1、3.2 一元一次方程的应用1列一元一次方程解应用题列方程解应用题，就是把生活实践中的实际问题，抽象成数学问题，通过列方程来解答，使实际问题得以解决列一元一次方程解应用 题的步骤是：(1)审题设元：弄清题意和题目中的数量关系，用字母( 如 x，y)表示问题中的未知数；(2)找等量关系：分析题意，找出相等关系( 可借助于示意图、表格等)；(3)列方程：根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程；(4)解方程：解这个方程，求出未知数的值；(5)检验作答：检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案 (包括单位名称)解技巧 利用一元一次方程巧解应用题读懂题目，搜集整理相关信息，弄清题目中的已知数和未
2、知数，是用一元一次方程正确解决相关应用问题的前提根据不同的实际问题，确定恰当的等量关系是解决较复杂问题的关键对比较贴近生活实际的应用问题，其数量关系不仅多，而且比较隐蔽，因此，对这类应用问题要善于挖掘多种数量关系之间的内在联系设未知数一般是问什么就直接设什么如果直接设未知数有困难，就间接设未知数；设未知数时，必须写清楚未知数的单位，并且要保证前后单位统 一【例 1】 甲队有 32 人，乙队有 28人，如果要使甲队人数是乙队人数的 2 倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？分析：抽调后甲队人数甲队原有人数调入人数，抽调后 乙队人数乙队原有人数调出人数在本题中抓住“2 倍”便可发现相等关系：抽调后甲队
3、人数抽调后乙队人数2.解：设需从乙队抽调 x 人到甲队根据题意列方程，得 32x2(28 x)解这个方程，得 x8.答：需从乙队抽调 8 人到甲队2形积问题(1)常用的体积公式长方体的体积长宽高；正方体的体积棱长棱长棱长；圆柱体的体积底面积高r 2h；圆锥体的体积 底面积高 r2h.13 13(2)常用的面积、周长公式长方形的面积长宽；长方形的周长2(长宽)；正方形的面积边长边长；正方形的周长边长4；三角形的面积 底高；12平行四边形的面积底高；梯形的面积 (上底下底 )高；12圆的面积r 2，圆的周长2r.(3)形积变化中的等量关系形积变化问题中，图形的形状和体积会发生变化，但应用题中一定有
4、相等关系分以下几种情况：形状发生了变化，体积不变其相等关系是：变化前图形的体积变化后图形的体积形状、面积发生了变化，周长不变其相等关系是：变化前图形的周长变化后图形的周长形状、体积不同，面积相同根据题意找出面积之间的关系，即为相等关系(4)应用题中相等关系的找法认真分析题意，找出已知数和未知数；抓住题目中反映相等关系的关键词如：相等、等于、多、少；掌握基本问题的常用关系式如路程速度时间，总价单价数量；通过画图、列表等方法找相等关系【例 21】 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示小明所钉长方形的长、宽各为多少厘
5、米？分析：饰物形状变化前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽根据题意可设长方形的长为 x，则长方形的周长为 2x210，梯形的周长为 101010610652.则 2x2052，从而解得 x16.解：设小明所钉长方形的长为 x，根据题意，得2x2101010610610，整理得 2x2052，解得 x16.由于饰物变化前后长度为 10 的边没有变化，所以长方形的一边长为 10 厘米答：长方形的长为 16 厘米，宽为 10 厘米【例 22】 用一个底面半径是 40 毫米，高为 120 毫米的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为 100 毫米的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了
6、满满 10 杯水后，则大玻璃杯的液面离杯口还有 10 毫米，则大玻璃杯的高度是多 少？分析：根据“小圆柱体的体积10大圆柱形玻璃杯中水的体积”列方程求解解：设大玻璃杯的高度是 x 毫米，根据题意，得1002(x10) 40212010.解这个方程，得 x202.答：大玻璃杯的高为 202 毫米【例 23】 内直径为 20 cm 的圆柱形水桶中的全部水倒入一个长、宽、高分别为 30 cm,20 cm,80 cm 的长方形铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高( 取 3.14)分析：由于水的体积不变，可知两个容器的容积相同所以本题 的相等关系是：圆柱的体积长方体的体积解：设圆柱形水桶高 x cm.根据
