1、高二数学（理）第二学期新课预习第十六周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有1/12课程内容2.2 离散型随机变量的均值与方差2.3 正态分布第二学期 第十六周2014-2015学年 高二数学（理）第二学期新课预习第十六周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有3/121、准备知识要点：2、本阶段知识要点：一、离散型随机变量的均值 1离散型随机变量的均值一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2xixnP p1 p2pipn则称 EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。注：我们只研究有限个随机变量的均值的情况2随
2、机变量均值的线性性质（1）E（aX+b）=aEX+b（2）更一般地，随机变量的线性组合的均值等于随机变量均值的线性组合，即若两个随机变量 X 和 Y 的均值都是有限数，则 E（aX+bY-）=aEX+bEY-3两点分布、二项分布的均值对于两点分布的随机变量，其均值等于其成功概率，由于独立的具有成功概率 P 的 n个两点分布随机变量之和服从二项分布 B（n,P），根据数学期望的线性性质可以知道二项分布随机变量的均值为 nP，即若 xB（n1P）则 EX=nP.高二数学（理）第二学期新课预习第十六周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有4/12二、离散型随机变量的方差、标准差 离散型随机变量 X 的
3、分布列为X x1 x2xixnP p1 p2pipn则（xi-EX）2描述了 xi（i=1,2,n）相对于均值 EX 的偏离程度。而DX=n1)(iiEXx2Pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值 EX 的平均偏离程度，我们称 DX 为随机变量 X 的方差，其算术平方根 XD 为随机变量 X 的标准差，记作 X 。注：随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。随机变量 X 的方差是它与期望 EX 差的平方的数学期望，即 DX=E（X-EX）2D（aX+b）=a2DX若 X 服从两点分布，则 DX=P(1-P)若 XB（n,p），则 DX=np(1-
4、p)三、正态分布 连续性的总体中，有一种应用最广泛的总体，即呈正态分布的总体，又叫正态总体.当一个随机变量是由于大量微小的随机因素的作用而产生的时候，往往服从正态分布.如测量误差，加工误差，射击偏差，货物产量，人体高度和体重乃至考试成绩等等。请同学注意以下概念和性质：.),()(21)(:.1222)(是标准差平均数是期望为参数、概率密度函数Rxexfx高二数学（理）第二学期新课预习第十六周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有5/122正态总体：总体的概率密度函数是上式，这样的总体叫正态总体，记作 N（，2）3正态曲线：正态总体的图象4正态曲线和正态分布的性质：（1）曲线在 x 轴的上方，与
5、x 轴不交.即 f(x)0（2）曲线关于直线 x=对称，即 f(-x)=f(x+)这一个曲线或者说密度函数的对称性性质在概率统计上的意义是说：对于任意的两个实数 a,b,(a时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 x 轴为渐近线，向它无限靠近.),.,.(,“,“,)5(附近大多数都集中在平均数比较少数总体中的数据偏离平均那么当标准差越小比较多数据偏离平均数统计上意味着总体中的标准差越大越大表示总体的分布越集中瘦高曲线越越小表示总体的分布越分散矮胖曲线越越大确定曲线的形状由一定时当决定图象的对称轴5标准正态分布：),(21)(:)2.1,0)122xexfx函数表达式线相应曲线叫标
6、准正态曲态总体时正态总体称为标准正高二数学（理）第二学期新课预习第十六周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有6/123）标准正态分布表：由右图知若表中得它可直接通过查表求即的概率指总体取值小于.0,00.)()(,:)(0000000xxxxxPxxx)(1)(1)()()(00000xxxPxxPxxPx故利用此表可求出标准正态总体在任一区间（x1，x2）内取值的概率.如（-1，2）内取值的概率，P=(2)-(-1)=(2)-1-(1)=(2)+(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185)1,0(),()(.62NN 即标准化问题体的转化正态总体向标准正态总从图象上讲是把非标准
7、的正态分布曲线进行平移，使对称轴为 x=0，同时还要使“胖的”减肥.把“瘦的”吃胖，以形成标准正态分布曲线.).1,0(,.),(),1,0(.,),0(.),0()(),(,2222正态分布即标准将服从正态分布那么令新变量的随机变量是分布即对任何一个服从正态那么它将满足分布新的随机变量如果我们还可以证明它将还满足正态分布造新的随机变量即可构的平移只差一个平移量为它和态总体取值构成的总体就是正它的所有的随机变量正态分布我们知道对于任何服从从理论上讲NNNNNN7假设检验：:3)1(2原理的基本思想 .,%,3.0)3,3(%,6.4)2,2(能发生的一次试验中几乎是不可即这些情况在常称为小概率
8、事件由于这些概率值很小外取值的概率只有以在以外取值的概率只有正态总体在 这种性质在实际生产中有比较广泛的应用.知道了平均数，标准差，利用这个性质可判断哪些情况是异常出现的小概率事件（在生产中一般指生产过程出现了问题，没有正常工作）著名的质量控制图就是利用这一个原理.高二数学（理）第二学期新课预习第十六周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有7/12（2）质量控制的具体方法：略，见书即可.我国的 ISO9000，ISO9100，ISO9200 质量标准是以 36 原理为标准制定的.8标准化应用：我们结合平时高考判分中的“标准分”（有些省市已实行）概念来体会把正态分布化归为标准正态分布的好处.在招生
