1、授课讲义 第3讲,自动控制原理与系统,第2章 控制系统的数学模型,控制系统的运动方程式(数学模型),表示系统动态特性及各变量之问的关系,系统的动态特性建立该系统的数学模型,建立数学模型基本方法：,解析法,实验法,根据系统或元件各变量之间所遵循的物理、化学等各种科学规律， 用数学形式和推导变量关系建立起来的数学模型,数学模型形式,微分方程,传递函数,脉冲响应函数,动态结构图,频率特性,2.1 拉普拉斯变换及其应用,拉普拉斯变换(简称拉氏变换) 时间函数变成复变量的函数 复杂的微分方程变成简单的代数方程 求得的复变函数的结果通过反变换再变成时间函数也可以从复变函数的结果直接进行系统的分析,函数f(
2、t)，t是实变量，代表时间，假定t0， 下列积分有意义，即,是实变量 是虚变量。,2.1.1拉普拉斯变换的定义,积分定义为f(t)的拉氏变换,用F(s)或LF(t)来表示。即,拉氏变换的充分条件,一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是： t0时，f(t)=0； t0时，f(t)分段连续； 。 F(s) 象函数，f(t) 原函数。 记 为反拉氏变换。,f(t)称为F(s)的原函数，而F(s)称为f(t)的象函数.由原函数求象函数称拉氏变换 由象函数求原函数称拉氏反变换,例21 设原函数为单位阶跃函数1(t)，求其象函数。,例2-2设原函数是单位脉冲函数f(t)=d(t)，求其象函数。 解 单位脉冲
3、函数,(t)的象函数,解,例2-3设原函数是指数函数f(t)=,求其象函数。,的象函数,例2-4求f(t)=,(t-T)的象函数。,推论：,方法1 由原函数求象函数 方法2 专门的拉氏变换表,解,解 指数函数,2.1.2拉氏变换的性质,（1）线性定理。两个函数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的和，即：,函数放大K倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的K倍，即：,线性性质：,微分定理：,积分定理：（设初值为零）,时滞定理：,初值定理：,拉氏变换性质：,终值定理：,卷积定理：,2.1.3 用拉普拉斯变换分析 R、L、C串联电路,电压源电压,电感电流初始值,电容电压初始值,R、L、C串联电路,R、L、C串联
4、等效电路,例2-5用拉氏变换求R、L、C串联电路的 (a)阶跃响应；(b)零输入响应(设,解 (a) u(t)=,查表可得:,欠阻尼).,(b) 设,查表可得,(c) 如求脉冲响应,则有,2.1.4 拉氏反变换,已知-象函数F(s), 求出-原函数f(t),(拉普拉斯变换表详见附录),拉氏变换和拉氏反变换一一对应关系,其他从拉氏变换表上查得,常用函数的拉氏变换及反变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：,2.2 系统的微分方程,微分方程反映各个元件输入量与输出量之间关系的运动方程,控制系统,机械元件,输入量,给定量,扰动量,输出量,被控量,电气元件,列写微分方
5、程的步骤,(1)根据工作原理，确定元件的输入量和输出量(2)根据各元件的动态关系的原理或定律，列写系统微分方程。(3)消去中间变量将得到描述输出量与输入量关系的微分方程，然后把方程整理成标准形式将与输出有关的项列在等号左边，而把与输入有关的项列在等号右边 方程两边各导数项均按降阶排列,例子求例2-6速度控制系统微分方程的解。假设没有负载干扰，并且各项初值均为零。,基尔霍夫电流定律： 流入和流出节点的所有电流的代数和等于零,(2.2.1),(2.2.2),2.2.1 电气系统,电路系统基本要素-电阻、电容和电感,电路系统基本定律-基尔霍夫电流和电压定律,基尔霍夫电压定律: 在任意瞬间.存由略中沿
6、任意环路的电压的代数和等于零,写出RLC串联电路的微分方程。,下列微分方程是什么形式?,非线性：不能应用叠加原理，系统是非线性的。,非线性元件（环节）微分方程的线性化在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。,若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似
7、的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。,设f(x)在 点连续可微， 则将函数在该点展开为泰勒级 数，得：,若 很小，则 ，即 式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程， 是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工 作点附近展开。,对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为： ，工作点为。则可近似为： 式中： ， 。为与工作点有关的常数。,机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。 在机械系统的分析中，常使用三种理想化的要素：质量、弹簧和阻尼器。 用这三种要素
8、可以方便地描述各种形式的机械系统。表21中列出各要素的示意图及其运动方程式 表中F(牛顿)表示力，T(牛顿米)表示转矩，m(千克)表示质量，k(牛顿米)表示弹簧的弹性系数，f(牛顿米秒)表示阻尼器阻尼系数，J(千克.平方米)表示物体的转动惯量,2.2.2机械系统,表2-1 机械系统中的基本要素,例27带阻尼的质量弹簧系统(见图),例 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。,解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。,根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量
9、，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：,例电枢控制式直流电动机,这里输入是电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc，输出是转速w,电枢回路方程为,其中ea 为反电势,Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程,电机通电后产生转矩,整理得,需要讨论的几个问题：,1、相似系统和相似量：,可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。,定义具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 分别与 为相似量。,作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。,例：编写下图所示的速度控制系统的微分方程,消去中间变量：推出 之间的关系：显然，转速 既与输入量 有关，也与干扰 有关。,若 和 都是变化的，则对于线性系统应用叠加原理分别讨论两种输入作用引起的转速变化，然后相加。,增量式分析 (上式等号两端取增量)：,
