1、3.2 一元二次不等式及其解法（2 ）一、教学目标：知识与技能1. 巩固一元二次不等式的解法和一元二次不等式解法与一元二次函数的关系和一元二次不等式解法的步骤、一元二次不等式解法与一元二次函数的关系两者之间的区别与联系;2. 通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式.对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;3.使学生掌握解含有字母参数不等式（组）的解法，初步掌握分类讨论的思想方法及技巧.过程与方法1.使学生掌握在解含有字母参数的不等式（组）时知道是否要分类讨论，讨论的依据是什么，分类的标准是什么，通过师生的共同探索，培养学生发现问题、思考问题、解决问题的能力
2、;2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力；2.培养学生探索问题的积极性、主动性以及和同学互相合作的团队精神.同时，培养学生思考问题的周到缜密性，养成严谨的学习态度和思想作风；3.通过教师与学生、学生与学生的共同合作，加强师生感情交流与沟通，培养良好的师生关系及相互合作的团队精神.二、教学重点与难点:重点； 1.熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论;2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的
3、思想.难点；1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系;2.正确地对参数分区间讨论，由于字母较多又要讨论，所以容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.三、教学模式与教法、学法教学模式 ：本课采用“探究发现”教学模式教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导“抓三线” ，即 (一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流四、教学过程教学环节 教学内容 师生活动 设计意图一、温故知新（复习）：一元一次与一元二次不等式的解法.
4、分式不等式的解法：移项，通分，右边化为 0，左边化为 的)(xgf形式.解分式不等式，切忌去分母.1.解不等式：-x 2+5x6(x|2x3).2.解不等式：x2-4x+40(x|xR,x2).3.解不等式：x 2+2x+30(=-8 0,x ).4.解不等式： 53x（x|-13x-5）.回顾知识，提出问题，激发学生学习的兴趣。生 板演：师 写解集时考虑二次项的系数正负、不等式中不等号的方向、对应的一元二次方程有无实数根及有实数根时两个实数根的大小.由复习引入，通过数学知识的内部发现问题。复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念二、知识探究：师 思考一下如何解下面这个不等式：解关于 x 的不等式
5、 a(x-ab) b(x+ab).例 1 解关于 x 的不等式 x2-x-a(a-1)0.生 原不等式可以化为 (x+a-1)(x-a)0，生 将原不等式展开，整理得(a-b)x ab(a+b).讨论：当ab 时，,x(x),+).当 a=b 时，b(若 a=b0 时 x ；若培养学生分比较分析，深化认识若 a-(a-1),即 a ,则 xa 或 a1-21a.x(-,1-a)(a,+).若 a=-(a-1),即 a= ,则(x-12)20.xx|x ,xR.21若 a-(a-1),即 a ,则 xa 或 x1-a.x(-,a)(1- a,+).师 引申：解关于 x 的不等式(x-x 2+12
6、)(x+a)0.生 将二次项系数化“+”为(x 2-x-12)(x+a)0.相应方程的根为-3，4，-a，现 a 的位置不定，应如何解？讨论：（）当-a4，即 a-4 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|-3x4 或x-a.（）当-3-a4，即-4 a3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|-3x-a 或x4.（）当-a-3，即 a3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|-ax-3 或a=b0 时 xR.当 ab 时，,x(-, )().ba让学生主动观察、思考、讨论的氛围.在教师的指导下，一方面让学生经历从特殊到一般，从已知到未知，步步深
7、入的过程，让学生自己感受生活中的不等关系，体会数学化的过程。生 =k2+8k=k(k+8).(1)当 0,即 k-8 或 k0 时，方程 2x2+kx-k=0 有两个不相等的实根.所以不等式 2x2+kx-k0 的解集是x|析，抽象能力、感受发现和推导过程。培养学生善于联想，体会知识间的内在联系，从而加深对等差数列及其性质的理解。x4.（）当-a=4 ，即 a=-4 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|x-3.()当-a =-3，即 a=3 时，各根在数轴上的分布及穿线如下：原不等式的解集为x|x4. 变题：解关于 x 的不等式 2x2+kx-k0.师 此不等式为含参数 k
8、的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.4)8(4)8(kxk;(2)当 =0，即 k=-8 或 k=0时，方程 2x2+kx-k=0 有两个相等的实根，所以不等式2x2+kx-k0 的解集是 ，4k即0,2；(3)当 0,即-8k0 时，方程 2x2+kx-k=0 无实根， 所以不等式 2x2+kx-k0 的解集为三、典例分析：【例 1】 关于 x 的不等式ax2+bx+c0 的解集为x|x -2 或 x，求关于 x 的不等式 ax2-bx+c0 的解集.师由题设 a0 且 ， ，25b1c从而 ax2-bx+c 0 可以变形为，即 x2- x+10
9、.x2.原不等式的解集为21x| x2.引申：已知关于 x 的二次不等式 ax 2+(a-1)x+a-10 的解集为 R，求 a 的取引导学生共同分析解决问题，熟悉并强化理解。值范围.师 原不等式的解集为 R，即对一切实数 x 不等式都成立，故必然y=ax2 +(a-1)x+a-1 的图象开口向下，且与 x 轴无交点，反映在数量关系上则有 a0 且 0.生 由题意知，要使原不等式的解集为R，必须 ,0即 )1(4)(2 a032a311或 aa 的取值范围是 a(-, ).师 变题：若函数 f(x)=kx2-6kx+(k+8)的定义域为 R，求实数 k 的取值范围 .显然 k=0 时满足.而
