直接法） 从 1，2，9 这 9 个数字中任取三个数进行排列，每个排列表示一个三位数，共有 504 3 9 A N （个） 解法 2（位置分析法，直接法） 分两步： 不 0 不 0 不 0 1 9 A 2 8 A 定百位数字，有 1 9 A 种方法， 定十位和个位数字有 2 8 A 种方法， 由乘法原理 504 2 8 1 9 A A N （个） 解法 3（元素分析法，间接法） 从 0 到 9 这 10 个数字中取 3 个数字的排列数为 3 10 A ，0 在百位，十位，个位
9、的个数均 为 2 9 A ，所以 （个） 504 3 2 9 3 10 A A N 例 3、用 0 到 9 这 10 个数字可以组成多少个无重复数字的四位数？ 解法 1（位置分析法，直接法） （个） 4536 3 9 1 9 A A N高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 7 / 18 不 0 1 9 A 3 9 A 解法 2（位置分析法，直接法） 含 0 0 3 9 A 0 3 9 A 0 3 9 A 不含 0 4 9 A （个） 4536 3 4 9 3 9 A A N解法 3.(位置分析法，间接法) 从 0 到 9 这 10 个数字中任取
10、 4 个数字的排列数为 A 4 10 ,不合题意的数形如 0 3 9 A 有 3 9 A ,所以 （个） 4536 3 9 4 10 A A N -高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 8 / 18 三）优待排列 参加排列的若干个别元素需优先照顾，一定要求排在（或不排在）某些特殊位置，这 种排列叫做优待排列. 例 4、5 名同学站成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，有多少种排法？ 解法 1 有两类办法：乙 不甲 不乙 不乙 A3 1 A3 1 N 4 4 A 1 3 A 1 3 A 3 3 A 78（种） 解法 2，（间接法） 无限制 不合题意
11、 甲 乙 有重复 甲 乙 78 2 3 3 4 4 5 5 A A A N （种） 4 4 A 5 5 A 4 4 A 4 4 A 3 3 A A3 3高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 9 / 18 例 5、 分配 6 个人到 6 个房间，这 6 个房间的编号依次为 1，2，3，4，5，6，每间住 1 人，甲要求住 3 号房间，乙，丙要求不住 1，6 号房间，有多少种分配方法？ 解： 不乙 不丙 甲 不乙 不丙 1 2 3 4 5 6 安排甲住 3 号房间，有 1 种方法; 安排 1，6 号房间:6 人中除去甲，乙，丙，从余下 3 人中选
12、2 人住入，有 2 3 A 种方法; 安排其余 3 个房间，有 3 3 A 种方法. N 2 3 A 3 3 A =36（种） 说明：解优待排列问题，须对个别元素所要求的（排在或不排在的）那些特殊位置优先 做安排，然后再考虑安排其余位置，从而使问题得以解决. 四）集团排列（大元素法） 参加排列的若干元素要求排在一起，这种排列称为集团排列. 例 6、 用 1 到 7 这 7 个数字，可以组成多少个无重复数字，且 1，2，3 必相邻的七位 数？ 解：1，2，3 把 1，2，3 看作一个大元素，与其余 4 个元素（4，5，6，7）一起排列，相当于 5 个数字的全排列，有 5 5 A 种排法，然后考虑
13、大元素内部 3 个小元素的排列，有 3 3 A 种排法， 由乘法原理，N 5 5 A 3 3 A 1206720（个）高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 10 / 18 例 7、 7 名同学排成一排，要求甲与乙相邻，丙与丁相邻，有多少种排法？ 解：甲，乙 丙，丁 5 个元素（其中有两个大元素）的全排列，有 5 5 A 种排法; 每个大元素内部 2 个小元素均有 2 2 A 种排法， 由乘法原理 N 480 2 2 2 2 5 5 A A A （种） 说明：解集团排列问题时，须将要求必相邻的若干元素看做一个集团或一个大元素，与 剩余元素一起排列
14、，然后再把大元素内部的小元素进行排列，由乘法原理得解.为方便记 忆，有人称这种方法为大元素法 . 五）若干元素不相邻的排列（插空法） 例 8、马路上有编号为 1，2，10 的 10 盏路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中 的 3 盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，求满足条件 的关灯方法种数： 解： 0 0 0 0 0 0 0 7 盏亮着的路灯间除去两端有 6 个空档，从中选 3 个空档，将 3 盏关掉的灯插入，共有 N 20 3 6 C （种） 说明：解若干元素不相邻的排列问题时，须先将剩余元素全排列，再将剩余元素间的空 档插入不能相邻的那些元素，使之转化为简
15、单的排列、组合问题.为方便记忆，有人称之为 插空法 .应该指出，此法只保证插空元素不相邻.高二数学（理） 第二学期 新课预习 第十四周 天津市立思辰网络教育有限公司 版权所有 11 / 18 六）定序排列 参加排列的 n 个元素，其中有 m（ n m ）个元素的顺序是确定的，称这种排列为定 序排列. 例 9、7 个单项式 a，a 2 ，a 3 ，a 4 ，a 5 ，a 6 ，a 7 排成一排，若其中 a 2 ，a 3 ，a 4 按降幂排 列，则共有多少种不同的排列？ 解法 1：7 个单项式共有 7 7 A 种排法，其中 a 2 ，a 3 ，a 4 3 个单项式有 3 3 A 种不同的顺序，
16、a 2 ，a 3 ，a 4 按降幂排列，共有 N 840 3 3 7 7 A A （种） 解法 2：分两步： 从横排 7 个位置中选出 3 个位置，安排 a 2 ，a 3 ，a 4 ,有 3 7 C 种方法， 安排其余 4 个单项式，有 4 4 A 种方法 N 3 7 C 4 4 A =840（种） 例 10、10 人站成一排，其中甲，乙的顺序不能改变，丙，丁的顺序也不能改变，问 （1）有多少种排法？ （2）若甲，乙也不能相邻，有多少种排法？ 解：（1）无任何限制，10 人有 10 10 A 种排法，甲，乙有 2 2 A 种不同的顺序，因为每一种顺 序机会均等，所以排列总数 N ) ( 907200 4 3628800 2 2 2 2 10 10 种 A A A （2）00000000（甲，乙插空） 首先安排除去甲，乙的那 8 个人，（其中丙，丁定序）有 2 2 8 8 A A 种方法.已安排的 8 个人 之间有 9 个空档，从中任取两个空档安排甲，乙，有 2 9 C 种方法，由乘法原理：
