1、温馨提示：此题库为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭 Word 文档返回原板块。 考点 37 立体几何中的向量方法一、填空题1. (2014新课标全国卷高考理科数学T11)直三棱柱 ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N 分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC 1,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为 ( )A. 10B. 25C. 301D. 2【解题提示】建立坐标系,利用空间向量法求解.【解析】选 C.如图,分别以C1B1,C1A1,C1C 为 x,y,z 轴,建立坐标系.令 AC=BC=C1C=2,则 A(0,2,2),B(2,0,
2、2),M(1,1,0),N(0,1,0).所以M=(-1,1,-2), N=(0,-1,-2).cos= BMAN= 01465= 3.故选 C.二、解答题2. (2014新课标全国卷高考理科数学T18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA 平面 ABCD,E 为 PD 的中点.(1)证明:PB平面 AEC.(2)设二面角 D-AE-C 为 60,AP=1,AD= 3,求三棱锥 E-ACD 的体积.【解题提示】(1)取 AC 的中点,构造中位线,利用线线平行证明线面平行.(2)建立空间直角坐标系, 设出 CD,利用向量法求得 CD 的长 ,然后用
3、体积公式求得三棱锥 E-ACD的体积.【解析】(1)设 AC 的中点为 G,连接 EG.在三角形 PBD 中, 中位线 EGPB, 且 EG 在平面 AEC 上,所以 PB平面 AEC.(2)设 CD=m,分别以 AD,AB,AP 为 x,y,z 轴建立坐标系,则A(0,0,0),D( 3,0,0),E 1,02,C( 3,m,0).所以 AD=( ,0,0), E= ,C=3,0m.设平面 ADE 的法向量为 1n=(x1,y1,z1),则 nAD=0, 1E=0,解得一个 1n=(0,1,0).同理设平面 ACE 的法向量为 2=(x2,y2,z2),则 C=0, 2n=0,解得一个 2=
4、(m,- 3,- m).因为 cos =|cos|= 12= 23m= 1,解得 m= 32.设 F 为 AD 的中点, 则 PAEF,且 PA= EF= ,EF面 ACD,即为三棱锥 E-ACD 的高.所以 VE-ACD= SACD EF= 13 2 3 12= 8.所以, 三棱锥 E-ACD 的体积为 38.3. （2014 四川高考理科18）三棱锥 ABCD及其侧视图、俯视图如图所示设 M，N分别为线段 AD， B的中点， P为线段 上的点，且 MNP（1 ）证明： P为线段 C的中点；（2 ）求二面角 NM的余弦值.【解题提示】本题主要考查简单空间图形的三视图、空间线面垂直的判断与性质
5、、空间面面夹角的计算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.【解析】 （1）由三棱锥 ABCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥 ABCD中：平面 B平面 ， 2CB设 O为 的中点，连接 O，于是 ， 所以 平面 OA因为 M， N分别为线段 ， 的中点，所以 /MN，又 NP，故DP假设 不是线段 C的中点，则直线 P与直线 是平面 内相交直线从而 B平面 A，这与 60DB矛盾所以 为线段 的中点（2 ）解法一：如图，作 Q于 ，连接 Q，由（）知， NP ，所以 N因为 M，所以 为二面角 APM的一个平面角由（）知， AB， C为边长为 2 的正三角形，所以 O= =
6、 3，由俯视图知， O平面 CBD，因为 C平面 D，所以 ，因此在等腰直角 中， 6,作 R于 ，在 中， A，所以 2210()ACR,因为在平面 AB内， NQ， B，所以 NQ B，又因为 为 的中点，所以 为 的中点，因此 24.同理可得，104MQ所以在等腰 M中，1024cos5BDNQ.故二面角 ANPM的余弦值是 105.解法二：以 O为坐标原点， 、 OC、 分别为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系，则 (0,3)A， 3(,)2， 3(,)2， 1(,)2于是 1,N， 0,PN， ,0N设平面 和平面 M的法向量分别为 1(,)mxyz和 2(,)nxyz由 0AmP
7、11320xzy，设 1，则 (3,1)由 0Nn223xz，设 2z，则 (0,)n210cos, 5|mn所以二面角 ANPM的余弦值 .4. （2014 天津高考理科17） （本小题满分 13 分）如图，在四棱锥 BCD-中， A底面 BCD， A， /BDC，2ADP=， 1=，点 E为棱 P的中点.（1 ）证明 BEDC；（2 ）求直线 与平面 P所成角的正弦值；（3 ）若 F为棱 上一点，满足 BFAC，求二面角 A-的余弦值.【解析】方法一：依题意，如图以点 为原点建立空间直角坐标系，可得 ()1,0B， ()2,0C， (),2D， ()0,2P.由 E为棱 PC的中点，得 (
8、)1,E.（1 ）向量 1E=， =，故 BD=. 所以， BD.（2 ）向量 (),-， ()1,-.设 ),nxyz为平面 PBD的法向量，则 0,nPB=即 20,.xyz-+不妨令 1=，可得 ()2,1n为平面 的一个法向量.于是有 3cos,62EB=.所以，直线 与平面 PD所成角的正弦值为 3.（3 ）向量 ()1,20BC=， ()2,P=-， ()2,0AC=， ()1,0AB=.由点 F在棱 上，设 Fl， 01l.故 (),lll+-.由 BAC，得 =，因此， ()()2120ll-，解得 34l=.即 13,2BF-.设 ()1,nxyz=为平面 FAB的法向量，则
9、 10,nA即,130.2xyz=-+=不妨令 ，可得 ()10,3n=-为平面 FB的一个法向量 .取平面 ABP的法向量 2，则112 10cos,0n-.易知，二面角 FABP-是锐角，所以其余弦值为 310.方法二:（1）如图，取 D中点 M，连接 E， A.由于 ,EM分别为 ,PCD的中点， 故 /EDC，且 12MC=，又由已知，可 得 /AB且 M=，故四边形 ABE为平行四边形，所以 /B.因为 底面 ，故 ，而 CD，从而 平面 PD，因为 AM平面 ，于是 CA，又 /BE，所以 BE.（1 ） 连接 ，由（1）有 平面 ，得 CPD，（2 ） 而 /EMCD，故 PE.