10、k0 时不满足 12)8(43602 kk.k 的取值范围是 0,1.练习：不等式 ax2+bx+20 的解集为x|- x ，求 a、b.( )132,1教师精讲来源:学优高考网 gkstk解含参数的一元二次不等式，通常情师 本题若无“二次不等式 ”的条件，还应考虑 a=0 的情况，但对本题讲 a=0 时式子不恒成立.（想想为什么）师 逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分.4 解：设方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0 的两根为x 1，x 2.若方程 4x 2+(m-2)x+(m-5)=0 有两个正根，则需满足：021 x450)(162 m8 24 或m
11、 .此时 m 的取值范围是 ，即原方程不可能有两个正根.若方程 4x 2+(m-2)况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必须弄清楚它的解集与哪些因素有关.一般地，一元二次不等式的解集（以 ax2+bx+c0 为例）常与以下因素有关：（1）a；（2）；（3）两根 x 1,x 2 的大小.其中系数 a 影响着解集最后的形式， 关系到不等式对应的方程是否有解，而两根 x1,x 2 的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏.合作探究【例 3】 若不等式对于 x 取任何实数1642xk均成立，求 k 的取值范围.生 0364)(201364213642 xkkxkx2
12、x2-2(k-3)x+3-k0(4x 2+6x+3 恒正) ，原不等式对 x 取任何实数均成立，等价于不等式 2x2-2(k-3)x+3-k0 对 x取任何实数均成立.= -2(k-3)2-8(3-k)0 k 2-4k+30 1k3.k 的取值范围是（1，3）.【例 4】 当 m 取什么实数时，方程 4x 2+(m-2)x+(m-5)=0 分别有:两个实根；一正根和一负根；正根绝对值大x+(m-5)=0 有一正根和一负根，则需满足：m021x450)(162 5.此时 m 的取值范围是(-,5).来源:学优高考网 gkstk若方程 4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对
13、值，则需满足： 0452)(16021 mxm2.此时 m 的取值范围是(-,2).若方程 4x 2+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于 1，则需满足：m)(x08 .此时 m 的取值范围是 ，即原方程不可能两根都大于 1.于负根绝对值；两根都大于 1.师 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.课堂练习练习 解不等式：mx 2-2x+1 0.师 本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复.较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策.显然本题首先要讨论 m 与 0 的大小，又由 =4-4m=4(1-m),故又要讨论 m 与 1 的大小.我们将 0 与
14、1 分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏.解：=4-4m=4(1-m),当 m0 时,0,此时.mxx1121解集为 .xx1当 m0 时，方程为-2x+10, 解集为x|x ,当 0m1 时,0，此2时 ,xx21解集为学生分组讨论自主探究，教师巡视指导，作出评价。2.提示：由 213012xa6150aba .1,6答案：-6，-1 3.提示： 04216)(21 kxk-6.6 或k引导学生通过自主分析思考、合作交流解决问题，培养良好的学习习惯和能力。 mxx11或.当 m1 时,不等式为(x-1) 20,其解集为x|x1;当 m1 时,此时 0,故其解集为 R.师 小
15、结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况.对应的一元二次方程有实数根 1-a 和 a,不等式中二次项的系数为正，所以要写出它的解集需要对两根的大小进行讨论.（1）当最高次项系数含有字母时，首先需讨论该系数是否为零.（2）整合结论时，对所讨论的对象按一定的顺序进行整理，做到不重不漏.总之，解含参数的一元二次不等式，大家首先要克服畏惧心理，冷静分析，掌握好解题技巧，恰当分类，必然能解答好.练习：1.关于 x 的方程 mx 2+(2m+1)x+m=0 有两个不等的实根，则 m 的取值范围是（ ）A. ( ,+) B.(-, )4141C. ，+ ） D.( ,0)(0,+)提示：由 m0 且
16、 0，得通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.上述过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，新课程的理念.该过程中的思考、观察、探究起到层层铺设的作用，激起学生学习的兴趣、勇于探索的精神.m ，选 D.41答案：D2.若不等式 ax 2+5x+b0 的解集为x|x ，则 a、b 的值分别是31_.3.若方程 x 2-(k+2)x+4=0 有两负根，求k 的取值范围.师 变式引申：已知方程 2(k+1)x 2+4kx+3k-2=0 有两个负实根，求实数k 的取值范
17、围.师 解：要原方程有两个负实根，必须 0)1(221 xk0)1(234012 kk-2k-1 或132或 或kokk1.k23 或 k-1 实数 k 的取值范围是k|-2k-1 或k1.32练习：已知不等式(a 2-1)x2-(a-1)x-10的解集为 R，求实数 a 的取值范围 .生 若 a 2-1=0，即 a=1 或 a=-1 时，原不等式的解集为 R 和x|x ；21若 a2-10，即 a1 时，要使原不等式的解集为 R，必须 012 -0)1(4)1(22 aa1.53实数 a 的取值范围是( ,1)1=(53,1.五、课堂小结：. 1.本节我们利用一元二次不等式及有关知识解决了一些简单的问题，这类问题常见的有：不等式恒成立的条件；已知一元二次不等式的解集，求二次三项式的系数；讨论一元二次方程根的简单情况等.2.分类讨论的步骤一般可分为以下几步：（1）确定讨论的对象及其范围；（2）确定分类讨论的标准，正确进行分类；（3）逐类讨论，分级进行；（4）归纳整合，作出结论.3.对于解含有字母参数不等式时，着重考虑最高次项系数的符号及系数为 0时的情况，以及该不等式对应方程的根的大小情况.4.在分类过程中要注意按照一个统一的引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程.
