1、第三章 基本初等函数 ()3.1 指数与指数函数【入门向导】 指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0,1)这点把它扎撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹x1 为判底线，交点 y 标看小大重视数形结合法，横轴上面图象察此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心如图所示的就是上面举的指数函数的图象不难看出，它们就像一束花每个指数函数的图象都经过(0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了对于指数函数的图象来说， “撇增捺减”就绝对是事实当 a1 时，从左往右看指数函数 ya x的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数 ya
2、 x是增函数；当0( )a2a.12答案 0.2 a( )a2a12点评 本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0,1)或特征线 y1 及指数函数图象的走向正确作图：当 a1 时，底数 a 越大图象越陡；当 00 且 a1) 的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_解析 当 a1 时，通过平移变换和翻折变换可得如图 1 所示的图象，则由图可知11 矛盾12当 00)；23 32(3)a a ；610 35(4) (8) ( 8) 2；6 8226 13(5) .32 6 32 32 3 3 3 6 36A0 B1 C2 D3请同学们给出答案后根据基础知识分析致错的原
3、因剖析 忽视运算性质致错：(1)应为(a 3)2a 6，比如，(2 3)28 22 9；(2)应为 a a a a .23 32 23 32 136忽视字母的取值范围致错：(3)应为 a |a |，比如(2) 应是一个正数，而( 2) 却是一个负数610 35 610 35在分数指数幂与根式的化简中致错：(4)显然 应是一个正数，这里(8) (8) ；6 8226 13(5)显然 .6 32 3 3故答案为 A.教材中，规定了正分数指数幂的意义 a (a0，m，nN *，且 为既约分数)，从mn nam mn而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数这时底数、指数的范围发生了变化，
4、这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述三、忽视隐含条件致错例 6 化简：(1x)( x1) 2 (x) .1212错解 (1x)(x 1) 2 (x) 1212(1x )(x1) 1 (x ) ( x) .14 14剖析 题目中含有(x) ，要注意考虑 x0 这个前提条件，即 x0.12正解 由(x) 可知x 0，即 x0，12所以(1x)( x1) 2 (x) 1212(1x )(1x) 1 (x ) (x) .14 14点评 在指数运算过程中，一定要注意题目中隐含的一些特殊条件，只有充分挖掘这些隐含的特殊条件，才能为正确解答打下坚实的基础
5、初学指数函数应当心一、指数函数概念出错例 7 已知指数函数 ya x的底数 a 满足方程 a2a60，求该指数函数错解 由方程 a2a60，解得 a2 或 a3.所以该指数函数为 y2 x或 y(3) x.剖析 在解题过程中忽视了指数函数的定义中对底数 a 的限定，这个隐含条件对解题往往起到至关重要的作用正解 由方程 a2a60，解得 a2 或 a3.由于指数函数 ya x的底数 a 满足 a0且 a1，故取 a2.所以该指数函数为 y2 x.点评 指数函数定义中的底数 a 满足 a0 且 a1 这个隐含条件，在解答过程中一定要加以注意二、指数函数值域出错例 8 求函数 y2 的定义域和值域1
6、x 1错解 要使函数 y2 有意义，则 x10，即 x1.1x 1所以函数 y2 的定义域为x| x1 1x 1因为 x1，即 0，所以 2 1.1x 1 1x 1所以函数 y2 的值域为y| y1 1x 1剖析 在解题过程中忽视了指数函数的值域y|y0这个隐含条件，而只是根据题目条件得出 y1 是不全面的正解 要使函数有意义，则 x10，即 x1.所以函数 y2 的定义域为x| x1 1x 1因为 x1，即 0，所以 2 1.又 2 0，1x 1 1x 1 1x 1所以函数 y2 的值域为y| y0，且 y1 1x 1点评 指数函数 ya f(x)(a0，且 a1)的值域只能是 R 的子集，
7、解题时一定要结合具体情况加以分析讨论三、指数函数图象出错例 9 根据函数 y|2 x1|的图象，判断当实数 m 为何值时，方程|2 x1| m 无解？有一解？有两解？错解 由方程|2 x1|m 可得 2x1m ，结合指数函数的图象(如图)可知：当 2x1m0，即 m1 或 m1 时，方程|2 x1|m 无解；当 2x1m0，即1cb.即 .56123311二、妙用公式变形引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如：ab(a b )(a a b b )，ab( a b )(a b )等等，运用这些13 13 23 1313 23 12 12 12 12
