1、第三节 二元一次不等式(组) 及简单的线性规划问题知识能否忆起1二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式( 组)表示的平面区域：不等式 表示区域Ax ByC0 不包括边界直线Ax ByC0直线 AxBy C0 某一侧的所有点组成的平面区域 包括边界直线不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧2线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 由变量 x，y 组成
2、的不等式( 组)线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程) 组成的不等式(组)目标函数 关于 x，y 的函数解析式，如 z2x3y 等线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件的解(x，y)可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题小题能否全取1.(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分) ，用不等式表示为( )A2xy30 B2x y30C2x y30 D2xy30解析：选 B 将原点(0,0) 代入 2xy3 得 200330，所 以不等式为2xy30.2(教材习题
3、改编)已知实数 x、y 满足Error!则此不等式组表示的平面区域的面积是( )A. B.12 14C1 D.18解析：选 A 作出可行域为如图所示的三角形， S 11 .12 123(2012安徽高考)若 x，y 满足约束条件Error!则 zxy 的最小值是( )A3 B0C. D332解析：选 A 根据Error! 得可行域如图中阴影部分所示，根据 zxy 得 yxz，平移直线 yx ，当其经过点(0,3)时取得最小值3.4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是_解析：由可行域知不等式组为Error!答案：Error!5完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成请木工需付工资 每人 5
4、0 元，请瓦工需付工资每人 40 元，现有工人工资预算 2 000 元，设木工 x 人， 瓦工 y 人，则所请工人数的约束条件是_答案：Error!1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线 AxByC 0 的某一侧取一个特殊点 (x0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧特别地，当 C 0 时，常把原点作为测试点；当 C0 时，常选点 (
5、1,0)或者(0,1)作为测试点2最优解问题如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个二元一次不等式(组)表示平面区域典题导入例 1 (2011湖北高考)直线 2xy100 与不等式组Error!表示的平面区域的公共点有( )A0 个 B1 个C2 个 D无数个自主解答 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分) 直线 2xy100 恰过点 A(5,0)，且斜率 k2k AB ，即直43 线2x
6、y100 与平面区域仅有一个公共点 A(5,0)答案 B由题悟法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域注意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点以题试法1(1)(2012海淀期中)若满足条件Error!的整点(x，y)恰有 9 个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数 a 的值为( )A3 B2C1 D0(2)(2012北京朝阳期末)在平面直角坐标系中，不等式组Error!所表示的平面区域的面积是 9，则实数a 的值为_解析：(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分
7、，当 a0 时，只有 4 个整点(1,1) ，(0,0) ，(1,0)，(2,0)；当 a1 时，正好增加 (1，1) ，(0，1)，(1 ，1)，(2，1)，(3 ，1)5 个整点，故选 C.(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的ABC，且 A(2,2)，B(a，a4)，C(a，a)，若 a0，则有ABC 的面积 SABC4，故 a0， BC 的长为 2a4，由面积公式可得ABC 的面积 SABC (a2)(2a4)129，解得 a1.答案：(1)C (2)1求目标函数的最值典题导入例 2 (1)(2012 新课标全国卷 )设 x，y 满足约束条件Error!则 zx2y 的取值范围为_
