1、2.2直接证明与间接证明,2.2.1综合法和分析法,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1,2,1.直接证明综合法和分析法,是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方式.,3,目标导航,预习导引,1,2,2.综合法和分析法的定义、框图特点,3,目标导航,预习导引,1,2,3,目标导航,预习导引,1,2,预习交流(1)已知数列an的通项公式为an=2n,求证:数列an为等比数列.,提示:,an=2n,由等比数列的定义可知数列an为等比数列.,(2)求证:,证明:要证原不等式成立,只需证,即证,由于上式显然成立,因此原不等式成立.,3,目标导航,预习导引,1,2,3,3.
2、综合法和分析法的综合应用,在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,即可证明结论成立.用P表示已知条件、定义、定理、公理等,用Q表示要证明的结论,则上述过程可用框图表示为:,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一、用综合法证明问题,1.综合法的基本思路综合法的基本思路是“由因导果”,由已知走向求证,即从已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求的问题.2.综合法的特点(1)从“已知”看“可知”,逐步推出“未知”,由因导果,其逐步推理,实际上是寻找它的必
3、要条件.(2)用综合法证明不等式,证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条理清晰,形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例1】 已知a,b0,且a+b=1,求证:,思路分析:解答本题可由已知条件出发,结合基本不等式,即可得出结论.,证明:方法一:a,b0,且a+b=1,当且仅当a=b时,取“=”号.方法二:a,b是正数,当且仅当a=b 时,取“=”号.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例2】 如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,AB=AD,BAD=60,E,F分别是AP,AD的中点.求
4、证:(1)直线EF平面PCD;(2)平面BEF平面PAD.,思路分析:(1)利用线线平行证明线面平行.(2)利用面面垂直线面垂直面面垂直.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,证明:(1)在PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EFPD.又因为EF平面PCD,PD平面PCD,所以直线EF平面PCD.,(2)连接BD.因为AB=AD,BAD=60,所以ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BFAD.因为平面PAD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以BF平面PAD.又因为BF平面BEF,所以平面BEF平面PAD.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁
5、移应用,1.在一个数列中,如果对任意nN*,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列,k叫做这个数列的公积.已知数列an是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a12=()A.24B.28C.32D.36,答案:B,解析:由题设可得anan+1an+2=8,an+1an+2an+3=8,两式相除得:an+3=an,所以这是一个周期为3的周期数列.又an+2= ,所以a3= =4,a1+a2+a3=1+2+4=7.a1+a2+a12=4(a1+a2+a3)=28.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,2.设ab0,求证:3a3+2b33a2b+2
6、ab2.,证明:3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(3a2-2b2)(a-b).因为ab0,所以a-b0,3a2-2b20,从而(3a2-2b2)(a-b)0,即3a3+2b33a2b+2ab2.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,1.分析法的基本思路分析法的基本思路是“执果索因”,由求证走向已知,即从待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后到达一个明显成立的条件.2.分析法的特点(1)分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知”,执果索因,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件.(2)由于分析法是逆推证明,故在利用
7、分析法证明时应注意逻辑性与规范性,即分析法有独特的表述.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例3】 已知a,b,c是不全相等的正数,且0x1.,求证:logx,logxa+logxb+logxc.,思路分析:本题中不等式左右两边较为复杂,可用分析法证明,分析法的步骤为未知需知已知,在操作中“要证”“只要证”“即要证”这些词语是不可缺少的.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,证明:要证明,logxa+logxb+logxc,只需要证明logx,logx(abc),由已知0x0时,求证:,证明:要证,只需证(,即证,a2+b2 (a2+b2+2ab),即证a2+b22ab.因为a
8、2+b22ab对一切实数恒成立,综上所述,不等式得证.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,三、综合法和分析法的综合应用,综合法与分析法的区别与联系(1)综合法证明是“由因导果”;分析法证明是“执果索因”.(2)分析法便于寻找解题思路;而综合法便于叙述.(3)分析法的缺点是表述易错;综合法的缺点是探路艰难,易生枝节.(4)常将二者交互使用,互补优缺,形成了分析综合法.其常见模式有“两头凑”“等价法”“交替法”等.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,思路分析:先用分析法将所证不等式转化为易证的等价式子,再用综合法进行证明.,证明:因为ab,所以a-b0,所以欲证a2+b2,又ab=
9、1,当且仅当a-b= ,即a-b= 时,取等号.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,已知a,b是不等正数,且a3-b3=a2-b2,求证:1a+ba2+ab+b2,(a+b)2a+b,又a+b0,a+b1,欲证a+b0,只需证明3(a+b)20.因为a,b是不等正数,故(a-b)20成立.,故a+b 成立.综上,得1a+b .,案例探究,误区警示,易错辨析:用分析法 时表述不规范,思路分析:,案例探究,误区警示,错解:证明:,两边平方,得a(a-3)(a-1)(a-2),即02,故不等式成立.,正解:证明:要证,只要证,即证a(a-3)(a-1)(a-2),即证02.02显然成立,原不等式成立.,案例探究,误区警示,对分析法的证明书写形式及实质不理解,造成证明过程表述不规范.,
