1、用提公因式法把多项式进行因式分解知识总结归纳如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解1. 把下列各式因式分解（1） axbacxmm213（2） ba()()()322分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出
2、“”号后，多项式的各项都要变号。解： axbacxxbcxmmm21323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n 为自然数时， ，是在因式分解过程中常用的因式()()()()bannnn22121；变换。解： aba()()()322)243)(2baba2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算 136897528461398761 分析：算式中每一项都含有 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。解：原式 )528(136987973. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组 ，求代数式 的值。235xy()()232xyxy分析：不要求解方程组，我们可
3、以把 和 看成整体，它们的值分别是 35和 ，观察代数式，发现每一项都含有 ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化22xy为含有 和 的式子，即可求出结果。2xy53解： ()()()()223253yxyxyxyx把 和 分别为 3 和 带入上式，求得代数式的值是 。xy64. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数 n， 一定是 10 的倍数。23nn分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是 10 的倍数即可。32322nnnn105nn()()对任意自然数 n， 和 都是 10 的倍数。2一定是 10 的倍数32n中考点拨：例 1。因式分解 2xx()()解：
4、321x()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例 2分解因式： 42132qp()()解： 13()21122pq()()说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例 1. 计算： 201020精析与解答：设 ，则aaaaa()()10100说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001 重复出现，又有 的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的21运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例 2. 已知：
5、 （b、c 为整数）是 及 的公x2x426534285xx因式，求 b、c 的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求 b、c，但比较麻烦。注意到 是 及 的因式。因而也是236254()x3842的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。()3485x解： 是 及 的公因式bxc242()x425xx也是多项式 的二次因式363842()而 25514422()()(xxxxb、c 为整数得： 2，说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式 ，从而简便142870x求得 。xbc2例 3. 设 x 为整数，试判断 是质数还是合数，请说明理由。1052x(
6、)解： 1052()()x都是大于 1 的自然数25，是合数()x说明：在大于 1 的正数中，除了 1 和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被 1 和本身整除的数叫质数。实战模拟：1. 分解因式：（1） 4123mnn（2） （n 为正整数）axbacxd1（3） ba()()()3222. 计算： 的结果是（ ）110A. B. C. D. 2013. 已知 x、y 都是正整数，且 ，求 x、y。xyx()()124. 证明： 能被 45 整除。8179135. 化简： ，且当 时，求原式的值。2195()()()0【试题答案】1. 分析与解答：（1） 4123mnn6()（2） axbacxdnnn211132()（3）原式 bab)()22ab()223注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。2. B3. xyx()()12是正整数、分解成12634， ，又 与 奇偶性相同，且xyxyxy642说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。4. 证明： 812791335346622()能被 45 整除8179135. 解：逐次分解：原式 ()()()11295xxx()()()12953419596x当 时，原式x0