8、(2)(2012广州调研)已知实数 x，y 满足Error! 若目标函数 zaxy( a0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数 a 的值为_自主解答 (1)依题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显然，当 直线y x 过点 B(1,2)时，z 取得最小 值为3；当直线过点 A(3,0)时，z 取12 z2 得最大值为 3，综上可知 z 的取值范围为 3,3(2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线 axy0，可知当平移到与直线2x2y10 重合，即 a1 时，目 标函数 zax y 的最小值有无数多个答案 (1)3,3 (2)1若本例(2)条件变为目标函数 zaxy(a0)
9、 仅在点 处取得最小值，其它条件不变，求 a 的取值(12，1)范围解：由本例图知，当直线 axy0 的斜率 ka1，即 a1 时，满足条件，所求 a 的取值范围为(，1)由题悟法1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如 zaxby.求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：y x ，通过求直线的截距ab zb的最值间接求出 z 的最值zb(2)距离型：形如 z( xa) 2(yb) 2.(3)斜率型：形如 z .y bx a注意：转化的等价性及几何意义以题试法2(1)设 z2xy，其中 x
10、， y 满足Error! 若 z 的最大值为 6，则 k 的值为_；z 的最小值为_(2)已知 O 是坐标原点，点 A(1,0)，若点 M(x，y) 为平面区域Error!上的一个动点，则| |的OAM最小值是_解析：(1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直 线2xy6，结合图形分析可知，要使 z 2xy 的最大值是 6，直 线 yk 必过直线2xy6 与 x y0 的交点，即必过点(2,2)，于是有 k2 ；平移直线 2xy6，当平移到经过该平面区域内的点(2,2) 时，相 应直线在 y 轴上的截距达到最小，此时 z2xy 取得最小值，最小值是 z2(2)22.(2)依题意得，
11、 (x1， y)，| |OAMOA 可x 12 y2视为点( x，y)与点 (1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组 表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点 (1,0)向直线 xy2 引垂 线的垂足位 于该平面区域内，且与点( 1,0) 的距离最小，因此| |的最小值是 .A| 1 0 2|2 322答案：(1)2 2 (2)322线性规划的实际应用典题导入例 3 (2012四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克每桶甲产品的利润是 300
12、 元，每桶乙产品的利润是 400 元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A1 800 元 B2 400 元C2 800 元 D3 100 元自主解答 设每天分别生产甲产品 x 桶，乙 产品 y 桶，相应的 利润为 z 元，则 Error!z300 x400y，在坐 标平面内画出该不等式组表示的平面 区域及直线300x400y0，平移该直线，当平移到 经过该平面区域内的点 A(4,4)时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时 z300x400y 取得最大值，最 大值是z3
13、00 440042 800，即 该公司可获得的最大利润是 2 800 元答案 C由题悟法与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：设未知数，确定线性约束条件及目标函数；转化为线性规划模型；解该线性规划问题，求出最优解；调整最优解以题试法3(2012南通模拟)铁矿石 A 和 B 的含铁率 a，冶炼每万吨铁矿石的 CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格 c 如下表：a b(万吨) c(百万元)A 50% 1 3B 70% 0.5 6某冶炼厂至少要生产 1.9(万吨 )铁，若要求 CO2 的排放量不超过 2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为_百万元解析：可
14、设需购买 A 铁矿石 x 万吨，B 铁矿石 y 万吨，则根据题意得到约束条件为Error!目标函数为 z3x6y ，画出不等式组表示的平面区域如图所示当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为 zmin31 6215.答案：15含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧，增加了解题的难度参变量的设置形式通常有以下两种：(1)条件不等式组中含有参变量；(2)目标函数中设置参变量典例 1 (2012福建高考)若直线 y2x 上存在点(x，y)满足约束条件 Error!则实数 m 的最大值为( )A1 B1C. D232解析 可行域如图阴影所示，由Er
15、ror!得交点 A(1,2)，当直线 xm 经过点 A(1,2)时，m 取到最大 值为 1.答案 B题后悟道 由于条件不等式中含有变量，增加了解题时画图 的难度，从而无法确定可行域，要正确求解这类问题，需有全局观念，结合目 标函数逆向分析题意整体把握解题的方向，是解决这类题的关键针对训练1(2012“江南十校”联考) 已知 x，y 满足Error!记目标函数 z2xy 的最大值为 7，最小值为 1，则 b，c 的值分别为( )A1，4 B1，3C2，1 D1，2解析：选 D 由题意知，直线 xbyc 0 经过直线 2xy 7 和直线 xy4 的交点，经过直线2xy1 和直线 x1 的交点，即经