8、公式新变形，可快速巧妙求解问题例 2 (12 ) .a43 8a13b4b23 23ab a23 3ba 3a解 原式 aa13a 8b4b23 2a13b13 a23a13 2b13a13 13 aa13a133 8b1334b23 2a13b13 a23a13a13 2b13 13 aa13a13 2b13a23 2a13b13 4b234b23 2a13b13 a23a13a13 2b13 13a a a a.13 13 13三、整体代换在指数运算中，若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解例 3 已知 a23a10，求 a a 的值1
9、2 12分析 若先求出 a 的值，再代入计算很繁琐，探寻条件与结论之间的关系，分析条件，把条件转化为与结论有明显关系的式子解 a 23a10，a0，a 3.1a而(a a )2a 1 a2325，a a .12 12 12 12 5四、化异为同例 4 计算( )2 008( )2 009.3 2 3 2分析 注意到两个底数 与 互为有理化因式，且它们的指数相差不大，所3 2 3 2以互化为同指数计算解 原式( )2 008( )2 008( )3 2 3 2 3 2( )( )2 008( )3 2 3 2 3 21 2 008( ) .3 2 3 2五、化负为正例 5 化简 .4x4x 2
10、41 x41 x 2解 方法一 原式 4x4x 2 41 x4x41 x4x 24x 1.4x4x 2 44 24x 4x4x 2 22 4x 4x 24x 2方法二 原式 4x4x 2 44 x44 x 24x4 x 1.4x4x 2 44 24x点评 对于式子 ，方法一是利用分子分母同时乘 4x化简，而方法二是把 2 写41 x41 x 2成 24x4x ，通过约分化简，两种方法都是巧用 4x4x 1 实现化简的指数函数常见题型解法探究一、指数函数的定义例 6 已知指数函数 f(x)的图象经过点(2,4)，试求 f( )的值12解 设指数函数 f(x)a x(a0，a1)，由已知得 f(2
11、)4，即 a24( a0，a1) ，所以 a2.故 f( )2 .12 12 22二、考查指数的运算性质例 7 若 f(x) ，g(x ) ，则 f(2x)等于( )ex e x2 ex e x2A2f(x ) B2g(x)C2f(x) g(x) D2f(x)g( x)解析 f(2x) e2x e 2x2 ex e xex e x22 2f(x)g(x) ex e xex e x4故选 D.答案 D三、指数函数的单调性例 8 设 y14 0.9，y 28 0.48，y 3( )1.5 ，则( )12Ay 3y1y2 By 2y1y3Cy 1y2y3 Dy 1y3y2解析 y 14 0.92 1
12、.8，y 28 0.482 1.44，y 3( )1.5 2 1.5.由于指数函数 f(x)2 x是 R 上的12增函数，且 1.81.51.44，所以 y1y3y2，选 D.答案 D四、定义域和值域例 9 已知函数 yf( x)的定义域为(1,2)，则函数 yf (2x)的定义域为 _解析 由函数的定义，得 10，a1)的图象恒过定点(0,1)，而函数 ya x1 2 的图象可由 ya x(a0，a1)的图象向左平移 1 个单位后，再向下平移 2 个单位而得到，于是，定点(0,1)( 1,1)(1， 1)所以函数 ya x1 2 的图象恒过定点(1，1)答案 (1，1)六、图象依据：(1)指
13、数函数 ya x(a0，a1)的图象；(2) 函数 y f(x)的图象与 yf(xa)、yf (x) b、yf(x)、y f(x)、yf(x)、y|f (x)|、 yf(|x|)的图象之间的关系例 11 利用函数 f(x)2 x的图象，作出下列各函数的图象：(1)yf(x1)；(2) yf(|x |)；(3)y f(x) 1；(4)yf(x) ；(5) y|f (x)1|.解 利用指数函数 y2 x的图象及变换作图法可作所要作的函数图象其图象如图所示：点评 函数 y2 |x|，y 2 |x| ，y|2 x1| 的值域和单调性如何？七、考查参数的取值范围例 12 已知函数 y (axa x )(
14、a0，a1)在(， ) 上递增，求 a 的取值范aa2 2围解 设任意 x1，x 2R，且 x1 或 0( )01，1.31.21 1.31.21所以 1.10.2 1.30.1 .点评 不同底但可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，这时要特别注意分母的正负三、取中间值例 15 下列大小关系正确的是( )A0.4 3301，所以 0.430 时，f (a)2 a,2a2 0 无解；当 a0 时，f(a)a1， a120，a3.答案 A2(全国高考)已知函数 f(x)a .若 f(x)为奇函数，则 a_.12x 1解析 定义域为 R，且函数为奇函数，f(0)0，即 a 0，a .12 12答案 123(全国高考)函数 ye x的图象 ( )A与 ye x的图象关于 y 轴对称B与 ye x的图象关于坐标原点对称C与 ye x 的图象关于 y 轴对称D与 ye x 的图象关于坐标原点对称解析 函数 ye x与 ye x的自变量 x 取相反数时，函数值 y 也为相反数，所以其图象关于原点对称答案 D4(湖北高考)若函数 ya xb1 (a0 且 a1) 的图象经过第二、三、四象限，则必有( )Aa0，b0 Da1 ，b1 即可得知答案 B5(全国高考)设函数 f(x)Error!若 f(x0)1，
