1、Chapter 3 对偶理论 Dual Theory,3.1 线性规划的对偶模型 Dual Model of LP 3.2 对偶性质 Dual property 3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method 3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis,运筹学 Operations Research,3.1 线性规划的对偶模型 Dual Model of LP,例3.1 (原例1.1)某工厂生产甲、乙两种产品。这些产品分别要在A、B、C三种不同的设备上加工。企业决策者应如何安排生产计划，使企业总的利润最大？,3.1 线性规划的
2、对偶模型 Dual model of LP,解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，Z为总利润，则数学模型为：,3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP,现在从另一个角度来考虑企业的决策问题。假如企业不考虑自己生产产品，而将现有的资源标价出售， 问题：决策者应怎样给定资源一个合理的价格？,设y1，y2，y3分别表示三种资源的单位增值价格(售价成本 增值)，总增值最低可用,min w=36y1+40y2+76y3,表示。企业生产一件产品甲用了四种资源的数量分别是3，5和9个单位，利润是32, 企业出售这些数量的资源所得的利润不能少于32，即,同理，对产品 乙有,3.1 线
3、性规划的对偶模型 Dual model of LP,这是一个线性规划数学模型，称这一线性规划模型是前面生产计划模型的对偶线性规划模型, 这一问题称为对偶问题。生产计划的线性规划问题称为原始线性规划问题或原问题。,3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP,价格不可能小于零，即有yi0(i=1, ,4), 从而企业的资源价格 模型为,注：以上两问题是同一组数据参数，只是位置有所不同，所描述的问题实际上是从两个不同的角度去描述。原始线性规划问题考虑的是充分利用现有资源，以产品数量和单位产品的利润来决定企业的总利润，没有考虑资源的价格，实际上在构成产品的利润中，不同的资源对利润的贡
4、献也不同，它是企业生产过程中一种隐含的潜在价值，经济学中称为影子价格。,3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP,线性规划问题(3.2)就是原线性规划问题(3.1)的对偶线性规划问题，反之，(3.2)的对偶问题就是(3.1),3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP,原问题与对偶问题有如下关系(假设原问题 (3.1)：,【例3.2】写出下列线性规划的对偶问题,【解】设Y=(y1，y2 )， 则有,3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP,从而对偶问题为,【例3.3】 写出下列线性规划的对偶问题,【解】该线性规划的对偶问题是求最小值，有
5、三个变量 且非负, 有两个“ ” 约束, 即,3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP,线性规划问题的规范形式(Canonical Form 或叫对称形式) ：,定义：目标函数求极大值时，所有约束条件为号，变量非负；目标函数求极小值时，所有约束条件为号，变量非负。,3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP,注： (1)线性规划规范形式与标准型是两种不同形式，但可以 相互转换。,(2)规范形式的线性规划问题的对偶仍然是规范形式,3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP,问题：讨论一般形式的线性规划问题的对偶问题？,方法：先将其转化为规范
6、形式的线性规划问题，然后写出其对偶问题，适当将其进行化简。,3.2 对偶性质(了解) Dual property,对偶问题是(记为DP)：,这里A是mn矩阵, X是n1列向量, Y是1m行向量。,【性质1】 对称性: 对偶问题的对偶是原问题。,设原问题是(记为LP)：,3.2 对偶性质 Dual property,3.2.1 对偶性质,【性质2】 弱对偶性: 设X*、Y*分别为LP(max)与 DP(min)的可行解，则,3.2 对偶性质 Dual property,由这个性质可得到下面几个结论：,(LP) 的任一可行解的目标值是 (DP) 的最优值下 界；(DP)的任一可行解的目标是(LP)
