1、3.1.3 空间向量的数量积运算课时演练促提升A 组1.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,= ( )A.0 B.- C.-1 D.1解析:=| |cos D1AC=cos 60=1.答案:D2.若 a,b 均为非零向量,则“a 与 b 共线”是“ab=|a| b|”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当 a 与 b 共线时,a 与 b 可能同向,也可能反向,因此不一定有 ab=|a|b|;但当 ab=|a|b|时,a与 b 一定同向,即 a 与 b 共线.答案:B3.已知 a,b 均为空间中的单位向量,它们的夹角为 60,
2、那么| a+3b|等于( )A. B. C. D.4解析:|a+ 3b|2=|a|2+6ab+9|b|2=1+611cos 60+9=13,故| a+3b|=.答案:C4.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,体对角线 AC1 和 BD1 相交于点 O,则有( )A.=2a2B.a2C.a2D.=a2解析: , =aacos 45=a2,故 A 不正确.=|cos等于( )A. B. C.- D.0解析:cos=-.所以的夹角是 120,故直线 BA1 与 AC 所成的角为 60.B 组1.已知空间向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则
3、 a 与 b 的夹角为( )A.30 B.45C.60 D.以上都不对解析: a+b+c=0, a+b=-c. (a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=|c|2. ab=. cos=.答案:D2.设 A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足= 0,=0,=0,则 BCD 是( )A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定解析:= ()()=0,同理,可证0,0.所以BCD 的每个内角均为锐角 ,故 BCD 是锐角三角形.答案:B3.在三棱锥 O-ABC 中,OA OB ,OAOC,BOC= 60, OA=OB=OC=2,若 E 为 OA 中点,F为 BC 的中点,则 EF=
4、. 解析: )-, |2=)2=+2-2-2).又由已知得|=|=|=2,=22=2, |2=(4+4+4+4)=4. |=2,即 EF=2.答案:24.如图,已知正四面体 ABCD 中,AE=AB,CF=CD,则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为 .解析:因四面体 ABCD 是正四面体,顶点 A 在底面 BCD 内的射影为BCD 的垂心,所以BCDA,ABCD.设正四面体的棱长为 4,则=()()=0+0= 41cos 120+14cos 120=-4,BF=DE=,所以异面直线 DE 与 BF 的夹角 的余弦值为 cos =.答案:5.如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=C
5、B= 1,BCA= 90,棱 AA1=2,N 为 A1A 的中点,(1)求的长;(2)求 cos=.6.如图,PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,M,N 分别是 AB,PC 的中点.(1)求证:MNCD.(2)若PDA=45,求证:MN平面 PCD.证明:(1)设=a,=b,= c ,则=)=)=(b+c),故(b+c)(-a)=-(ab+ac). 四边形 ABCD 是矩形,PA 平面 ABCD, ab,ac. ab=ac=0. =0. ,故 MNCD.(2)由(1)知,MNCD,(b+ c), =b-c, (b+c)(b-c)=(|b|2-|c|2). PA平面 ABCD, PAAD.又 PDA= 45, PA=AD, |b|=|c|. =0, , MNPD. CD,PD平面 PCD,且 CDPD=D, MN平面 PCD.