16、过点 (3,1)和点(1，1) ，所以Error!解得 b1，c2.典例 2 (2012深圳调研)已知变量 x，y 满足约束条件Error!若目标函数 zy ax 仅在点(3,0)处取到最大值，则实数 a 的取值范围为( )A(3,5) B.(12， )C(1,2) D.(13，1)解析 如图所示，在坐 标平面内画出 题中的不等式组表示的 平面区域及直线 yax0，要使目标函数 zyax 仅在点(3,0)处取到最大值 (即直线zyax 仅当经过该平面区域内的点(3,0)时，相应 直线在 y 轴上的截距才达到最大) ， 结合图形可知a .12答案 B题后悟道 此类问题旨在增加探索问题的动态性和开
17、放性解决此类问题一般从目标函数的结论入手，对图形的动态分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求解这类问题的主要思维方法针对训练2(2012温州适应性测试)已知实数 x，y 满足Error!若 zyax 取得最大值时的最优解(x，y )有无数个，则 a 的值为( )A2 B1C0 D1解析：选 B 依题意，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平 面区域，如图所示要使 zy ax 取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线 zyax 必平行于直线 yx10，于是有 a1.1(2012三明模拟)已知点(3，1)和点(4 ，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则 a 的取值范围为( )A(24,7
18、) B(7,24)C(，7)(24，) D( ， 24)(7，)解析：选 B 根据题意知(9 2a)(12 12a) 0.即(a7)( a24)0，解得7a24.2已知实数对(x，y)满足Error! 则 2xy 取最小值时的最优解是( )A6 B3C(2,2) D(1,1)解析：选 D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令 z2xy，y2xz ，作初始直线 l0：y2x，作与 l0 平行的直线 l，则直线经 过点(1,1)时，(2xy) min3.3(2012山东高考)设变量 x，y 满足约束条件Error!则目标函数 z3xy 的取值范围是( )A. B. 32，6 32， 1C1,6
19、 D. 6，32解析：选 A 不等式组表示的平面区域如图所示，目 标函 数的几何意义是直线在 y 轴上截距的相反数，其最大值在点 A(2,0)处取得， 最小值在点 B处取得，即最大值为 6，最小 值为 .(12，3) 324在不等式组Error!确定的平面区域中，若 zx2y 的 最大值为 3，则 a 的值是( )A1 B2C3 D4解析：选 A 如图所示，作出可行域，是一个三角形区域，而由 图可知，目标函数 zx2 y 在点 A(a，a) 处取得最值，故 a2a3，解得 a1.5(2012石家庄质检)已知点 Q(5,4)，动点 P(x，y) 满足Error!则 |PQ|的最小值为( )A5
20、B.43C2 D7解析：选 A 不等式组所表示的可行域如图所示，直线 AB 的 方程为xy20，过 Q 点且与直线 AB 垂直的直线为 y4x 5，即 xy10，其与直线 xy20 的交点为 ，而 B(1,1)，A(0,2)，因为(32，12)1，所以32点 Q 在直线 x y20 上的射影不在线段 AB 上，则| PQ|的最小值 即为点 Q 到点 B 的距离，故| PQ|min 5.5 12 4 126(2013山东烟台模拟)已知 A(3， )，O 是坐标原点，点 P(x，y) 的坐标满足Error!设 Z 为 在3 OA上的投影，则 Z 的取值范围是( )OPA ， B3,33 3C ，3
21、 D 3， 3 3解析：选 B 约束条件所表示的平面区域如图 在 上的投影为| |cos 2 cos ( 为OAPOA3与 的夹角)，OAPxOA 30，xOB60，30 150，2 cos 3,337(2013成都月考)若点 P(m,3)到直线 4x3y 10 的距离为 4，且点 P 在不等式 2xy3 表示的平面区域内，则 m_.解析：由题意可得Error!解得 m3.答案：38(2012“江南十校”联考) 已知 x，y 满足Error!则 x2y 2 的最大值为_解析：作出如图所示的可行域x2y 2 表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点 A(3，4)处取最大值( 3) 2(4)
22、225.答案：259(2012上海高考)满足约束条件 |x|2| y|2 的目标函数 zyx 的最小值是_解析：由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当 x2，y0 时，目 标函数zyx 取得最小值2.答案：210画出不等式组Error!表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出 x，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？解：(1)不等式 xy50 表示直线 xy 50 上及右下方 的点的集合xy0 表示直线 xy 0 上及右上方的点的集合，x3 表示 直线 x3 上及左方的点的集合所以，不等式组Error!表示的平面区域如 图所示结合图中可行域得 x ，y3,8 52
