1、课时作业( 十四)一、选择题1已知随机变量 的概率分布如下表所示: 0 1 2P 715 715 115且 23,则 E()等于( )A. B. 35 65C. D.215 125解析:E()0 1 2 ,715 715 115 35E()E (2 3)2E( ) 32 3 .35 215答案:C2随机变量 的分布列为 1 2 3P 0.2 0.5 m则 的数学期望是( )A2 B2.1C2.3 D随 m 的变化而变化解析:0.20.5m1,m0.3,E()10.220.530.32.1.答案:B3某班有 的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出 5 名学生,那么14其中数学成绩优秀的学生数
2、B ,则 E( )的值为( )(5,14)A. B 14 14C. D54 54解析:E()5 ,14 54E()E() ,故选 D.54答案:D4有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5,从中任意抽出 3 张卡片,设 3 张卡片上的数字之和为 X,则 X 的数学期望是( )A7.8 B8 C16 D15.6解析:X 的取值为 6,9,12,P(X 6) ,P( X9)C38C310 715 ,P (X12) .C28C12C310 715 C18C2C310 115E(X)6 9 12 7.8.715 715 115答案:A5设随机变量 的分布列如下表: 0 1 2 3
3、P 0.1 a b 0.1且 E()1.6,则 ab 等于( )A0.2 B0.1 C 0.2 D0.4解析:根据题意,Error!解得Error!所以 ab0.2.答案:C6甲、乙两台自动车床生产同种标准件, 表示甲车床生产 1 000 件产品中的次品数, 表示乙车床生产 1 000 件产品中的次品数,经一段时间考察,、 的分布列分别是: 0 1 2 3P 0.7 0.1 0.1 0.1 0 1 2 3P 0.5 0.3 0.2 0据此判定( )A甲比乙质量好 B乙比甲质量好C甲与乙质量相同 D无法判定解析:E()00.710.120.130.10.6,E()00.510.320.2300.
4、7.E()E() ,故甲比乙质量好答案:A二、填空题7一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为 0.6,现有4 颗子弹,命中后的剩余子弹数目 X 的期望为_ 解析:X 的可能取值为 3,2,1,0,P(X3)0.6;P(X2)0.40.60.24;P(X1)0.4 20.60.096 ;P(X0)0.4 30.064.所以 E(X)30.620.24 10.09600.0642.376.答案:2.3768袋中装有 6 个红球,4 个白球,从中任取 1 个球,记下颜色后再放回,连续摸取 4 次,设 X 是取得红球的次数,则 E(X)_.解析:每一次摸得红球的概率为 ,610 35由
5、XB ,则 E(X) 4 .(4,35) 35 125答案:1259节日期间,某种鲜花的进价是每束 2.5 元,售价是每束 5 元,节后对没有卖出的鲜花以每束 1.6 元处理根据前 5 年节日期间对这种鲜花需求量 (束)的统计( 如下表 ),若进这种鲜花 500 束在今年节日期间销售,则利润的均值是_元. 200 300 400 500P 0.20 0.35 0.30 0.15解析:节日期间这种鲜花需求量的均值为 E()2000.203000.354000.305000.15340(束)设利润为 ,则 51.6(500)5002.53.4450,所以 E()3.4E( )4503.434045
6、0706(元)答案:706三、解答题10盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球、3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同(1)从盒中一次随机取出 2 个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率 P;(2)从盒中一次随机取出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x 2,x 3,随机变量 X 表示 x1,x 2,x 3 中的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X)解:(1)取到的 2 个颜色相同的球可能是 2 个红球、2 个黄球或 2 个绿球,所以 P .C24 C23 C2C29 6 3 136 518(2)随机变量 X 所有可能的取值为 2,3,4.X4表示的随机事件是
7、“取到的 4 个球是 4 个红球” ,故 P(X4) C4C49;1126X3表示的随机事件是“取到的 4 个球是 3 个红球和 1 个其他颜色的球,或 3 个黄球和 1 个其他颜色的球” ,故 P(X3) ;C34C15 C3C16C49 20 6126 1363于是 P(X2)1P( X3)P(X4)1 .1363 1126 1114所以随机变量 X 的概率分布如下表:X 2 3 4P 1114 1363 1126因此随机变量 X 的数学期望E(X)2 3 4 .1114 1363 1126 20911如图所示是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频率分布直方图(1)求直
8、方图中 x 的值;(2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望解:(1)依题意及频率分布直方图知,0.020.1x0.370.391,解得x0.12.(2)由题意知,XB(3,0.1)因此 P(X0)C 0.930.729,P (X1)C 0.10.920.243;P(X2)03 13C 0.120.90.027;23P(X3)C 0.130.001.3故随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3P 0.729 0.243 0.027 0.001故 X 的数学期望为 E(X)30.10.3.12计划在
9、某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米) 都在 40 以上其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率;(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系:年入流量 X 40120发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行
10、,则该台年利润为 5 000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损 800 万元欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?解:(1)依题意, p1P(40120) 0.1.550由二项分布,在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为pC (1p 3)4C (1p 3)3p304 14 44 3 0.947 7.(910) (910) (110)(2)记水电站年总利润为 Y(单位:万元)安装 1 台发电机的情形由于水库年入流量总大于 40,故一台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y5 000, E(Y)5 00015 000.安装 2 台发电机的情形依题意,当 40120 时,三台发电机运行,此时 Y5 000315 000,因此P(Y15 000)P (X120)p 30.1.因此得 Y 的分布列如下Y 3 400 9 200 15 000P 0.2 0.7 0.1所以,E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机 2 台