7、题意，得 2x302080.解得 x 152.87.(202) 480答：圆柱形水桶高约为 152.87 cm.3.行程问题(1)相遇问题相遇问题是比较重要的行程问题，其特点是相向而行相遇问题中的相等关系：甲、乙的速度和相遇时间总路程；甲行的路程乙行的路程总路程，即 s 甲 s 乙 s 总(2)追及问题追及问题的特点是同向而行追及问题有两类：同时不同地，如下图：等量关系：乙的行程甲的行程行程差；速度差追及时间追及距离，即 s 乙 s甲 s 差同地不同时，如下图：等量关系：甲的行程乙的行程，即 s 甲 s 乙解技巧 巧解追及问题追及问题常从以下几个方面寻找等量关系列方程：从时间考虑，若同时出发，
8、追上时两人所用时间相等；从路程考虑，直线运动，两人所走距离之差等于需要赶上的距离；从速度考虑，两人的相对速度等于他们的速度的差(3)环形跑道问题一般情况下，在环形跑道上，两人同时出发，第 n 次相遇有两种情况：相向而行，路程和等于 n 圈长；同向而行，路程差等于 n 圈长(4)航行问题航行问题主要包括轮船航行和飞机航行，对于航行问题，需注意以下几点：a顺水(风) 速度静水( 风)速度水流(风)速度；b逆水(风) 速度静水( 风)速度水流(风)速度；c顺水(风) 速度逆水(风 )速度 2 倍水( 风)速度；d基本关系式：往路程返路程【例 31】 A，B 两地相距 112 千米，甲、乙两人驾车同时
9、从 A，B 两地相向而行，甲比乙每小时多行 4 千米，经过两小时后两人相遇，求甲、乙两人每小时各行多少千米？分析：本题属于相遇问题，其中的等量关系有：甲速度乙速度4，甲行程乙行程A，B 两地距离(112 千米)解：设乙每小时行 x 千米，则甲每小时行(x4)千米根据题意，得 2(x4) 2x112.解这个方程，得 x26.当 x26 时，x430.答：甲每小时行 30 千米，乙每小时行 26 千米【例 32】 李成在王亮的前方 10 米处，若李成每秒跑 7 米，王亮每秒跑 7.5 米，同时起跑，问王亮跑多少米可以追上李成？分析：本题是追及问题，属于同时不同地的类型，可根据“王亮跑的路程李成跑的
10、路程10” ，列方程求解解：设 x 秒时王亮追上李成，根据题意，得 7.5x7x 10 ，解得 x20.所以 7.520150(米)答：王亮跑 150 米可追上李成【例 33】 甲、乙两车自南向北行驶，甲车的速度是每小时 48 千米，乙车的速度是每小时 72 千米，甲车开出 25 分钟后，乙车开出，问几小时后乙车追上甲车？分析：本题是追及问题中同地不同时类型其相等关系：甲行程乙行程解：设 x 小时后乙车追上甲车，根据题意，得48 72x.(x 2560)解这个方程，得 x .56答： 小时后，乙车追上甲车56【例 34】 甲、乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长 400 米，乙每秒跑
11、 6 米，甲每秒跑 8 米(1)如果甲、乙两人在跑道上相距 8 米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？(2)如果甲在乙前面 8 米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？分析：(1)属于相遇问题，相等关系：甲的行程乙的行程环形跑道一圈的长8 米；(2)属于追及问题，相等关系：乙走的路程甲走的路程两地间的距离解：(1)设经过 x 秒，甲、乙两人首次相遇根据题意得 8x6x 4008，解这个方程，得 x28.答：经过 28 秒两人首次相遇(2)设经过 x 秒，甲、乙两人首次相遇，根据题意得 8x6x 4008，解这个方程，得 x196.答：经过 196 秒两个人首次相遇4.储蓄问题顾客
12、存入银行的钱叫本金，银行付给顾客的酬金叫利息，存入银行的时间叫期数，每个期数内的利息与本金的比叫利率，根据利率的定义，每个期数内， 利率，利息利 息本 金本金利率期数，本金与利息的和叫本息和，本息和本金利息月利率一般用千分之几表示【例 4】 王老师在银行里用定期一年整存整取的方式储蓄人民币 6 000 元，到期得到本息和 6 120 元，请你求出这笔储蓄的月利率(不计复利，即每月利息不重计息) 分析：根据本息和与利息的关系，有：利息本金利率期数，本息和本金利息解：设这笔储蓄的月利率是 x，那么存了一年是 12 个月，根据题意，得6 0006 00012x6 120，解得 x0.001 6671