9、考试中，如何根据多门课程的考试成绩来判定考生的总成绩呢？一般是求总分，其实此方法并不合理.因为多门课程的难易程度各不相同.评分标准也宽严有别.反映在分数上就是每门课程的分数“价值”各不相同.因此，简单的用原始卷面分的总和不能客观的反映考生水平的高低.我们应寻找比较合理的办法.在一门考试中，考生的原始卷面分数是呈正态分布的.每门课程考试分数的“不等价性”体现在不同考试的分数分.,“.“,.,).,(.2分数处于同等的地位从而使各门课程的考试布实际上服从标准正态分出从前面的分析可一次看分标准数的就得到了通常的高考分再加上适当的常数为标准分则令它服从正态分布为原始卷面分记随机变量同布的期望与标准差的
10、不zzxzNx例1 袋中有 1个白球和 4 个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回去，直到取到白球为止.求：(1)取球次数的概率分布(2)取球次数的数学期望及方差解：（1）p(=1)=51p(=2)=4154 =51p(=3)=314354 =51高二数学（理）第二学期新课预习第十六周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有8/12p(=4)=21324354 =51p(=5)= 121324354 =51的分布列为：123455151515151(2)E= 51kk p(=k)= 51(1+2+3+4+5)=3D= 23515432122222222 EE 例2 将一枚均匀骰子掷三次
11、，三次中出现“5 点”的次数为随机变量,求 E,D解：B（3，61）E=361 =21，D=31256561 说明：n 次独立重复试验时，E=np,D=np(1-p)例3 一枚均匀硬币扔六次，试求出正面的次数的分布列，并分别求的数学期望方差和标准差.解：B（6，21）E=621 =3， D=62121 =23，26D 例4 设篮球队 A 和 B 进行比赛，若有一队胜出 4 场则比赛宣告结束，假定 A、B 在每场比赛中获胜的概率是21，试求所需要比赛场数的数学期望.解：p(=4)=44C (21)4o）（21 +44Co）（21162214）（p(=5)=2134C321）（21 2 =164p
12、(=6)=2135C321）（221）（ 2 =165p(=7)=2136C321）（321）（+2136C321）（321）（=165高二数学（理）第二学期新课预习第十六周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有9/12E= 74kk p(=k)=1693例5 一个盒子装有 8 个红球和 2 个白球从中每次取出一个球，取后放回共取两次，设取出红球的次数为，且 =2+1，求 E 、D .解：视为 2 次独立重复试验，每次抽取到红球的概率均为54108 .则 KKKCkp225154 （K=0，1，2）的分布列为：012 p 2512582516E=582516225812510 E25722516
13、2258125102222 D= 258582572222 EE E=2E+1=5211516 D=2532258422D 例6 某射手有 5 发子弹，射击一次，命中率为 0.9，如果命中了就停止射击，否则一直射到子弹用尽为止，求耗用子弹数 的概率分布列以及数学期望和方差解：的分布列为：0001.00009.0009.009.09.054321p 1111.10001.050009.04009.0309.029.01 E 又 3579.10001.0250009.016009.0909.049.012E 1234.0)1111.1(3579.1)(222 EED 高二数学（理）第二学期新课预习
14、第十六周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有10/12说明：（1）当 5 时，有两种情况，有可能前四次不中第五次击中，也有可能五次都没击中；（2）在计算方差 D 时，除定义式可用，结论22)( EED 也可以减少计算量例8 .)3,3()2,2(),(),(2取值的概率内、在分别求正态总体 N解：954.0)2()2()2()2()2,2(),(,683.018413.021)1(2)1()1()()(),(),()1(1)1()()()1()()(22FFNFFNFF内取值的概率为在正态总体同理内取值的概率为在997.0)3()3()3()3()3,3(),(2 FFN内取值的概率是在正态总
15、体例8 ?,6342为正态分布为何值时已知xfAAexfxx 解：)3,2(61321,3)()(616132)2(616132)2(321)2(222NeAAeeAeeAeAexfxxx记作例9 某厂生产的圆柱形零件的外直径 服从正态分布 N（4，0.52）质检人员从该厂生产的 1000 件零件中随机抽查一件，测得它的外直径为 5.7cm,试问该厂生产的这批零件是否合格？高二数学（理）第二学期新课预习第十六周天津市立思辰网络教育有限公司版权所有11/12解：由于 服从正态分布 N(4，0.52)由正态分布的性质可知，正态分布 N（4，0.52）在（4-30.5,4+30.5）之外的取值的概率
16、只有 0.003，而 5.7(2.5,5.5).这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可认为该批零件是不合格的.例 10 求正态总体 N（2，4）在区间（-3，0）内的概率为多少？（ ,6915.0)5.0( 9938.0)5.2(,9332.0)5.1(,8413.0)1( ）解： =2， =2P（x-3）= )5.2()2522( x)1()122()0( xxP 1525.0)1()5.2()5.2(1)1(1)5.2()1()3()0()03( xPxPxP例 11 已知 XN（1.4,0.052）求 X 落在区间（1.35,1.45）中的概率。解：=1.4=0.05X 落在区间（1.35,1.45）中的概率为 P（1.4-0.05X1.4+0.05）=0.6826。例 12 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝 10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进 16枝玫瑰花，求当天的利润 y （单位：元）关于当天需求量 n（单位：枝， nN ）的函数解析式；（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
