1、单元测评(五) 数系的扩充与复数的引入(A 卷)(时间：90 分钟 满分：120 分)第卷(选择题，共 50 分)一、选择题：本大题共 10 小题，共 50 分1已知 i 是虚数单位，则 ( )3 i1 iA12i B2iC 2 i D12i解析： 12i.3 i1 i 3 i1 i2答案：D2复数 zi(i1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( )A1i B1iC 1 i D1i解析：z i(i1)1i， 1i.z答案：A3复数 z 1 在复平面内所对应的点在( ) 1 i1 iA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析： 1 1 11i. 1 i1 i 1 i1 i1 i1 i 2i2
2、答案：B4若复数(1bi)(2 i) 是纯虚数(i 是虚数单位， b 是实数)，则 b等于( )A2 B12C. D212解析：(1bi)(2 i) 2b(2b1)i 为纯虚数，b2.答案：D5若复数 z2i ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为( )21 iA. B.22 2C. D23解析：由题意，得 z2i 2i 1i，21 i 21 i1 i1 i复数 z 的模|z| .12 12 2答案：B6已知 f(n)i ni n (i21，nN) ，集合f(n)|nN 的元素个数是( )A2 B3C 4 D无数个解析：f(0) i0i 00，f(1)ii 1 i 2i，1if(2)i 2
3、i 2 0，f(3)i 3i 3 2i，由 in的周期性知f(n)|nN0，2i,2i 答案：B7若 1 i 是关于 x 的实系数方程 x2bxc0 的一个复数根，2则( )Ab2，c3 Bb2，c3C b 2，c 1 Db2，c 1解析：由题意可得(1 i)2b(1 i)2 2c 0 1bc (2 b)i0，2 2所以Error!Error!答案：B8若(a2i)ibi，其中 a，bR，i 是虚数单位，则复数za bi 的模等于( )A0 B. 2C 5 D. 5解析：2aibi，a，bR，a1，b2，|z| .a2 b2 5答案：D9定义运算 ad bc，则符合条件 42i 的复数 z|a
4、 bc d| |1 1z zi |为( )A3i B13iC 3 i D13i解析：由定义知 z iz，|1 1z zi |得 zi z4 2i，即 z 3i.4 2i1 i答案：A10若复数 z 满足|z| 22|z |30，则复数 z 对应点的轨迹是( )A一个圆 B线段C两个点 D两个圆解析：由|z| 22|z|30，得(|z| 3)(|z|1) 0，|z| 3 或|z|1( 舍去 )，复数 z 对应点的轨迹为一个圆答案：A第卷(非选择题，共 70 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分11若(x 21)( x23x2)i 是纯虚数，则实数 x 的值为_解析：E
5、rror!x1.答案：112若复数 z 同时满足 z 2i， iz(i 为虚数单位 )，则z zz_.解析：设复数 zabi(a，bR)，则Error!解得Error!，z 1i.答案：1i13下面四个命题：0 比i 大；两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；xy i1i 的充要条件为 xy1；任何纯虚数的平方都是负实数其中错误命题的序号是_解析：实数与虚数不能比较大小；两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；x yi1i 的充要条件为 xy1 是错误的，因为没有表明x，y 是否是实数；若 zbi( b0)为纯虚数，则 z2b 20，故均是
6、错误命题，是正确的答案：14已知复数 z(3i) 2(i 为虚数单位)，则| z|_.解析：因为 z(3i) 286i，所以|z| 10.82 62答案：10三、解答题：本大题共 4 小题，满分 50 分15(12 分) 已知复数 z123i，z 2 .求：15 5i2 i2(1)z1z2；(2) .z1z2解：z 2 13i.4 分15 5i2 i2(1)z1z2(23i)(1 3i)79i.8 分(2) i.12 分z1z2 2 3i1 3i 1110 31016(12 分) 已知复数 z 满足|z| 13iz，求 的1 i23 4i22z值解：设 zabi(a，bR)，而|z| 13iz
7、，即 13iabi0，a2 b2则Error!解得Error!z43i，8 分 1 i23 4i22z 2i 7 24i2 4 3i24 7i4 3i34i.12 分17(12 分) 已知复数 z12i(1i)(1)求|z 1|；(2)若|z |1，求|zz 1|的最大值解：(1) z 12i(1 i)22i，|z 1| 2 .6 分4 4 2(2)如图所示，由|z|1 可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 1，圆心为 O(0,0)的圆，而 z1 对应着坐标系中的点 Z1(2，2) 所以|zz 1|的最大值可以看成是点 Z1(2，2)到圆上的点的距离的最大值由图知|zz 1|max |z1|r(r 为圆半径)2 1.12 分218(14 分) 设 z1 是方程 x26x250 的一个根(1)求 z1；(2)设 z2ai( 其中 i 为虚数单位， aR) ，若 z2 的共轭复数 满z2足|z |125 ，求 z .31z2 5 2解：(1) 因为 6 242564，所以 z134i 或 z134i4分(也可设 z1abi(a，bR)，利用复数相等的充要条件求解 )(2)由|(34i) 3(ai)| 125 ，得 125 125 ，a2.10 分5 a2 1 5当 a2 时，z (2i) 234i；12 分2当 a2 时，z (2i) 234i.14 分2