7、的最优值的上界；,(2) 在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有无界解，则另一个问题无可行解；,(3) 若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有无界解。,注意: 上述结论(2)及(3)的条件不能少。一个问题无可行解时，另一个问题可能有可行解(此时具有无界解)也可能无可行解。,有可行解，由结论(3)知必有无界解。,3.2 对偶性质 Dual property,【性质3】最优准则定理: 设X*与Y*分别是(LP)与(DP)的可行解，则X*、Y*是(LP)与(DP)的最优解当且仅当 C X*= Y*b .,3.2 对偶性质 Dual property,【性质4】对偶性：若互为对偶的两个问题
8、其中一个有最优解，则另一个也有最优解，且最优值相同。,另一结论：若(LP)与(DP)都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。,性质5告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优解的方法，即已知Y*求X*或已知X*求Y*。,Y * XS = 0 和 YS X * = 0,两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式,由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，因而有下列关系：,3.2 对偶性质 Dual property,(1)当yi*0时， , 反之当 , 时yi*=0；,利用上述关系，建立对偶问题(或原问题)的约束线性方程组，方程组的解即为最优解
9、。,3.2 对偶性质 Dual property,【解】对偶问题是,因为x10，x20，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即,解此线性方程组得y1=1, y2=1, 从而对偶问题的最优解为Y=(1，1)，最优值w =26。,3.2 对偶性质 Dual property,【解】对偶问题是,3.2 对偶性质 Dual property,解方程组得：x 1=5, x 3=1, 所以原问题的最优解为 X=(5，0，1)T，最优值 Z= 12。,因为y20，所以原问题第二个松弛变量 =0，由 y1=0、y2=-2知，松弛变量 故x2=0，则原问题的约束条件为线性方程组：,3.2 对偶性质 D
10、ual property,【例3.7】 证明该线性规划无最优解：,【证】容易看出X=(4，0，0) 是一可行解。对偶问题,将三个约束的两端分别相加得 , 而第二个约束有 y21,矛盾，故对偶问题无可行解，因而原问题具有 无界解，即无最优解。,3.2 对偶性质 Dual property,【性质6】LP(max)的检验数的相反数对应于DP(min)的一组基本解。 其中第j个决策变量xj的检验数的相反数对应于(DP)中第j个松弛变量 的解，第i个松弛变量 的检验数的相反数对应于第i个对偶变量yi的解。反之，(DP)的检验数(注意：不乘负号)对应于(LP)的一组基本解。,3.2 对偶性质 Dual
11、property,注：应用性质6 的前提是线性规划为规范形式，而性质1-5则对所有形式线性规划有效。,【解】(1) 加入松弛变量x4、x5后，单纯形迭代 如表3-5所示。,3.2 对偶性质 Dual property,表3-5,3.2 对偶性质 Dual property,最优解X=(4，6，0)T，最优值Z=6426=12；,(2) 设对偶变量为y1、y2, 松弛变量为y3、y4、y5 , Y=(y1、y2、y3、y4、y5)，由性质6得到对偶问题的基本解 (y1、y2、 y3、y4、y5)=(4,5,1,2,3)，即,表25(1)中=(6，2，1，0，0)，则Y(1)=(0，0，-6，2，
12、1),表25(2)中=(0，1，5，3，0)，则Y(2)=(3，0，0，1，5),表35(3)中=(0，0，11，2，2)，则Y（3）=(2，2，0，0，11),3.2 对偶性质 Dual property,(3) 因为表32(3)为最优解，故Y（3）=(2，2，0，0，11)为对偶问题最优解；,CB=(6，2)，因而,(4) 表32(3)中的最优基B-1 为表32(3)中x4，x 5两列的系数，即,3.2 对偶性质 Dual property,根据对偶性质；可将原问题与对偶问题解的对应关系列表如下：,表36,3.2 对偶性质 Dual property,作业：教材P80 1.6(1),3.1 线性规划的对偶模型 Dual model of LP,互补松弛定理的解释： 若原问题(LP)最优解X*中第j个变量Xj*为正,则对偶问题(DP)与之对应的第j个约束在最优情况下呈严格等式（即松弛变量为0）； 若对偶问题(DP)中第j个约束在最优情况下呈严格不等式，则原问题(LP)最优解X*中第j个变量Xj*必为0。,3.2 对偶性质 Dual property,