23、，3(2)由图形及不等式组知Error!当 x3 时， 3y8，有 12 个整点；当 x2 时， 2y7，有 10 个整点；当 x1 时， 1y6，有 8 个整点；当 x0 时，0 y5，有 6 个整点；当 x1 时，1y4，有 4 个整点；当 x2 时，2y3，有 2 个整点；所以平面区域内的整点共有 2468101242(个) 11某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时若生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润
24、3 元(1)用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 W(元) ；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100xy，所以利润 W5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为Error!整理得Error!目标函数为 W2x3y300，如 图所示，作出可行域初始直线 l0：2x3y0，平移初始直 线经过点 A 时，W 有最大值由Error! 得Error!最优解为 A(50,50)，所以 Wmax550(元)答：每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个， 伞兵 0 个时利润最大，为 550 元12变量 x、y 满
25、足Error!(1)设 z ，求 z 的最小值；yx(2)设 z x2y 2，求 z 的取值范围解：由约束条件Error!作出(x，y)的可行域如图所示由Error!解得 A .(1，225)由Error! 解得 C(1,1)由Error! 解得 B(5,2)(1)z 表示的几何意义是可行域中的点与原点 O 连线的斜率. yx y 0x 0观察图形可知 zmink OB .25(2)zx 2y 2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin| OC| ，dmax|OB| . 2 29故 z 的取值范围为2,29 1(2012龙岩阶段性检测
26、)在平面直角坐标系中，不等式组Error!表示的平面区域的面积为 5，直线mxym0 过该平面区域，则 m 的最大值是_解析：平面区域如图所示，A( a,2a)，B .(a， a2)SOAB a a25，12 5a2 54a 2，即 A(2,4)，B(2，1)又 mxym0 过定点(1,0)，即 ymxm，斜率 m 的最 大值为过 A 点时的值为 .42 1 43答案：432(2012济南质检)已知实数 x，y 满足|2xy 1|x 2y 2|，且1y1，则 z2xy 的最大值为( )A6 B5C4 D3解析：选 B |2xy 1|x 2y2|等价于(2xy1) 2(x2y2) 2，即 x2(
27、 y1) 2，即|x| y1|.又1y1，作出可行域如图阴影部分所示则当目标函数过 C(2,1)时取得最大值，所以 zmax2215.3若 x，y 满足约束条件Error!(1)求目标函数 z xy 的最值12 12(2)若目标函数 zax2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求 a 的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得 A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线 xy 0，过 A(3,4)取最小值2，过 C(1,0)取12 12 最大值 1.z 的最大值为 1，最小值为2.(2)直线 ax2yz 仅在点(1,0)处取得最小值，由 图象可知12，解得a24 a2.故所求 a 的取
28、值范围为(4,2)1(2012广东高考)已知变量 x，y 满足约束条件Error!则 zx2y 的最小值为( )A3 B1C5 D6解析：选 C 变量 x，y 满足的不等式组Error!表示的平面区 域如图所示，作辅助线 l0：x2y 0，并平移到过点 A(1， 2)时，zx2 y 达到最小，最小值为5.2(2011四川高考)某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人， 有 8 辆载重量为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车某天需送往 A 地至少 72 吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人，运送一次可得利润 450 元；派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人，运送一次可得利润 350 元该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润 z( )A4 650 元 B4 700 元C4 900 元 D5 000 元解析：选 C 设当天派用甲型卡车 x 辆，乙型卡 车 y 辆，由题意得Error!设每天的利润为 z 元，则 z450x350y .画出可行域如图阴影部分所示由图可知 z450x350y 50(9x7y)， 经过点 A 时取得最大值又由Error! 得Error!即 A(7,5)所以当 x7，y5 时，z 取到最大 值， zmax450735054 900 元