13、.667.答：这笔储蓄的月利率是 1.667.5.商品销售问题(1)与打折有关的概念进价：也叫成本价，是指购进商品的价格标价：也称原价，是指在销售商品时标出的价格售价：消费者最终取得商品的价格，或说是商家卖出商品的价格，也叫成交价利润：商家通过买卖商品所得的盈利，一般以“获利” 、 “盈利” 、 “赚”等词表示所得利润利润率：利润占进价的百分比打折：出售商品时，将标价乘以十分之几或百分之几十卖出，即为打几折卖出打几折，就是百分之几十或十分之几如打 8 折就是以原价的 80%卖出，即为原价80%或原价0.8.(2)利润问题中的关系式售价标价折扣；售价成本利润成本(1利润率) 利润售价进价标价折扣
14、进价利润进价利润率；利润成本价利润率；利润率 .利 润进 价 售 价 进 价进 价【例 51】 某种商品的进价是 400 元，标价是 600 元，商店要求以利润不低于 5%打折销售，那么售货员最低可以打几折出售此商品？分析：利润问题的相等关系是：商品售价商品进价商品利润其中商品利润进价利润率，即 4005%.而商品售价标价 打折数解：设最低可以打 x 折出售 根据题意，得6000.1x4004005% ，解得 x7.答：售货员最低可以打 7 折出售此商品【例 52】 某书城开展学生优惠售书活动，凡一次购书不超过 200 元的一律九折优惠，超过 200 元的，其中 200 元按九折算，超过 20
15、0 元的部分按八折算李明购书后付了212 元，若没有任何优惠，则李明应该付多少元？分析：先判断属于哪一种优惠，再根据情况确定相等关系当购书是 200 元时，应该付 2000.9180 元，李明支付了 212 元，说明超过了 200 元，相等关系是：不超过 200元的部分应付款超过部分应付款实际付款解：因为 2000.9180212，所以购书超过了 200 元设应该付 x 元，根据题意，得 2000.9(x200)0.8 212.解方程，得 x240.答：若没有任何优惠，则李明应该付 240 元【例 53】 一件上衣，按成本加 5 成( 即 50%)作为售价，后因清仓处理，按售价的 8折出售，降
16、价后每件卖 72 元，问这批上衣每件成本是多少元？降价后每件是赔还是赚，赔或赚多少元？解：设一件上衣的成本为 x 元，根据题意，得(150%)x80%72，解得 x60.所以72x7260 12.答：一件上衣的成本为 50 元，降价后每件仍可赚 12 元6几种复杂问题的应用含有两个或两个以上的等量关系的应用题主要有以下几种：(1)按比例分配问题按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比，分 别求几个未知数的问题比例分配问题中的相等关系是：不同成分的数量之和全部数量(2)工程问题工程问题中的相等关系是：工作量工作效率工作时间；甲的工作效率乙的工作效率合作的工作效率；甲完成的工作量乙完成的工作量完
17、成的总工作量(3)资源调配问题资源调配问题一般采取列表法分析数量关系，利用表格，可以清晰地表达出各个数量之间的关系其中的相等关系要根据题目提供的等量关系确定(4)配套问题配套问题是一种常见的应用题类型，在生活实践中有着广泛的应用，其量与量间的关系类似于工程问题，其特殊的等量关系是各种零件的数量比等于一套组合件中各种零配件的数量比，其解法一般分直接解法和间接解法两种【例 61】 某会议厅主席台上方有一个长 12.8 m 的长条形(矩形) 会议横标框，铺红色衬底开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上但会议名称不同，字数一般每次都多少不等 ，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关
18、数据作了如下规定：边空字宽字距962，如图所示根据这个规定，求会议名称的字数为 18 时，边空、字宽、字距各是多少分析：根据比例关系，设边空、字宽、字距分别为 9x,6x,2x，由等 量关系“横框长度边空长度字宽长度字距长度”列出一元一次方程即可求解解：设边空、字宽、字距分别为 9x cm,6x cm,2x cm，则 9x26x18(181)2x1 280，解得 x8.所以边空为 72 cm，字宽为 48 cm，字距为 16 cm.【例 62】 学校派七年级一、二班去植树，一班 40 人，二班 52 人，现从三班调来43 人支援一班和二班，使二班 的人数是一班的 2 倍，问应调入一班和二班各多少人？分析：可设到一班 x 人，借助于表格分析题中的数量关系如下：调派前人数 调派人数 调派后人数一班 40 x 40x二班 52 43x 52(43x )解：设应调到一班 x 人，则调到二班(43x)人，根据题意，得 52(43x) (40x)2，解得 x 5.所以 43x 38.答：应调到一班 5 人，调到二班 38 人