10、又因为 A=， 为 的中点，故 PDAM，可得 PB，所以 平面 B，故平面 平面 .所以直线 E在平面 内的射影为直线 ，而 M，可得 为锐角，故 B为直线 与平面 PBD所成的角.依题意，有 2=，而 为 中点，可得 A，进而 E.故在直角三角形 BM中， tan12EMABB=，因此 3insEMB=.所以，直线 E与平面 PD所成角的正弦值为 3.（3 ）如图，在 AC中，过点 F作 /HA交 C于点 H.因为 PA底面 BCD，故 FH底面 ABCD，从而 FHAC.又 F，得 平面 ，因此 .在底面 内，可得 3=，从而 3P=.在平面 内，作 /G交 P于点 G，于是 .由于 /
11、DCAB，故 F，所以 ,ABF四点共面.由 P， ，得 平面 D，故 A.所以 为二 面角 -的平面角.在 AG中， 2=， 124P=， 45G=，由余弦定理可得 0， 3os10cA.所以，二面角 FABP-的斜率值为 310.5. （ 2014湖南高考理科19） （本小题满分 12 分）如图 6，四棱柱 1CD的所有棱长都相等，1,ACBO四边形 11ACBD和 四 边 形 均为矩形（1 ）证明： ;B底 面（2 ）若 160,AO求 二 面 角 的余弦值【解题提示】 （1）利用矩形的邻边垂直，及线线平行证明 ；BDOAC11,（2 ）由二面角的定义或者向量法求二面角的大小。【解析】
12、（1）因为四边形 11ACBD和 四 边 形 均为矩形，所以 ,11,又 ,所以 ,因为 ,CD1OO, 所以 1;B底 面（2 ）解法一：如图过 作 ,垂足为 H,连接 ，11C1由（1）可得 ，由于 是菱形，所以 ,所以1CAO1DB11CAB,DBCA1平 面所以由三垂线定理得 ,所以 就是二面角 的平面角。H11HCODO1设棱柱的棱长为 2，因为 60CA,所以 ,7,3BB在直角三角形 中, ,1OB7321OBH因为 ,所以 ,1C1921211 C所以 ,即二面角 的余弦值为 。957cos11HODB119572解法二：因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形 为 菱形， ，又
13、ACBDA1;ABCD底 面所以 两两垂直。如图以 为原点， 分别为1,OO1,OC轴，建立空间直角坐标系。zyx,设棱长为 2，因为 60CBA,所以 ，1,3OC所以 ,21,3,01O平面 的一个法向量为 ，Dn设平面 的一个法向量为 ，1BCzyxm,则由 ,所以 ，1,Om023取 则 ，所以 ，3z2yx 3,所以 。19,cosn57由图形可知二面角 的大小为锐角，DOBC所以二面角 的余弦值为 。1195726.(2014广东高考理科)( 13 分)四边形 ABCD 为正方形,PD平面 ABCD,DPC=30,AFPC 于点F,FECD,交 PD 于点 E.(1)证明:CF平面
14、 ADF.(2)求二面角 D-AF-E 的余弦值.【解题提示】(1)采用几何法较为方便, 证 AD平面 PCD CFAD,又 CFAF CF平面 ADF.(2)采用向量法较为方便, 以 D 为原点建立空间直角坐标系 ,设 DC=2,计算出 DE,EF 的值,得到A,C,E,F 的坐标,注意到 为平面 ADF 的法向量,结合其求二面角.FC【解析】(1)因为四边形 ABCD 为正 方形,所以 ADDC.又 PD 平面 ABCD,AD 平面 ABCD,所以 PDAD, DCPD=D,所以 AD平面 PCD.又 CF 平面 PCD,所以 CFAD,而 AFPC,即 AFFC,又 ADAF=A,所以
15、CF平面 ADF.(2)以 D 为原点,DP,DC,DA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,设 DC=2,由(1)知 PCDF,即 CDF=DPC=30,有 FC= DC=1,DF= FC= ,123DE= DF= ,EF= DE= ,12332则 D(0,0,0),E ,F ,A(0,0,2),C(0,2,0) , = , = , =(,0)(,0)EF3(0)2A3(02)FC,31()2设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z),由 得0,EFAn3,20,yxz取 x=4,有 y=0,z= ,则 n=(4,0, ),33又平面 ADF 的一个法向量为 = ,FC1(0)2所
16、以 cos= = =- ,FCn231957所以二面角 D-AF-E 的余弦值为 .7.（2014 福建高考理科 17 ）17.（本小题满分 12 分）在平行四边形 中， ， .将 沿ABCD1CD,ABCDAB折起，使得平面 平面 ，如图.B（1）求证： ；（2）若 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值 .MAM【解题指南】由面面垂直性质定理先推得线面垂直 ,再进而推得线面垂ABCD面直建立坐标系，由线面角公式求解即可【解析】(1)平面 ABD平面 BCD，且两平面的交线为 BD，平面 ABD，ABBD， 2 分ABAB平面 BCD，又 平面 BCD，CDABCD；4 分(2)过点 B 在平面 BCD 内作 ，如图，BE由(1)知 AB平面 BCD， 平面 BCD， 平面 BCD，BEBD ，6 分,ABD以 B 为坐标原点 原点，以 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错,A
